浙江省宁波市三锋教研联盟2024-2025学年高一下学期6月期末联考数学试题

试卷更新日期：2025-06-27 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一项是符合要求的.

1. 某高中三个年级共有学生1200人，其中高一500人，高二400人，高三300人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取60人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（）

A、20 B、25 C、30 D、35

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2. 已知向量 $\vec{m} = (3, 1)$ ， $\vec{n} = (- 1, k)$ ，若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则k的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-3 D、3

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3. 若△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a² +b²-c²=ab，则C=

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知直线 $l$ ， m，n与平面 $α$ ， $β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $l ⊥ n$ ， $n ⊥ m$ ，则 $l ⊥ m$ B、若 $l ⊥ α$ ， $l / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $l / / α$ ， $l ⊥ m$ ，则 $m ⊥ α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$

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5. 某学生为测量宁波天封塔的高度，如图，选取了与天封塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得 $A B = 50 \sqrt{7}$ ，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为 $45^{\circ}$ 和 $30^{\circ}$ ，且 $∠ A D B = 150 °$ ，则宁波天封塔的高度 $C D$ 是（）

A、50m B、 $40 \sqrt{3} m$ C、 $30 \sqrt{7} m$ D、 $50 \sqrt{7} m$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，那么向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、1 B、 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ D、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$

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7. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{5}$ ，则下列概率计算正确的是（）

A、该题被攻克的概率为 $\frac{11}{15}$ B、该题未被攻克的概率为 $\frac{4}{15}$ C、该题至少被一人攻克的概率为 $\frac{7}{15}$ D、该题至多被一人攻克的概率为 $\frac{13}{15}$

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $M$ 是棱 $A B$ 的中点， $N$ 是四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 内一点（包含边），则直线 $M N$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ C、 $[\frac{\sqrt{5}}{10}, 1]$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{6}, 1]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9. 已知复数 $z = (1 + i) (2 - 3 i)$ ，则（）

A、 $\bar{z} = 5 + i$ B、 $|z - 4| = 5 \sqrt{2}$ C、 $z + i$ 为实数 D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第三象限

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10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ .记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，事件D为“至多1人击中”则下列说法正确的是（）

A、事件A与C是互斥事件 B、事件B与D是对立事件 C、事件C与D相互独立 D、 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M，P分别为线段 $C C_{1}$ ， $A_{1} B$ 上的动点，则下列说法中正确的是（）

A、当M，P分别为线段 $C C_{1}$ ， $A_{1} B$ 中点时， $M P ⊥ C C_{1}$ ， $M P ⊥ A_{1} B$ B、 $P A + P C$ 取得最小值 $2 \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ C、当四面体 $A B D M$ 的四个顶点在同一球面上时，若 $C M = 1$ ，则球体积为 $\frac{9 π}{2}$ D、对任意点M，平面 $B M D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$

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三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为两个不共线的向量， $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = - \vec{e_{1}} + 3 {\vec{e}}_{2}$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （用 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 表示）

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13. 某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果原正方体石料棱长是 $\frac{3}{5} m$ ，那么一张石凳的表面积是 $m^{2}$ .

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14. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且 $\sqrt{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2}) = 4 S$ ，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、分别求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 与 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ ，求 $k$ 的值.

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16. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 2$ .

(1)、若此三角形有两个解，求b的取值范围；

(2)、若 $\sin B - \sin C = \frac{1}{2}$ ，求 $b$ ；

(3)、若 $\sin B + \sin C = 2 \sin A$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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17. 从某学校的600名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 $[155, 160)$ ，第二组 $[160, 165)$ ， …，第八组 $[190, 195]$ ，图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.

(1)、求第六组，第七组的频率；

(2)、估计该校的600男生的身高的平均数和第75百分位数（精确到0.1），

(3)、若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为 $x$ ， $y$ ，事件 $E = \{|x - y| \leq 5\}$ ，求 $P (E)$ .

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18. 如图，六面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形， $A E = 2 B F$ ， $B F / / A E$ ， $B F ⊥ A D$ ，且平面 $A C E ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、点M是棱 $D E$ 的中点，求证： $F M / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求证： $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、若 $A B = A C = B F = 2$ ，求平面 $C D E$ 与平面 $A C E$ 夹角的余弦值.

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19. 克罗狄斯托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点， $O A = 4 cm$ ， B为半圆上任意一点，且三角形 $A B C$ 为正三角形.

(1)、当 $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ 时，求四边形 $O A C B$ 的周长；

(2)、当 $∠ A O B$ 多大时，四边形 $O A C B$ 的面积最大，并求出面积的最大值；

(3)、若 $O C$ 与 $A B$ 相交于点D，则当线段 $O C$ 的长取最大值时，求 $\vec{O D} \cdot \vec{A B}$ 的值.

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