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相关试卷

1、已知 $f (x) = (1 - x) e^{x} - 1$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} e^{a_{n + 1}} = e^{a_{n}} - 1$ ， $a_{1} = 1$ ，
①若不等式 $a_{n} \leq m$ 对任意的正整数n成立，求实数m的取值范围；
②若 $a_{n} \leq λ a_{n + 1}$ ，求实数λ的最小值．

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2、已知直角坐标系中 $△ A B C$ 满足 $\frac{sin B + sin C}{sin A} = \sqrt{2}$ ， $B (- 1, 0)$ ， $C (1, 0)$ ，动点A的轨迹为曲线T．

(1)、求曲线T的方程；

(2)、若半径为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 的圆的圆心M在曲线T上运动，过原点O作圆M的两条切线，分别与曲线T交于E，F，射线 $O E$ ， $O F$ 的斜率存在，并记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ．
①求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值；
②求 $|O E| \cdot |O F|$ 的最大值．

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3、随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以 $x$ （单位：吨， $100 \leq x \leq 150$ ）表示下一个销售季度的市场需求量， $T$ （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
（Ⅰ）视 $x$ 分布在各区间内的频率为相应的概率，求 $P (x \geq 120)$ ；
（Ⅱ）将 $T$ 表示为 $x$ 的函数，求出该函数表达式；
（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如 $x \in [100, 110)$ ，则取 $x = 105$ 的概率等于市场需求量落入 $[100, 110)$ 的频率），求 $T$ 的分布列及数学期望 $E (T)$ ．

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4、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $D$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $F$ 是棱 $B C$ 上靠近 $C$ 的三等分点， $E$ 在棱 $B B_{1}$ 上，且 $A D ⊥ E C_{1}$ ．

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求平面 $D E C_{1}$ 与平面 $A E F$ 的夹角的余弦值．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $3 S_{n} = 4 a_{n} - 2$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，并求出通项公式；

(2)、设函数 $f (x) = x^{2} \cdot (ln x - \frac{1}{2})$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = f^{'} (a_{n})$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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6、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为双曲线上一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心为 $I$ ，直线 $I F_{1}$ ， $I F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $5 k_{1} + k_{2} = 0$ ，则该双曲线的渐近线夹角的正切值为．

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7、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = 2$ ，且 $(\vec{b} - 2 \vec{a}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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8、已知 $x, y$ 均为正数，且 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为.

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9、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，用一平面 $α$ 截该三棱锥分别与棱 $A B$ ， $P B$ ， $P C$ ， $A C$ 相交于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ，如图所示，记向量 $\vec{n}$ 为平面 $α$ 的一个法向量，下列条件中，使 $D E ⊥ D G$ 的是（）

A、若 $\vec{n} // \vec{A B}$ B、若 $\vec{n} // \vec{P C}$ C、若 $\vec{n} // \vec{P B}$ D、若 $\vec{n} // \vec{A C}$

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10、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $b \cos C$ ， $a \cos A$ ， $c \cos B$ 成等差数列，且 $a \sin C = \sqrt{3} (1 - a \cos C)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $b = 1$ C、 $△ A B C$ 周长取值范围为 $(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}, 2 + \sqrt{3})$ D、若 $O$ 是 $△ A B C$ 外接圆的圆心，则 $△ O A C$ 和 $△ O B C$ 面积之差的取值范围为 $(- \frac{\sqrt{3}}{16}, \frac{\sqrt{3}}{48}]$

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11、有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀
非优秀
甲班
10
$b$
乙班
$c$
30
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} (n = a + b + c + d)$ ，
$P (χ^{2} \geq k)$
0.05
0.025
0.010
0.005
$k$
3.841
5.024
6.635
7.879
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为 $\frac{2}{7}$ ，则下列说法正确的是（）

A、甲班人数多于乙班人数 B、甲班的优秀率低于乙班的优秀率 C、表中 $c$ 的值为15， $b$ 的值为50 D、根据小概率值 $α = 0.025$ 的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”

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12、甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满6局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙班在每局中获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为 $X$ ，则 $P (X = 2) =$ （）

A、 $\frac{364}{729}$ B、 $\frac{348}{729}$ C、 $\frac{340}{729}$ D、 $\frac{20}{243}$

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13、已知球 $O$ 的半径为 $1$ ，圆锥内接于球 $O$ ，则圆锥体积的最大值为（）

A、 $\frac{16 π}{81}$ B、 $\frac{32 π}{81}$ C、 $\frac{16 π}{27}$ D、 $\frac{32 π}{27}$

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14、过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作斜率为正的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，且 $|A F| = 2 |B F|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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15、将函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，且函数 $g (x)$ 是偶函数，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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16、 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，第5项为常数项，则该展开式的所有二项式系数的和为（）

A、1 B、32 C、64 D、128

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17、在复平面内，复数 $z = \frac{2 - i}{1 - 3 i}$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、若 $A = \{0, - 1, 1\}$ ，则A的子集个数为（）

A、3 B、6 C、7 D、8

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19、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D ⊥ A C$ ，且 $A D = A C$ .

(1)、 $△ A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\tan B = 3 \tan A$ .
①当 $a = 4$ 时，求 $\frac{c}{\cos B}$ 的值；
②当 $b = 4$ 时，求 $a c$ 的最大值.

(2)、若 $A B = 2 B C = 4$ ，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折成 $△ P A C$ ，使得平面 $P A C ⊥$ 平面 $A C D$ ，在四面体 $P A C D$ 中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{1}$ ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为 $P_{2}$ ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{3}$ ，试比较 $P_{1} 、 P_{2} 、 P_{3}$ 的大小.

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20、如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n（n=2，3，…，9）的不同路线条数记为 $r_{n}$ ，从1移动到9的事件中，经过数字n（n=2，3，…，8）的事件概率记为 $p_{n}$ ，则 $r_{5} =$ ； $p_{5} =$ .

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$P (χ^{2} \geq k)$	0.05	0.025	0.010	0.005
$k$	3.841	5.024	6.635	7.879

	优秀	非优秀
甲班	10	$b$
乙班	$c$	30