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相关试卷

1、已知两个向量 $\vec{a} = (1, - 1, 1), \vec{b} = (2, m, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $6$

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2、直线 $x + y - 1 = 0$ 的倾斜角的正切值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $2$

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C, E$ 是 $P C$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $P A$ $∥$ 面 $E D B$ ；

(2)、求证： $P B ⊥$ 平面 $E F D$ ；

(3)、求直线PA与平面 $P B D$ 的夹角的正弦值.

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4、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求点 $A_{1}$ 到直线 $B_{1} E$ 的距离；

(2)、求直线 $F C_{1}$ 到直线 $A E$ 的距离；

(3)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A B_{1} E$ 的距离；

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5、写出满足下列条件的直线的方程.

(1)、经过点 $A (8, - 2)$ ，斜率是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

(2)、经过点 $B (- 2, 0)$ ，且与 $x$ 轴垂直；

(3)、斜率是 $- 4$ ，在 $y$ 轴上的截距是7；

(4)、在 $y$ 轴上的截距是2，且与 $x$ 轴平行；

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6、 $(\vec{A B} - \vec{C B}) + \vec{C C_{1}}$ 运算的结果是．

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7、在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线 $l_{1} : x - m y + 2 m - 1 = 0$ ， $l_{2} : m x + y - m - 2 = 0$ 的交点为P，过点O分别向直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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8、已知函数 $f (x) = (\sqrt{x} + a) e^{x} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 是增函数，求a的取值范围；

(3)、证明： $f (x)$ 有最小值，且最小值小于 $f (1)$ ．

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9、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 $\{x |x < 1$ 或 $x > b\}$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + k + 2$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 (m + 1) x + 2 b m \leq 0$ 的解集中恰有5个正整数，求实数 $m$ 的取值范围．

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10、某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为 $50$ 米、圆心角为60°的扇形 $O A B$ 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点 $M$ 、 $N$ 在线段 $O B$ 上，另两个顶点 $P$ 、 $Q$ 分别在弧 $A B$ 、线段 $O A$ 上.

(1)、若 $∠ P O N = 45 °$ ，求此红旗图案的面积 $S$ ；（精确到 $1 m^{2}$ ）

(2)、求组成的红旗图案的最大面积.（精确到 $1 m^{2}$ ）

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11、已知函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ ， $x \in (- 1, 1)$ .

(1)、①判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并用定义证明；
②判断函数 $f (x)$ 的单调性，无需说明理由；

(2)、若 $f (t^{2} - 1) < - f (t)$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围.

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12、（1）已知 $\sin θ = \frac{4}{5}$ ， $θ$ 为第二象限角，求 $\cos (θ - \frac{π}{6})$ 和 $\cos (\frac{π}{2} - 2 θ)$ 的值；
（2）在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $A + C = 2 B$ ， $a + c = 8$ ， $a c = 15$ ，求 $△ A B C$ 的面积和边 $b$ .

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13、数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边.若 $\frac{1 - \sqrt{3} \cos B}{\sqrt{3} \sin B} = \frac{1}{\tan C}$ ， $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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14、下列命题错误的是（）

A、 ${(\frac{a + b}{2})}^{2} \geq a b$ B、若 $a + b = 1$ ，且 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ C、若 $a > 1$ ，则 $a + \frac{1}{a - 1} \geq 2$ D、若 $|x - 2| + |x + 3| \geq 5$ ，则当且仅当 $x \in (- \infty, - 3] \cup [2, + \infty)$ 时，等号成立

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15、若幂函数 $f (x) = x^{a}$ 为奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则满足条件的实数 $a$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、3 D、4

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16、若实数 $a, b$ 满足 $a > 0 > b$ ，则（）

A、 $a - b < 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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17、已知定义在 $(- 3, 3)$ 上的奇函数 $y = f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $y = f (x)$ 的图象如图所示，则关于x的不等式 $\frac{f^{'} (x)}{x} > 0$ 的解集为.

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18、函数 $y = |x - 1| + |x|, x \in [a, 2]$ 的最大值为3，则 $a$ 的取值范围为.

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19、若将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则 $φ =$ ．

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20、若“ $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ ”是“ $x < a$ ”的充分条件，则 $a$ 的最小值为.

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