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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) + b (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6}) + 1$ B、函数 $g (x) = f (x) + f (x + \frac{π}{4})$ 的最大值为 $2 \sqrt{2} + 2$ C、函数 $h (x) = f (x) \cos x$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 D、方程 $f (x) = 1 + \sqrt{2}$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上恰有 $4$ 个实数根

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2、2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位： ${μg/m}^{3}$ ）.如下表：
日期
1
2
3
4
5
6
7
预测误差 $x_{i}$
$- 4$
$- 2$
1
0
$- 1$
3
3
下列关于这7天预测误差 $x_{i}$ 的描述中，正确的有（）

A、这组数据的众数是3 B、这组数据的60%分位数是0.5 C、这组数据的方差大于5 D、若第8天该模型预测误差为 $- 2$ ，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小

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3、已知定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x + 1)$ 是偶函数； $f (4 - x) = 2 - f (x)$ ； $f (0) = 1$ ， $f^{'} (0) = 2$ ，则 $f (2026) + f^{'} (2026) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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4、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $B B_{1} = 4$ ， $N$ 是 $C C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A_{1} D_{1}$ 上运动（含端点），则点 $P$ 到平面 $A B N$ 的距离的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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5、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上满足 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6、在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件 $A$ ：甲、乙选择的专题不同；事件 $B$ ：乙、丙选择的专题相同，则 $P (B |A) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，且 $a_{1} a_{5} + 4 a_{2} a_{6} + 4 a_{3} a_{7} = 16$ ，则 $a_{3} + 2 a_{5} =$ （）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $12$ D、 $16$

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8、已知 $tan (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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9、已知复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = |2 + 2 i| + \sqrt{2} i$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 5 x + 6 < 0\}$ ， $B = \{x ||x - 2| > 1\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1] \cup [3, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2) \cup (3, + \infty)$ D、 $(1, 2) \cup (3, + \infty)$

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11、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \sqrt{a_{n} + 2}$ ，设 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．记 $[x]$ 表示不超过x的最大整数．

(1)、求 $[S_{1}], [S_{2}], [S_{3}]$ ；

(2)、是否存在常数A， $ω (A > 0, 0 < ω < 2 π)$ ，使得 $a_{n} = A \cos \frac{ω}{2^{n}}$ ？若存在，求A和 $ω$ 的值；若不存在，请说明理由；

(3)、求 $[2 S_{1} + 1] + [2 S_{2} + 1] + \dots + [2 S_{n} + 1]$ ．

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12、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $A$ ．已知 $△ A O F$ （O为坐标原点）的面积为 $\frac{b^{2}}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、设B为椭圆 $C$ 上一动点，已知 $| A B |$ 的最大值为2．
（i）求 $C$ 的方程；
（ii）若 $B$ 在第一象限内，连接 $B F$ ，过 $A$ 作 $B F$ 的平行线交 $C$ 于另一点 $D$ ，记 $△ A B D$ 与 $△ A B F$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - \ln (x + a) + b$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $x - 2 y + 2 - 2 \ln 2 = 0$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ ；

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $f (x) = \frac{1}{e}$ 的两根，求证： $- 1 < x_{1} + x_{2} < - \frac{1}{2}$ ．
（注： $e = 2.71828$ …是自然对数的底数）

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面ABCD，M是PD的中点．

(1)、求证： $A M ⊥ P C$ ；

(2)、求平面MAC与平面ABCD的夹角的余弦值．

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15、国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了 $200$ 人进行问卷调查，得到如下列联表：
体质情况
组别
合格
良好及以上
合计
爱好运动
$80$
$b$
$150$
不爱好运动
$c$
$10$

合计

$200$

(1)、求 $b, c$ 的值，并依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；

(2)、在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
$0.1$
$0.01$
$0.001$
$x_{α}$
$2.706$
$6.635$
$10.828$

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16、在直角三角形ABC中， $A C = 2, B C = 1$ ， D为斜边AB上一点，若 $△ A C D$ 与 $△ B C D$ 的内切圆面积相等，则 $B D =$ ．

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， P是双曲线上一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形，则C的离心率为．

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18、在 $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为．

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19、已知 $f (x), g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，若 $h (x) = \{\begin{cases} f (x), f (x) \leq g (x) \\ g (x), f (x) > g (x) \end{cases}$ ，则（）

A、当函数 $f (x), g (x)$ 均为奇函数时， $h (x)$ 为奇函数 B、当函数 $f (x), g (x)$ 均为增函数时， $h (x)$ 为增函数 C、当函数 $f (x), g (x)$ 均有最小值时， $h (x)$ 有最小值 D、当函数 $f (x), g (x)$ 均有最大值时， $h (x)$ 有最大值

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20、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD是边长为1的菱形，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = ∠ B C D = \frac{π}{3}$ ， $C A_{1} ⊥$ 平面 $C_{1} B D$ ，则（）

A、平面 $C_{1} B D / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、 $B D ⊥ C C_{1}$ C、 $A C_{1} = \sqrt{3}$ D、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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体质情况组别	合格	良好及以上	合计
爱好运动	$80$	$b$	$150$
不爱好运动	$c$	$10$
合计			$200$

日期	1	2	3	4	5	6	7
预测误差 $x_{i}$	$- 4$	$- 2$	1	0	$- 1$	3	3

$α$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$6.635$	$10.828$