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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A P C$ ， $△ A B C$ 都是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形， $B P = \frac{\sqrt{2}}{2} A C$ ， Q为 $A B$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A P C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $P Q$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $b cos C - (2 a - c) cos B = 0$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、 $D$ 为边 $A C$ 上一点，且 $A D = 2 D C$ ，若 $B D = 2$ ，求 $2 a + c$ 的最大值.

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3、某校为了解学生喜欢足球是否与性别有关联，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，得到如下列联表：

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生

40

女生
30

合计

(1)、请将上面的列联表补充完整；

(2)、并依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关联？
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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4、设双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0), O$ 为坐标原点，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支相交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $∠ A O B$ 恒为锐角，则 $C$ 的离心率的取值范围为.

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5、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = a_{n} + 1$ ，在数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n + 2$ （ $n \in N^{*}$ ）项中任取两项都是正数的概率记为 $P_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P_{2} = \frac{1}{6}$ B、 $P_{2 n - 1} < P_{2 n}$ C、 $P_{2 n} < P_{2 n + 2}$ D、 $P_{2 n - 1} + P_{2 n} < P_{2 n + 1} + P_{2 n + 2}$

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6、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点 $A (1, 3)$ ， P为C上的动点，则（）

A、满足 $|P A| = |P F|$ 的点P恰有两个 B、 $|P A| + |P F|$ 的最小值为3 C、 $|P A| - |P F|$ 的最小值为 $- 2$ D、 $|P A| - |P F|$ 的最大值为3

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7、设函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{2} + 8, g (x) = sin x, h (x) = a x$ ，若对于任意的 $x \in (0, + \infty), g (x) \leq h (x) \leq f (x)$ 都成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, \frac{17}{2}]$ B、 $[1, 6]$ C、 $[\frac{1}{2}, 6]$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{17}{2}]$

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8、已知函数 $f (x) = 2 cos x (\sqrt{3} sin x - cos x) + 3$ ，对任意实数 $x_{1} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，存在实数 $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) \leq 2^{m x_{2}^{2} + x_{2}}$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{4}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{8}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{8}, + \infty)$

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9、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为2的偶函数，当 $2 \leq x \leq 3$ 时， $f (x) = 5 - 2 x$ ，则 $f (- \frac{2027}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10、已知l是一条直线， $α$ ， $β$ 为两个不同平面，若 $l ⊥ β$ ，则“ $l / / α$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知 $A = \{x |x^{2} \leq 10\}$ ， $B = \{x |x = 2 k - 1, k \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 3, - 1, 1, 3\}$ B、 $\{1, 3\}$ C、 $\{- 1, 1, 3\}$ D、 $\{- 3, - 2, - 1, 1, 2, 3\}$

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12、已知函数 $f (x) = n x - x^{n}, x \in R$ ，其中 $n \in N^{*}, n \geq 2$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为 $y = g (x)$ ，求证：对于任意的正实数 $x$ ，都有 $f (x) \leq g (x)$ ；
（Ⅲ）若关于 $x$ 的方程 $f (x) =a(a 为实数)$ 有两个正实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $| x_{2} - x_{1} | < \frac{a}{1 - n} + 2$

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13、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项之积为 $T_{n}$ ，且 $\frac{1}{a_{n}} = 1 - \frac{3}{T_{n}}$ .

(1)、求证：数列 $\{T_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{6 n + 5}{T_{n} \cdot T_{n + 1}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前2n项和 $S_{2 n}$ .

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14、已知 $A, B$ 为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上两点， $∠ A O B = \frac{π}{4}, F$ 为焦点， $O$ 为坐标原点， $A$ 在第一象限，且点 $A$ 的纵坐标大于点 $B$ 的纵坐标，若 $\frac{|A F| - 1}{|B F| - 1} = \frac{9}{4}$ ，则点 $A$ 的坐标为.

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15、已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，函数 $g (x) = (x - 3) f (x)$ 的图象关于点 $(3, 0)$ 中心对称，若 $g (- 1) = - 4$ ，则 $f (5) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、某货船执行从 $A$ 港口到 $B$ 港口的航行任务， $B$ 港口在 $A$ 港口的正北方向，已知河水的速度为向东 $2 m / s$ ．若货船在静水中的航速为 $4 m / s$ ，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（）

A、 $2 m / s$ B、 $2 \sqrt{3} m / s$ C、 $4 m / s$ D、 $2 \sqrt{5} m / s$

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17、已知复数 $z = (1 + 2 i) i$ ，则其共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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18、已知函数 $f (x) = (2 x - 1) e^{x}$ ．

(1)、证明：在曲线 $y = f (x)$ 的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线 $y = 3 x$ 的斜率相等；

(2)、当 $x ⩾ 1$ 时，不等式 $f (x) ⩾ k x - 2$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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19、如图， $A C$ ， $B D$ 是圆柱 $O O_{1}$ 下底面圆的两条直径，点 $E$ 是该圆柱上底面圆周上一点， $A E$ 的中点为 $M$ ．

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $B D M$ ；

(2)、 $C F$ 是该圆柱的母线，若四边形 $C D E F$ 是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线 $B M$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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20、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 c \cos A = a \cos B + b \cos A$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $3 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 外接圆的半径为1，求 $△ A B C$ 的面积.

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$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男生		40
女生	30
合计