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相关试卷

1、设 $A$ ， $B$ ， $C$ 是同一概率空间中的随机事件，满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B |A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B |\bar{A}) = \frac{1}{4}$ ， $P (C |B) = \frac{1}{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、 $P (B) = \frac{7}{24}$ C、 $P (A + B) = \frac{5}{8}$ D、 $P (B C) = \frac{5}{48}$

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2、下列结论正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1} (m, n$ 为正整数且 $n > m > 1)$ B、满足方程 $C_{16}^{x^{2} - x} = C_{16}^{5 x - 5}$ 的 $x$ 值可能为 $x = 1$ 或 $x = 3$ C、甲、乙、丙等 $5$ 人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有 $36$ 种排法 D、把 $6$ 个相同的小球分到 $3$ 个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有 $10$ 种

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3、已知 $x = 0$ 是函数 $f (x) = ln (x + 1) + \frac{a}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x$ 的极大值点，则实数 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4、已知函数 $f (x) = a e^{- x} + \ln x$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 2)$ 上单调递减，则实数a的最小值为（）

A、 $e^{2}$ B、 $\frac{e^{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{e}$ D、e

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5、 $(x + y) {(x - y)}^{6}$ 的展开式中 $x^{4} y^{3}$ 的系数是（）

A、10 B、 $- 10$ C、5 D、 $- 5$

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6、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $A P B ⊥$ 平面 $P B C$ ，平面 $A P C ⊥$ 平面 $P B C$ .

(1)、求证： $A P ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P B = P C$ ，二面角 $A - B C - P$ 的大小为 $60^{\circ} ， P A = 3 \sqrt{3} ， B C = 6$ . 若 $Q$ 为平面 $P B C$ 内一动点，满足
$Q B + Q C = 2 \sqrt{11}$ ，求 $A Q$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值的最小值.

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7、已知 $a, b, c$ 分别为锐角 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边， $S$ 为三角形 $△ A B C$ 的面积，且满足 $c c o s A + \sqrt{3} c s i n A = b + a .$

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $S = 4 \sqrt{3}$ ，求 $b$ 的取值范围.

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8、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求Γ的方程；

(2)、若直线 $y = x + m$ 与 $Γ$ 交于A，B两点，且 $| A B | < \frac{8 \sqrt{10}}{9}$ ，求m的取值范围．

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4． $M$ 为棱 $D C$ 的中点， $N$ 为侧面 $A D_{1}$ 的中心，过点 $M$ 的平面 $α$ 垂直于 $C_{1} N$ ，则平面 $α$ 截正方体 $A C_{1}$ 所得的截面面积为．

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10、如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有种．

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11、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.曲线 $C$ ： ${|x|}^{\frac{1}{2}} + {|y|}^{\frac{1}{2}} = 1$ 就是其中之一，P为曲线 $C$ 上一点，则下列结论正确的有（）

A、曲线 $C$ 恰有2条对称轴和1个对称中心 B、若P在第一象限内，则点P到点 $N (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 的距离和到直线 $y = - x$ 的距离相等 C、曲线 $C$ 所围成的封闭图形的面积小于 $4 - π$ D、若P不在坐标轴上，则曲线 $C$ 在点P处的切线的横纵截距之和为1

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $θ$ 以坐标原点 $O$ 为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点 $P (x_{0}, y_{0})$ ， $| O P | = r (r > 0)$ ，定义 $μ (θ) = \frac{y_{0} + x_{0}}{r}, v (θ) = \frac{y_{0} - x_{0}}{r}$ ，则（）

A、 $μ (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ B、 $μ (θ)$ 的最大值为 $2$ C、 $μ^{2} (θ) + v^{2} (θ) = 2$ D、 $μ (π + θ) = v (θ)$

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13、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $O$ 为坐标原点，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a >$ $0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，左、右顶点分别为 $A_{1} 、 A_{2} ， P$ 点为双曲线左支上一点且满足 $P F ⊥ x$ 轴，点 $M$ 为线段 $P F$ 上一点，直线 $M A_{1}$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，直线 $M A_{2}$ 交 $y$ 轴于点 $G$ ，若 $|\vec{O E}| = 3 |\vec{O G}|$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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14、设 $a = \log_{0.3} 0.2, b = \log_{2} 0.2$ ，则（）

A、 $a + b < 0 < a b$ B、 $a b < 0 < a + b$ C、 $a + b < a b < 0$ D、 $a b < a + b < 0$

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15、正四面体 $P - A B C$ 中，二面角 $P - A B - C$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 4}, B = \{x \in Z ∣ x^{3} \leq 3 x\}$ ，则如图所示的阴影部分表示的集合为（）

A、 ${- 1, 2, 4}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${- 2, 4}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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17、设函数 $f (x) = x \ln x - a (x^{2} - 1)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线方程为 $x + y - 1 = 0$ ，求 $a$ 的值；

(2)、当 $x > 1$ 时 $f (x) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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18、已知公差不为零的正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 15$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ ， $a_{13}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19、已知函数 $f (x) = (x^{2} - a x - 1) e^{x - 2}$ ，且 $f^{'} (2) = 4$ .

(1)、求a的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值.

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20、已知在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是 $\frac{2}{5}$ .

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中的常数项；

(3)、求展开式中的有理项.

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