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相关试卷

1、已知角 $α (0 < α < π)$ 的顶点为 $A$ ，在 $α$ 的两边上截取 $|A B| = |A C|$ ，连接 $B C$ ，在线段 $B C$ 上取一点 $O$ ，使得 $|B O| = 2 |C O|$ ，记 $B O$ 的中点为 $D$ ，以 $O$ 为中心， $C, D$ 为顶点作离心率为2的双曲线 $M$ ，以 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径作圆，与双曲线 $M$ 左支交于点 $E$ （射线 $A E$ 在 $∠ B A C$ 内部），则 $∠ B A E = \frac{1}{3} ∠ B A C$ .在上述作法中，以 $O$ 为原点，直线 $B C$ 为 $x$ 轴建立如图所示的平面直角坐标系，若 $B (- 2, 0)$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴的上方.

(1)、求双曲线 $M$ 的方程；

(2)、若过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $x$ 轴于点 $G$ ，点 $E$ 到直线 $A G$ 的距离为 $d$ .
证明：① $\frac{|B E|}{d}$ 为定值；
② $∠ B A E = \frac{1}{3} ∠ B A C$ .

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2、如图，在矩形 $C D E F$ 中， $C D = 1, D E = 2$ ， $A, B$ 分别是 $D E, C F$ 的中点，点 $P, Q$ 分别是对角线 $A C, B E$ 上的动点（不包括端点），且 $C P = B Q = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，将四边形 $A B C D$ 沿 $A B$ 翻折，使平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B F E$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求线段 $P Q$ 的长（用 $a$ 表示）；

(3)、当线段 $P Q$ 的长最小时，求平面 $P Q A$ 与平面 $A E C$ 夹角的余弦值．

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3、甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为 $\frac{1}{2}$ ，同学乙每次击中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且两人是否击中目标相互独立.

(1)、射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行.
（i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率；
（ii）记第 $n$ 次射击由同学甲进行的概率为 $P (n)$ ，求 $P (21)$ 的值.

(2)、新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率.

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4、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ ，满足 $2 S = a^{2} - {(b - c)}^{2}$ ，若 $a^{2} + b^{2} = \sqrt{2} t S$ ，则 $t$ 的最小值为．

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5、已知函数 $f (x) = a \tan 401 x - b \sin \sqrt[3]{x} + c x + 2026$ ，且 $f (1) = 2024$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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6、 $(1 + \frac{1}{x^{3}}) {(1 + x)}^{7}$ 展开式中 $x^{2}$ 项的系数为.

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7、正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 为侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 内一点，则（）

A、若直线 $D P$ 与直线 $B C$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则点 $P$ 的轨迹为双曲线的一部分 B、若直线 $D P$ 与直线 $B_{1} D_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，则点 $P$ 的轨迹为椭圆的一部分 C、若点 $P$ 到直线 $A D$ 的距离等于到直线 $A_{1} B_{1}$ 的距离，则点 $P$ 的轨迹为抛物线的一部分 D、若 $P D = 2 P A$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{2 \sqrt{3} π}{9}$

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8、如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为 $y^{2} = 4 x$ ，过点 $F (1, 0)$ 作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且 $\vec{Q F} = 3 \vec{F P}$ ，则（）

A、开口向下的抛物线的焦点坐标为 $(0, - \frac{1}{2})$ B、曲线E上两点间距离的最大值为 $8 \sqrt{2}$ C、点 $(3, 3)$ 不在曲线E的内部 D、直线l的斜率为 $\sqrt{3}$

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9、若 $α \in (0, π)$ ， $sin α - cos α = \frac{1}{5}$ ，则（）

A、 $tan α = \frac{4}{3}$ B、 $sin 2 α = \frac{12}{25}$ C、 $sin α + cos α = \frac{7}{5}$ D、 $cos 2 α = - \frac{7}{25}$

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10、已知函数 $f (x) = (2 x - m) \ln x, g (x) = 2 n x - m n$ ，若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，则 $\frac{m}{n}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{e}) \cup [e + 1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{e}) \cup [2 e, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0) \cup [e + 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup [2 e, + \infty)$

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11、已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为（）

A、3.2 B、3.4 C、3.6 D、3.8

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12、复数 $\frac{i}{2 + i}$ 的共轭复数为（）

A、 $\frac{1 + 2 i}{5}$ B、 $\frac{1 - 2 i}{5}$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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13、若函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且对任意两个不同的实数 $a$ ， $b$ 均有 $f (a) + g (b) > 0$ 或 $f (b) + g (a) > 0$ 成立，则称 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 为一对相关函数．

(1)、判断函数 $f (x) = x + 2$ ， $g (x) = - x + 2$ ， $h (x) = x^{2} - 1$ 中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）；

(2)、已知函数 $f (x) = x^{2}$ 和 $g (x) = - 2 x + k$ 是一对相关函数，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、小菲说：“对任何一对相关函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ ，只要存在正实数 $M$ 使得 $|f (x)| \leq M$ 对任意实数 $x$ 恒成立，我都一定能找到一个正整数 $N$ 使得对任意 $x \in [N, N + 1]$ 均有 $f (x) + g (x) \geq - \frac{1}{2026}$ ． ”请判断小菲说法的正误并进行证明．

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14、已知向量 $\vec{a} = (2 \cos x, \sin x + \sqrt{2} \sin θ)$ ， $\vec{b} = (2 \sin x, - \cos x + \sqrt{2} \cos θ)$ .

(1)、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，求 $\cos (x + θ)$ ；

(2)、若 $θ = \frac{π}{4}$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} (x \in [0, π])$ ；
（i）当 $f (x)$ 取最小值时，求与 $\vec{a} + \vec{b}$ 垂直的单位向量 $\vec{c}$ 的坐标.
（ii）讨论 $y = f (x) - 2$ 的零点个数.

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15、已知 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6})$ （其中 $ω > 0$ ），相邻两个对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及其对称轴；

(2)、求不等式 $2 f (x) - \sqrt{3} \geq 0$ 的解集；

(3)、若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} - 9 m \cdot f (x) + \frac{3}{4} = 0$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 上有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

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16、已知二次函数 $f (x)$ ，满足当 $x = 3$ 时， $f (x)$ 取得最大值5，且 $f (0) = - 4$ ．

(1)、求二次函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、若 $x \in [t, t + 4]$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值 $h (t)$ ．

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17、已知函数 $f (x) = - x^{2} - 4 x - 5$ ， $g (x) = x + \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ），若存在实数 $m$ ， $n$ ，使得 $f (m) - g (n) \geq - 3$ 成立，则 $m - n =$ ．

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18、已知 $△ A B C$ 的角A，B，C对应的边为a，b，c，且 $\sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin^{2} A = \sqrt{2} \sin B \sin C$ ，则 $A =$ ．

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19、将边长为 2 的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起，使折起后 $B D = \sqrt{6}$ ，则二面角 $B - A C - D$ 的大小为.

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20、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1, A B = 2$ ，点 $P$ 是棱 $A A_{1}$ 上的动点（不含端点），过点 $D_{1}, B, P$ 作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，则（）

A、截面是平行四边形 B、若 $\frac{A_{1} P}{P A} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{2}{3}$ C、存在点 $P$ ，使得截面为长方形 D、截面的面积存在最小值 $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$

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