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相关试卷

1、已知 $α$ 为第二象限角，且 $\tan α = - \sqrt{3}$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{3} = 2$ ， $a_{7} = 32$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、17

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右焦点 $F$ 关于直线 $l : 2 x - y = 0$ 的对称点在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $P (\frac{2}{3}, n) (n > 0)$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $T$ 为 $l : x = 4$ 上的动点，过 $T$ 作椭圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $M$ 、 $N$ ，
①证明：直线 $M N$ 过定点，并求定点坐标；
②是否存在点 $T$ ，使得 $∠ M P F = ∠ N P F$ 成立？若存在，请求出点 $T$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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4、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为D，对于给定实数t，定义集合 $V_{f (t)} = \{x| f (x + t) \geq f (x)\}$ ．

(1)、若 $f (x) = x^{3} - 13 x$ ，求 $V_{f (2)}$ ；

(2)、若 $D = R$ ，求证：“ $y = f (x)$ 为周期函数”的充要条件是“存在非零常数t，使得 $V_{f (t)} = V_{f (- t)} = D$ ”．

(3)、若 $f (x) = \frac{1}{2} a {(x - \frac{e}{e - 1})}^{2} - x (ln x - \frac{e}{e - 1})$ ， $D = (0, + \infty)$ ，且对于任意的 $t \in D$ ，都有 $V_{f (t)} = D$ ，求实数a的取值范围．

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5、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形，其中 $A B = A D = C D = 1$ ， $B C = P C = 2$ ， $C D ⊥ P B$ ．

(1)、求 $P D$ 的长；

(2)、若 $P B = 3$ ，
①求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值；
②空间中一动点 $Q$ 满足 $|\vec{B Q}| = |\vec{P Q}|$ ，求 $|\vec{A Q}|$ 的最小值．

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6、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B D = ∠ C B D = \frac{π}{6}$ ， $A B / / C D$ ， $A C = \sqrt{3}$ ．

(1)、若 $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ，求 $\sin ∠ B D A$ ；

(2)、求平面四边形 $A B C D$ 面积的取值范围．

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7、我校社团活动期间某同学进行射击游戏，第一次射击命中率是 $0.8$ ，该同学连续射击三次，当前一次命中时，下一次也命中的概率是 $0.7$ ；当前一次未命中时，下一次命中的概率是 $0.9$ ．

(1)、求该同学第二次命中的概率；

(2)、设随机变量 $X$ 为三次射击中命中的次数，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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8、空间中有四个半径为2的小球，每个球都与其它三个球外切．现另有一小球与这四个球均外切，则该小球的半径为．

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9、若对任意的 $x \in [0, π]$ ，有 $|cos (ω x + \frac{π}{3})| \leq \frac{1}{2}$ （ $ω > 0$ ）恒成立，则 $ω$ 的取值范围为．

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $M$ 是 $C$ 上一点， $△ M O F$ 的面积为2，则 $| M F | =$ .

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11、在统计学中，四分位数是指把一组数由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值为 $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ ， $Q_{3}$ ，其中 $Q_{2}$ 是这组数的中位数， $Q_{1}$ 和 $Q_{3}$ 分别可看作这组数被 $Q_{2}$ 分成的前后两组数的中位数．利用四分位数可以绘制统计学中的箱形图：先找出一组数的最大值，最小值和三个四分位数 $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ ， $Q_{3}$ ；然后连接 $Q_{1}$ 和 $Q_{3}$ 画出“箱子”，中位数 $Q_{2}$ 在“箱子”中间；再将最大值和最小值与箱子相连接（如图①）．某老师绘制了一次数学小测验中甲，乙，丙三个班级学生得分的箱形图（如图②），根据该图判断下列说法正确的是（）

A、三个班级中，甲班分数的方差最小 B、三个班级中，乙班分数的极差最大 C、丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 D、若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高

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12、已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = 2 e^{x}$ ， $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ，则（）

A、 $h (x)$ 是奇函数 B、 $g (x)$ 是增函数 C、 $h (x)$ 的值域为 $(- 1,1)$ D、 $h (x - y) = \frac{h (x) - h (y)}{1 - h (x) h (y)}$

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13、数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，公比 $q \neq \pm 1$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、当 $q > 1$ 时， $\{a_{n}\}$ 为递增数列 B、若 $S_{5} = 3$ ， $S_{10} = 9$ ，则 $S_{15} = 21$ C、若 $S_{5}$ ， $S_{15}$ ， $S_{10}$ 成等差数列，则 $a_{5}$ ， $a_{15}$ ， $a_{10}$ 成等差数列 D、若 $a_{n + 1}$ ， $a_{3 n + 1}$ ， $a_{2 n + 1}$ 成等差数列，则 $S_{n}$ ， $S_{3 n}$ ， $S_{2 n}$ 成等差数列

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14、若 $α$ ， $β$ 是第三象限角，且 $\tan α = \frac{\sqrt{17}}{17}$ ， $\tan β = \sqrt{17}$ ，则 $sin (α + β) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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15、方程 $\frac{\sqrt{{(x - 4)}^{2} + y^{2}}}{|25 - 4 x|} = \frac{1}{5}$ 表示的圆锥曲线的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、5

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16、把函数 $y = 2^{x}$ 的图象关于y轴对称后得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的图象与函数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ 的图象关于（）

A、x轴对称 B、y轴对称 C、原点对称 D、直线 $y = x$ 对称

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17、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）

A、若 $m / / α, n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α, α / / β$ ，则 $m / / β$ C、若 $m ⊥ α, m / / β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n / / α$

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18、某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（）

A、5 B、10 C、15 D、20

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19、复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ 的共轭复数为（）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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20、已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 与x正半轴交于点A，与直线 $y = \sqrt{3} x$ 在第一象限的交点为B．点 $C$ 为圆O上任一点，且满足 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，以x，y为坐标的动点 $D (x, y)$ 的轨迹记为曲线 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、若两条直线 $l_{1}$ ： $y = k x$ 和 $l_{2}$ ： $y = - \frac{1}{k} x$ 分别交曲线 $Γ$ 于点E、F和M、N，求四边形 $E M F N$ 面积的最大值，并求此时的k的值；

(3)、研究曲线 $Γ$ 的对称性并证明 $Γ$ 为椭圆，并求椭圆 $Γ$ 的焦点坐标．

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