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相关试卷

1、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，已知正四面体 $S A B C$ 的四个顶点的坐标为 $A (0, 0, 0)$ ， $B (2 \sqrt{6}, 0, 0)$ ， $C (\sqrt{6}, 3 \sqrt{2}, 0)$ ， $S (m, n, t) (t > 0)$ ，点 $N (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 在四面体 $S A B C$ 外接球的球面上，且 $C N ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $H (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 在四面体 $S A B C$ 内切球的球面上，则下列结论正确的有（）

A、 $m n t = 8 \sqrt{3}$ B、 $|\vec{H N}|$ 的最大值是最小值的2倍 C、四面体 $S A B C$ 外接球的体积为 $108 π$ D、当 $|\vec{H N}|$ 取得最小值时，点 $H$ 的坐标为 $(\sqrt{6}, \frac{5 \sqrt{2}}{3}, \frac{4}{3})$

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2、已知函数 $f (x) = cos (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (\frac{3π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{3} + 3 x + a, x \leq 1 \\ - \ln x + 2, x > 1 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = b (b \in R)$ 恒有解，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(- \infty, 4]$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0]$

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4、若圆 $A ： {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上存在两点 $M ， N$ ，直线 $l ： x + y + a = 0$ 上存在点 $P$ ，使得 $∠ M P N = 90 °$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 10, 6]$ B、 $(- \infty, - 10]\cup[6, + \infty)$ C、 $[- 5, 3]$ D、 $(- \infty, - 5]\cup[3, + \infty)$

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5、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $a_{6} = 4$ ， $T_{6} = 512$ ，则 $a_{21} =$ （）

A、8 B、16 C、24 D、32

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6、圆锥的底面半径为 6 ，高为 6 ，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（）

A、 $4π$ B、 $8π$ C、 $16π$ D、 $32π$

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7、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 $a = 1, b = \sqrt{3}$ ， $A = 30 °$ ，则c为（）

A、1 B、2 C、1或2 D、1或 $\frac{3}{2}$

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8、一组从小到大排列的数据： $2, 8, x, 18, 22$ .若它们的第60百分位数比平均数大2，则 $x$ 的值为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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9、已知集合 $A = \{x |2 x > 4\}$ ， $B = \{x |4 x + 3 \leq 15\}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 $\{x |2 < x \leq 3\}$ B、 $\{x |2 \leq x < 3\}$ C、 $\{x |1 < x \leq 5\}$ D、 $\{x |1 \leq x < 5\}$

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10、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 3 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\sqrt{10}$ D、10

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11、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} {cos}^{2} x - \frac{1}{2} sin x cos x - \frac{\sqrt{3}}{4}, x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值；

(3)、将函数 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 在 $[0, 2 π]$ 上所有零点之和．

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12、已知 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则 $|z|$ =.

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13、已知 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（用坐标表示）

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14、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $y = f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，可以得到 $y = 2 sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{7 π}{12}, 0)$ 中心对称 D、若函数 $y = f (\frac{m}{2} x)$ 在 $[0, 2 π]$ 有且仅有4个零点，则 $m$ 的取值范围是 $[\frac{11}{6}, \frac{7}{3})$

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15、已知 $a, b, c$ 分别是 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，点 $O$ 是 $△ A B C$ 内部的一个点，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} < 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ C、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} = 2$ D、若 $2 \vec{O A} + \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}, S_{△ A O C}, S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ A O C, △ A B C$ 的面积，则 $S_{△ A O C} : S_{△ A B C} = 1 : 6$

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16、下列有关复数 $z$ 的叙述正确的是（）

A、若 $z = i^{3}$ ，则 $\bar{z} = i$ B、若 $z = 1 + \frac{1}{i}$ ，则 $z$ 的虚部为 $- i$ C、若 $|z| = 1$ ，则 $|\frac{1}{z}| = 1$ D、若 $|z - i| = 1$ ，则 $0 \leq |z| \leq 2$

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17、如图， $△ A B C$ 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若 $A D = 2, B D = 1$ ，点M为线段 $C E$ 上的动点，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M C}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{25}{4}$ B、 $\frac{25}{16}$ C、 $- \frac{25}{16}$ D、 $\frac{25}{4}$

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18、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y = 2$ 与抛物线 $E$ 交于点 $R$ ，且 $|R F| = \frac{5}{2} p$ ．

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、过F作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，这两条直线与抛物线E分别交于点 $A$ ， $B$ 和 $C$ ， $D$ ，其中点 $A$ ， $C$ 在第一象限．
（ⅰ）设 $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 的中点，H为直线 $A C$ 与直线 $B D$ 的交点，求 $△ H M N$ 面积的最小值；
（ⅱ）过F作x轴的垂线，分别交 $A C$ ， $B D$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，判断是否存在以 $P Q$ 为直径的圆与y轴相切？如果存在，求出该圆的方程，如果不存在，说明理由．

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19、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a \ln x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有唯一零点，求a的取值范围；

(3)、若 $p, q > 0$ ，且 $q e^{\frac{1}{p}} = p e^{- \frac{1}{q}}$ ，证明： $p - q > 2$ ．

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20、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P B = P D = A B = A D = 2$ ， $B C = 1$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值．

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