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相关试卷

1、设抛物线 $C : y^{2} = 6 x$ 的焦点为F，过F的直线交C于A，B，过F且垂直于AB的直线交准线 $l : x = - \frac{3}{2}$ 于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（）

A、 $| A D | = | A F |$ B、 $| A E | = | A B |$ C、 $| A B | \geq 6$ D、 $| A E | \cdot | B E | \geq 18$

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2、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为BC中点，则（）

A、 $A D ⊥ A_{1} C$ B、 $B C ⊥$ 平面 $A A_{1} D$ C、 $C C_{1} ∥$ 平面 $A A_{1} D$ D、 $A D ∥ A_{1} B_{1}$

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3、若实数x，y，z满足 $2 + l o g_{2} x = 3 + l o g_{3} y = 5 + l o g_{5} z$ ，则x，y，z的大小关系不可能是（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $y > x > z$ D、 $y > z > x$

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4、若圆 $x^{2} + (y + 2)^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上到直线 $y = \sqrt{3} x + 2$ 的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（）

A、（0，1） B、（1，3） C、 $(3, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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5、帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反。图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同，单位（m/s），则真风为（）
等级
风速大小m/s
名称
2
1.1~3.3
轻风
3
3.4~5.4
微风
4
5.5~7.9
和风
5
8.0~10.1
劲风

A、轻风 B、微风 C、和风 D、劲风

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6、设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当 $2 \leq x \leq 3$ 时， $f (x) = 5 - 2 x$ ，则 $f (- \frac{3}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、若点（a，0） $(a > 0)$ 是函数 $y = 2 t a n (x - \frac{π}{3})$ 的图象的一个对称中心，则a的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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8、若双曲线C的虚轴长为实轴长的 $\sqrt{7}$ 倍，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9、设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1，3，5}，则 $∁_{u} A$ 中元素个数为（）

A、2 B、3 C、5 D、8

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10、（1+5i）i的虚部为（）

A、-1 B、0 C、1 D、6

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11、如下图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $D$ 为 $A B$ 的中点.
（Ⅰ）求证： $B C_{1} / / 平面 A_{1} C D$ ；
（Ⅱ）若四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形，且 $A_{1} D = \sqrt{5}$ ，求直线 $A_{1} D$ 与平面 $C B B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值.

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形.已知 $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $P A = 2$ ， $P D = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ P A B = 60 °$ .

(1)、证明 $A D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求异面直线 $P C$ 与 $A D$ 所成的角的正切值；

(3)、求二面角 $P - B D - A$ 的正切值.

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13、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $E$ 为边 $A B$ 的中点，点 $F$ 为边 $B C$ 的中点，将 $△ A E D, △ D C F, △ B E F$ 分别沿 $D E, D F, E F$ 折起，使 $A, B, C$ 三点重合于点 $P$ ，则三棱锥 $P - D E F$ 的外接球与内切球的表面积之比为．

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14、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E, F$ ，且 $E F = \frac{1}{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $A_{1} C ⊥ A F$ B、直线 $A E$ 与平面 $B E F$ 所成的角为定值 C、二面角 $A - E F - B$ 的大小为定值 D、三棱锥 $E - A B F$ 的体积为定值

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15、如图， $α ⊥ β ， α \cap β = l ， A \in α ， B \in β ， A ， B$ 到 $l$ 的距离分别是 $a$ 和 $b$ ， $A B$ 与 $α ， β$ 所成的角分别是 $θ$ 和 $φ$ ， $A B$ 在 $α ， β$ 内的射影长分别是 $m$ 和 $n$ ，若 $a > b$ ，则

A、 $θ > φ ， m > n$ B、 $θ > φ ， m < n$ C、 $θ < φ ， m < n$ D、 $θ < φ ， m > n$

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16、如图直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为8，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $△ A_{1} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，则点A到平面 $A_{1} B C$ 的距离为（　　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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17、甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为 $p (\frac{1}{2} ＜ p ＜ 1),$ 乙胜的概率为q ， p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数 $k \geq 2,$ 记P_k为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，q_k为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率。

(1)、求P₃ ， P₄(用p表示)

(2)、若 $\frac{P_{4} - P_{3}}{q_{4} - q_{3}} = 4,$ 求p；

(3)、证明：对任意正整数m ， $p_{2 m + 1} - q_{2 m + 1} ＜ p_{2 m} - q_{2 m} ＜ p_{2 m + 2} - q_{2 m + 2}$

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18、已知函数 $f (x) = l n (1 + x) - x + \frac{1}{2} x^{2} - k x^{3},$ 其中 $0 ＜ k ＜ \frac{1}{3} 。$

(1)、证明：f(x)在区间(0，+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；

(2)、设x₁ ， x₂分别为f(x)在区间(0，+∞)的极值点和零点。
(i)设函数 $g (t) = f (x_{1} + t) - f (x_{1} - t),$
证明：g(t)在区间(0，x₁)单调递减；
(ii)比较2x₁与x₂的大小，并证明你的结论。

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19、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB=3AD，CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形. $E F D^{'} A^{'},$ 使得面EFD^'A^'与面EFCB所成的二面角为60°。

(1)、证明：A^'B∥平面CD^'F；

(2)、求面BCD^'与面EFD^'A^'所成的二面角的正弦值。

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2},$ 长轴长为4。

(1)、求C的方程；

(2)、过点(0，-2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为 $\sqrt{2},$ 求|AB|。

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等级	风速大小m/s	名称
2	1.1~3.3	轻风
3	3.4~5.4	微风
4	5.5~7.9	和风
5	8.0~10.1	劲风