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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a^{2} x^{2} + a x - ln x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求a的取值范围.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E是PC的中点.

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ．

(2)、若 $A B = A P = 2$ ，求二面角 $P - B D - E$ 的余弦值.

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3、某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表：
单位：人
义肢类型
满意度
合计
满意
不满意
传统义肢
60
40
100
智能义肢
80
20
100
合计
140
60
200

(1)、任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率；

(2)、依据 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α$
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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4、若对于任意的 $a \in R$ ，关于x的方程 $|sin x + cos x| + |sin x cos x| = m$ 在 $[a,π + a]$ 上始终有解，则m的取值范围为.

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5、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为.

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6、函数 $f (x) = (x + 3) {(x - 1)}^{2}$ 的极大值点为.

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7、记函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，已知 $f (1) = e$ ，且 $\forall x \in R$ ， $f^{'} (x) < f (x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) > 1$ B、 $f (2) > e^{2}$ C、若 $f (x)$ 为偶函数，则 $f^{'} (x) > - f (x)$ D、 $f (x)$ 可能为二次函数

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8、如图，从双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 发出的光线，到达C上的点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点 $F_{2}$ ，且C在点P的切线l恰好为 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线所在的直线.已知 $|F_{1} F_{2}| = 4$ ， C的离心率为2，则下列结论正确的是（）

A、C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、若 $P (\sqrt{3}, y_{0})$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$ C、若l与x轴交于点 $Q (\frac{2}{3}, 0)$ ，则 $∣ P F_{1} ∣ = 4$ D、若l的斜率为2，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形

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9、已知向量 $\vec{a} = (3, - 1)$ ， $\vec{b} = (x, y)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x + 3 y = 0$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $3 x + y = 0$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x - 3 y = 0$ D、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $3 x - y = 0$

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10、如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为10，底面半径为4，且两个圆锥的顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（）

A、 $\frac{80 π}{9}$ B、 $\frac{320 π}{9}$ C、 $20 π$ D、 $80 π$

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11、已知 $P$ 是抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上一点， $l$ 为 $C$ 的准线，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ，记 $M$ 为 $P H$ 的中点， $O$ 为坐标原点， $F$ 为 $C$ 的焦点.若 $|O M| = 2$ ，则 $|P F| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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12、已知 $sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (α - \frac{π}{3}) + cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{4}{9}$ B、 $- \frac{10}{9}$ C、 $\frac{10}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} m x + 1, x < 2 \\ - 2^{- x}, x \geq 2 \end{cases}$ 的值域为 $[- \frac{1}{4}, + \infty)$ ，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{5}{8}, - \frac{1}{2})$ B、 $[- \frac{5}{8}, 0)$ C、 $(- \frac{5}{8}, - \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{5}{8}, 0)$

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14、已知随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 94) + P (X < 86) = 1$ ，则 $μ =$ （）

A、88 B、90 C、92 D、94

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15、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $2 a + b = 2 c cos B$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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16、集合 $A = \{x \in N| \frac{12}{x} \in N\}$ 的子集的个数为（）

A、64 B、16 C、6 D、4

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17、复数 $(1 + i) (4 - i)$ 的虚部为（）

A、 $5 i$ B、 $3 i$ C、5 D、3

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18、在某个抽奖游戏中，抽奖箱内装有 $n$ 个大小相同、质地均匀的小球，编号分别为1，2，…，n．游戏规则如下：从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回；再从箱子中随机取出一个小球，记录下编号后放回：重复这个过程，直到某次取到的小球的编号小于或等于上一次取到的小球的编号时停止．游戏停止时，取球的总次数记作T， $P_{n} (T = k)$ 表示“共有n个小球，按规则取球k次后游戏停止”的概率．

(1)、求 $P_{10} (T = 2)$ 和 $P_{10} (T = 3)$ 的值；

(2)、若小球的个数为n，求游戏停止时取球次数为奇数的概率 $P_{n}$ （用n表示）．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + b x + b}{2 e^{x}}$ ．

(1)、当 $a = 1, b = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最大值；

(2)、当 $a = 0$ 时，若对任意的实数m，直线 $y = x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 恰有一个公共点，求实数b的取值范围；

(3)、若 $a = 1, 0 < b \leq 2, 0 < c \leq 2$ ．证明：当 $x \in [0, + \infty)$ 时， $2 f (x) + \frac{1}{e^{x}} \leq e^{x} (3 - c \sin x)$ ．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴的长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线 $l : y = k x + m (k \neq 0)$ 与椭圆C有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x，y轴于 $A (x_{0}, 0)$ 和 $B (0, y_{0})$ ．
（i）求 $△ O A B$ 面积的最大值；
（ii）当点M运动时，求点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的轨迹方程．

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义肢类型	满意度		合计
义肢类型	满意	不满意	合计
传统义肢	60	40	100
智能义肢	80	20	100
合计	140	60	200

$α$	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	7.879	10.828