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相关试卷

1、平面上的三个力 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $F_{3}$ 作用于同一点，且处于平衡状态.已知 $\vec{F_{1}} = (1, 0)$ ， $|\vec{F_{2}}| = 2$ ， $⟨\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}⟩ = 120^{\circ}$ ，则 $|\vec{F_{3}}| =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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2、若 $(z - i^{2024}) i = i^{5} + i^{6}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、i

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3、已知函数 $f (x) = \frac{a e^{x} + 1}{e^{x} - 1} (a \in R)$ 为奇函数．

(1)、求a的值；

(2)、设函数 $g (x) = \ln x + \sin x$ ，
①证明： $y = g (x)$ 有且只有一个零点；
②记函数 $y = g (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，证明： $f (2 \sin x_{0}) > \frac{e^{2} + 1}{e^{2} - 1}$ ．

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4、人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，定义 $A, B$ 之间的余弦距离为 $1 - cos (A, B)$ ，其中 $cos (A, B) = \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{x_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}} + \frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}} \times \frac{y_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ .

(1)、若 $A (2, - 1)$ ， $B (1, - 2)$ ，求 $A, B$ 之间的余弦距离；

(2)、已知 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ， $M (\sin α, \cos α)$ ， $N (\sin β, \cos β)$ ， $Q (\sin β, - \cos β)$ ，若 $\cos (M, N) = \frac{1}{2}$ ， $\cos (M, Q) = \frac{1}{3}$ ，
①求 $N, Q$ 之间的余弦距离；
②求 $\tan α \tan β$ 的值．

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5、已知椭圆 $Γ$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ，椭圆 $Γ$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $Γ$ 交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）.

(1)、若椭圆 $Γ$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = 2$ ，左顶点为 $A$ ，求 $△ A P Q$ 的面积的最大值．

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $3$ 的等比数列， $a_{1}, a_{2}, a_{3} - 12$ 成等差数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{\log_{3} a_{n}}{a_{n}}$ ，设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{3} \leq T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $△ P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $A M C$ ；

(2)、求二面角 $M - A C - D$ 的余弦值．

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8、若实数 $x$ ， $y$ 满足 $2 x^{2} + x y - y^{2} = 1$ ，则 $\frac{x - y}{5 x^{2} - y^{2}}$ 的最大值为.

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9、已知函数 $f (x) = \sin (π x + φ) (| φ | < π)$ 的图象过点 $(\frac{1}{6}, 1)$ ，若 $f (x)$ 在 $[- 2, a]$ 内有4个零点，则a的取值范围为．

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10、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的值域是 $[1, 2]$ ，则函数 $y = f (x + 3) + 1$ 的值域是.

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11、事件 $A$ 、 $B$ 互斥，若 $P (A) = 0.2$ ， $P (A \cup B) = 0.6$ ，则 $P (B) =$ .

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12、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为正方形 $C_{1} C D D_{1}$ 内一个动点（包括边界），且 $B_{1} F //$ 平面 $A_{1} B E$ ，则下列说法正确的有（）

A、动点 $F$ 轨迹的长度为 $\sqrt{2}$ B、 $B_{1} F$ 与 $A_{1} B$ 不可能垂直 C、直线 $B F$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角正弦值的最小值为 $\frac{4}{9}$ D、当三棱锥 $B_{1} - D_{1} D F$ 的体积最大时，其外接球的表面积为 $\frac{25}{2} π$

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13、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a + c > b + d$ B、若 $a < b < 0, c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ C、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$

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14、已知函数 $f (x) = 2 - | x |$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq x^{2} - 2 x - m$ 的解集中有且仅有 $2$ 个整数，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, - 1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $[- 2, 0)$ D、 $(- 2, 0)$

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15、已知 $θ \in \{\frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}, π\}$ ，现将函数 $f (x) = \cos^{4} x - \sin^{4} x$ 的图象向右平移 $θ$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若存在 $ω > 0$ ，使得函数 $y = \tan ω x$ 与 $g (x)$ 图象的对称中心完全相同，则满足题意的 $θ$ 的个数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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16、如图 $A, B$ 两点在河的同侧，且 $A$ 、 $B$ 两点均不可到达．现需测 $A$ 、 $B$ 两点间的距离，测量者在河对岸选定两点 $C$ 、 $D$ ，测得 $C D = 200 m$ ，同时在 $C$ 、 $D$ 两点分别测得 $∠ A C D = ∠ A D C = 60 °$ ， $∠ B D C = 45 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点间的距离为（）

A、 $100 \sqrt{2} m$ B、 $200 m$ C、 $100 \sqrt{10} m$ D、 $400 m$

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17、已知 $a > 1$ ，且 ${log}_{a} 8 \times {log}_{a} 2 = 1 - {log}_{a} 4$ ，则 $a =$ （）

A、2或8 B、 $\frac{1}{2}$ 或8 C、8 D、64

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18、已知不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x | 3 < x < 4}$ ，则 $c x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{1}{3}, - \frac{1}{4})$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (- \frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$

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19、甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{5}$ ，则恰有一人成功破译的概率为（）

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{2}{15}$ C、 $\frac{4}{15}$ D、 $\frac{2}{5}$

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20、已知 $\frac{\cos θ + \sin θ}{\cos θ - \sin θ} = 2$ ，则 $\tan θ$ =（）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $3$

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