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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $M, N$ ，且椭圆 $C$ 过点 $(1, \frac{3}{2})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过动点 $P (4, m)$ 作椭圆 $C$ 的切线，切点为 $A, B$ ， $A$ 在 $x$ 轴上方．
（i）证明：直线 $A M$ 与直线 $B N$ 的斜率之比为定值；
（ii）若 $m = 4$ ，过点 $P$ 作直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $D, E$ 两点，过 $D$ 作 $P A$ 的平行线，交 $A E$ 于点 $F$ ， $D F$ 交 $A B$ 于点 $G$ ，此时 $|D G| = |F G|$ ，求满足条件的所有直线 $P D$ 的斜率．

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} + a \cos x - x$ （ $e$ 为自然对数的底数， $e \approx 2.71828$ ）．

(1)、若 $a = 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = - 1$ ，证明： $f (x) > 5$ 在 $(2, 3)$ 上恒成立；

(3)、若 $x \in [1, 3]$ ，不等式 $a \cos (\ln x) \geq \ln x - x + 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、某市 $A, B$ 两个博物馆为应对暑期参观高峰，招聘博物馆讲解员志愿者，参与者通过笔试、面试、模拟技能这3项考核后可以被聘为志愿者．所有参与者均需参加3项考核，且3项考核的结果互不影响，3项考核均通过后聘为讲解员志愿者．去年有100名高中生参加 $A$ 博物馆志愿者招聘，具体招聘结果如下表所示：
性别
参加考核但未聘用的人数
参加考核并成功聘用的人数
男生
45
10
女生
30
15
今年，某高中生小乐准备参加志愿者招聘，假定他参加各项考核的结果相互不影响，且专业人士对他作出较客观的估计：小乐通过 $A$ 博物馆的每项考核的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，通过 $B$ 博物馆的各项考核的概率分别为： $\frac{1}{3}, \frac{3}{5}, \frac{1}{2}$ ．

(1)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，判断去年100名高中生参加 $A$ 博物馆的志愿者招聘能否聘用与性别是否有关联；

(2)、若小乐通过 $A, B$ 两个博物馆考核的项数分别记为 $X, Y$ ，分别求出 $X$ 与 $Y$ 的数学期望．
附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$α$
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
$x_{a}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n + 1} = 3 S_{n} + 1$ ．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，求 $a_{1}$ ；

(2)、若 $a_{1} = \frac{5}{2}, b_{n} = \frac{2 n - 1}{S_{n} + \frac{1}{2}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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5、已知 $P_{0} (0, 9)$ ，若三次函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - 9 x + 9 (0 < a < 3)$ 在点 $P_{0}$ 处的切线与 $f (x)$ 图象交于另一点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ，在点 $P_{1}$ 处的切线与 $f (x)$ 图象交于另一点 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，则 $|y_{1} - y_{2}|$ 的最大值为．

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 共10项， $a_{1} = 0, a_{10} = 20$ 且 $\{m | m = a_{k + 1} - a_{k}, 1 \leq k \leq 9, k \in N\} = \{1, 2, 3\}$ .若满足 $a_{k + 1} - a_{k} = 1$ 的 $k$ 共有奇数个，则满足条件的不同数列的个数为．

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7、已知复数 $z = \frac{3 - 4 i}{3 + 4 i}$ ，则 $|z| =$ .

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8、已知 $a \cos α + b \sin α = c, a \cos β + b \sin β = 0$ ，且 $a, b, c$ 不全为0， $a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $a = 0$ ，则 $\sin (α - β) = \frac{c}{b}$ B、若 $c = 0$ ，则 $α = β + k π, k \in Z$ C、若 $α - β = \frac{π}{4}$ ，则 $a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ D、 $\tan^{2} (α - β) = \frac{c^{2}}{a^{2} + b^{2} - c^{2}}$

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9、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C$ ， $P A = A C = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ 是 $△ P B C$ 内的动点（含边界）且 $B D ⊥ C D$ ，下列结论正确的是（）

A、二面角 $C - A B - P$ 为直二面角 B、 $C P$ 与平面 $A P B$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ C、三棱锥 $A - B C D$ 的体积最大值为1 D、 $P D$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{39} - \sqrt{6}}{2}$

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10、每个正整数都可以唯一表示成以下形式： $\sum_{i = 1}^{2 k + 1} {(- 1)}^{i - 1} 2^{a_{i}} = 2^{a_{1}} - 2^{a_{2}} + \dots + 2^{a_{2 k - 1}} - 2^{a_{2 k}} + 2^{a_{2 k + 1}}$ ，其中 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{2 k} < a_{2 k + 1}, a_{i} \in N (1 \leq i \leq 2 k + 1)$ 且 $k$ 为该正整数的“长度”，例如 $5 = 2^{0} - 2^{2} + 2^{3}$ ， $7 = 2^{0} - 2^{1} + 2^{3}$ ．若正整数 $n (1 \leq n \leq 1024)$ 的“长度”为1，则这样的 $n$ 的个数为（）

A、 $C_{9}^{3}$ B、 $C_{10}^{3}$ C、 $C_{11}^{3}$ D、 $C_{12}^{3}$

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11、下列四个选项中，最大的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\log_{2} 3$ D、 $\sqrt[3]{3}$

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12、已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 4 x + 2 y + 4$ ，则 $2 x + y$ 的最大值是（）

A、 $5 - 3 \sqrt{5}$ B、 $5 + 3 \sqrt{5}$ C、8 D、 $\frac{9}{2} + \frac{3 \sqrt{17}}{2}$

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13、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为2的奇函数，当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) = 4^{x} - 1$ ，则 $f (\frac{3}{2}) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、7 D、 $- \frac{1}{2}$

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、下列函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 为同一函数的是（）

A、 $f (x) = x + 1$ 和 $g (x) = \sqrt{{(x + 1)}^{2}}$ B、 $f (x) = x^{2} + x^{0}$ 和 $g (x) = \frac{x^{3} + x}{x}$ C、 $f (x) = x^{2} + x$ 和 $g (x^{2}) = {(x^{2} + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ D、 $f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} - 3 x}{x^{2}}}$ 和 $g (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 3 x}}{x}$

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，则“ $a^{2} + b^{2} - a b = c^{2}$ ”是“ $△ A B C$ 为等边三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知集合 $A = \{x | x < 3\}, B = \{y \in N | y^{2} < 10\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 3)$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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18、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为B， $△ A_{2} B F_{2}$ 的外接圆半径为 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如图，斜率存在的动直线与椭圆C交于P，Q两点（P、Q位于x轴的两侧）、直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $Q A_{2}$ ， $Q A_{1}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ， $k_{4}$ ，且 $k_{1} + k_{4} = \frac{5}{3} (k_{2} + k_{3})$ ，求 $△ P Q F_{1}$ 面积的取值范围．

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19、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C = C D = 2 A B = 2$ ， △ $P A D$ 是等边三角形， $M, N$ 分别为 $B C, P D$ 的中点．
（Ⅰ）求证： $M N / /$ 平面 $P A B$ ；
（Ⅱ）若二面角 $P － A D － C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求直线 $M N$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值．

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $M (3, \sqrt{2})$ ，且右焦点为 $F (2, 0)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程：

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$ ，若 $\vec{P A} = m \vec{A F}, \vec{P B} = n \vec{B F}$ ，求证： $m + n$ 为定值.

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性别	参加考核但未聘用的人数	参加考核并成功聘用的人数
男生	45	10
女生	30	15

$α$	0.15	0.1	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
$x_{a}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828