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相关试卷

1、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $△ D B C$ 为直角三角形，其中D为直角顶点， $∠ D C B = 60 °$ ． $E, F, G, H$ 分别是线段 $A B$ 、 $A C$ 、 $C D$ 、 $D B$ 上的动点，且四边形 $E F G H$ 为平行四边形，设二面角 $A - B C - D$ 的平面角的大小为 $α$ $(0^{\circ} < α \leq 90^{\circ})$ .

(1)、当 $α = 90^{°}$ 时，求四面体 $A B C D$ 的外接球的表面积；

(2)、当线段 $A D = \sqrt{3}$ 时，求直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正切值；

(3)、当点 $E$ 满足 $A E = 2 E B$ ，且 $△ A C D$ 是以 $C D$ 为底的等腰三角形时，求多面体 $A D E F G H$ 的体积.

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2、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ， $a^{2} + c^{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a c sin B + 12$ ， D为边 $A C$ 的中点.

(1)、若 $c = 2$ ，证明： $sin ∠ A B D = 2 sin ∠ C B D$ ；

(2)、求BD的最大值.

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3、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + 4 \sqrt{3} \sin x \cos x - 3 \cos^{2} x + 1$

(1)、若 $f (x_{0}) = 2 \sqrt{3}, x_{0} \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $x_{\circ}$ 的值；

(2)、令 $g (x) = \frac{1}{4} f (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ ，若 $g (α) = \frac{3 \sqrt{10}}{10}, g (α + β + \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{5}}{5},$ $α \in (0, \frac{π}{2}), β \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $g (2 α + β)$ 的值.

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E, F$ 分别是棱 $C D, A P$ 的中点．

(1)、证明： $P C ⊥ B D$ ；

(2)、证明： $E F //$ 平面 $P B C$ ．

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5、直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ， $E$ 是线段 $A B$ 上一点， $C B = C E$ ， $A C = \sqrt{6} A E$ ，设 $∠ A B C = α, ∠ A C E = β$ ，则 $\sin β =$ .

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6、在 $△ A B C$ 中，满足 $\frac{a}{\cos B} = \frac{b}{\cos A}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为.

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7、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{8}$ 的方差为 $\frac{4}{3}$ ，则 $3 x_{1} - 2$ ， $3 x_{2} - 2$ ， $\dots$ ， $3 x_{8} - 2$ 的方差为.

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8、如图，已知等边 $△ A B C$ 的边长为 $4$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的高，沿 $A D$ 将平面 $A C D$ 折起，得到四面体 $A B C D$ ，若二面角 $B - A D - C$ 的平面角大小为 $60^{\circ}$ ， $G$ 是四面体 $A B C D$ 棱 $B D$ 的中点， $P$ 是 $△ A C D$ 内的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $A D ⊥$ 平面 $B C D$ B、设二面角 $C - A B - D$ 的平面角大小为 $α$ ，则 $\tan α = \frac{1}{2}$ C、若 $G P / /$ 平面 $A B C$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $2$ D、点 $D$ 到平面 $A B C$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

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9、下列说法正确的是（）

A、与向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ 方向相同的单位向量的坐标为 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ B、 $\vec{a}, \vec{b}$ 为非零向量，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |^{2}}$ C、 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为非零向量，且相互不共线，则 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} = \vec{0}$ D、若 $\vec{a} = (2, 3)$ 与 $\vec{b} = (x, - 6)$ 共线，则 $x = - 4$

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10、直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形，侧棱 $A A_{1} = 3 \sqrt{2}$ ， $E, F$ 分别是 $A B, B C$ 的中点，则过点 $D_{1}, E, F$ 的平面截直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面的面积为（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ D、 $7 \sqrt{3}$

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11、在 $Δ A B C$ 中，点 $O$ 满足 $\vec{C O} = \vec{O B}$ ，过点 $O$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于不同的两点 $E$ ， $F$ ，设 $\vec{A B} = x \vec{A E}, \vec{A C} = y \vec{A F}$ ，则 $x + y =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、若 $\frac{1 + \sin 2 x}{\cos 2 x} = 2$ ，则 $\tan (x - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $1$

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13、书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、已知 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (1, - 2)$ ，若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $1$ D、2

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15、圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（）．

A、 $30 π$ B、 $31 π$ C、 $32 π$ D、 $33 π$

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16、复数 $z$ 满足 $(2 + i) \cdot z = 5$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、1

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17、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{6}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{6}, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．分别过 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 作两条平行直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ．设 $l_{1}$ 与C交于P，Q两点， $l_{2}$ 与y轴交于点M．

(1)、求C的方程；

(2)、若点M在y轴的负半轴上，求 $l_{1}$ 斜率的取值范围；

(3)、若 $| P M | = | Q M |$ ，求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的一般式方程．

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + x, g (x) = 3 ln x + 3$ .

(1)、若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且0为 $f^{'} (x)$ 的极值点，求 $a$ ；

(2)、当 $a = 0$ 时，过原点的直线 $l$ 与 $f (x)$ 的图象相切，证明：当 $x > 0$ 时， $l$ 在 $g (x)$ 图象的上方.

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边长分别是 $a, b, c$ ，且 $a cos B + b cos A = c cos (A - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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20、如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有种．

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