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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3}) + \sin (x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} \cos x + a$ 的最大值为 $1$ ．

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、求使 $f (x) \geq 0$ 成立的 $x$ 的取值集合．

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2、某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则 $P (X = 5) =$ .

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3、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (\frac{π}{4})$ 的值为.

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4、在斜三角形 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．若 $\sin A = \cos B$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、 $A - B = \frac{π}{2}$ C、若 $a = 1$ ，则 $b = \tan B$ D、 $1 < \cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{5}{4}$

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5、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) + f (x) = 0$ ，且 $y = f (2 - x)$ 为偶函数，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为2 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = 2$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(1, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 为奇函数

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6、在二项式 ${(x - 2)}^{6}$ 的展开式中，下列结论正确的是（）

A、常数项为-64 B、含 $x^{3}$ 的项的系数为-160 C、所有的二项式系数之和为64 D、所有项的系数之和为-1

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7、已知函数 $f (x) = \ln (1 + e^{x}) - \frac{1}{2} x, a = f (\frac{\ln 2}{2}), b = f (\frac{1}{e}), c = f (- \frac{\ln 3}{3})$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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8、设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ 在区间 $(0, π)$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{13}{6}, \frac{8}{3})$ B、 $[\frac{13}{6}, \frac{8}{3}]$ C、 $(\frac{13}{6}, \frac{8}{3}]$ D、 $[\frac{13}{6}, \frac{8}{3})$

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9、已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + \log_{3} (x + 1) - 5$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (0, 2)$ B、 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$

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10、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 3$ ， $A = \frac{π}{3}$ ， $\sin C = 2 \sin B$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

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11、已知 $x, y \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\sin x = \frac{3}{5}, \cos y = \frac{5}{13}$ ，则 $\cos (x - y) =$ （）

A、 $\frac{8}{65}$ B、 $\frac{16}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $\frac{56}{65}$

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12、已知 $a, b \in R$ ，则“ $a^{3} > b^{3}$ ”是“ $\log_{2} a > \log_{2} b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x \leq 0\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 2\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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14、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ， $△ A C D$ 是等边三角形， $△ A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形， $E$ ， $F$ 分别是 $C D$ ， $A C$ 的中点， $P$ 是 $B D$ 上一点（不含端点）．

(1)、证明： $A D / /$ 平面 $B E F$ ；

(2)、若三棱锥 $A - B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，且球 $O$ 的表面积为 $\frac{64π}{3}$ ．
（ⅰ）求三棱锥 $A - B C D$ 的体积；
（ⅱ）求直线 $B E$ 与平面 $A C P$ 所成角的正弦值的最大值．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n + 1}, b_{n} = 2 n - 1$

(1)、证明： $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{n b_{n}}{a_{n}}$ ，记 $\{c_{n}\}$ 前n项和为 $T_{n}$ ，对任意的正自然数n，不等式 $T_{n} < λ$ 恒成立，求实数 $λ$ 的范围．

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16、设 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $\sqrt{3} a \sin C + a \cos C = b + 2 c$ ．

(1)、求A；

(2)、已知 $△ A B C$ 的面积为 $18 \sqrt{3}$ ， $M$ 是 $B C$ 边上靠近点 $C$ 的三等分点， $A M = 4$ ，求 $c + 2 b$ 的值．

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17、若存在实数a，对任意的 $x \in [0, m]$ ，都有 $(\sin x - a) \cdot (\cos x - a) \leq 0$ 恒成立，则实数m的最大值为.

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18、已知函数 $f (x) = ln (x^{2} - a x + 3)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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19、已知函数 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} + x + 1$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的解析式为.

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20、“曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点 $P (x_{1}, y_{1}) 、 Q (x_{2}, y_{2})$ 的曼哈顿距离为： $L_{P Q} = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ．若点 $P (1, 2)$ ，点 $Q$ 为圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 上一动点，则（）

A、点 $P (1, 2)$ 和点 $A (- 1, 3)$ 的曼哈顿距离为3 B、设 $Q (2 cos θ, 2 sin θ)$ ，则 $L_{P Q} = \{\begin{array}{l} 1 - 2 \sqrt{2} sin (θ - \frac{π}{4}), cos θ \geq \frac{1}{2} \\ 3 - 2 \sqrt{2} sin (θ + \frac{π}{4}), cos θ < \frac{1}{2} \end{array}$ C、 $L_{P Q}$ 的最小值为 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、 $L_{P Q}$ 的最大值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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