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相关试卷

1、泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点 $F (2, 0)$ ，直线 $l : x = \frac{9}{2}$ ，动点 $P$ 到点 $F$ 的距离是点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的 $\frac{2}{3}$ ．若某直线上存在这样的点 $P$ ，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是（）

A、点 $P$ 的轨迹方程是 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、直线 $l_{1} : \frac{x}{9} + \frac{y}{5} = 1$ 是“最远距离直线” C、点 $P$ 的轨迹与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 没有交点 D、平面上有一点 $A (- 1, 1)$ ，则 $2 |P A| + 3 |P F|$ 的最小值为 $\frac{33}{2}$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{4}{e^{x} - 1} + 2$ ，则（　　）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 为 $R$ 上的减函数 D、 $f (x)$ 无最值

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3、已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（）

A、 $20 \sqrt{15} π$ B、 $64 \sqrt{6} π$ C、 $96 π$ D、 $60 π$

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4、我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“--”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件 $A =$ “取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件 $B =$ “取出的重卦中恰有3个阳爻”.则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{11}{32}$ C、 $\frac{21}{32}$ D、 $\frac{20}{57}$

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5、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}, B = \{x |{log}_{3} x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2\}$

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(2 a - c) sin A + (2 c - a) sin C = 2 b sin B$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a + c = 5$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $b$ ；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = \sqrt{3}$ ，求 $a - c$ 的取值范围.

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ， $C D = \sqrt{2}$ ， $P A = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(3)、求二面角 $P - C D - A$ 所成角的余弦值.

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8、如图，为了测量两山顶 $M$ ， $N$ 间的距离，飞机沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两个位置进行测量， $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 在同一平面内且与水平面垂直.在 $A$ 点测得 $M$ ， $N$ 的俯角分别为 $α_{1} = 75 °$ ， $β_{1} = 30 °$ ，在 $B$ 点测得 $M$ ， $N$ 的俯角分别为 $α_{2} = 45 °$ ， $β_{2} = 60 °$ ，同时测得 $A B = \sqrt{6} km$ .

(1)、求 $A M$ 的长度；

(2)、求 $M$ ， $N$ 之间的距离.

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9、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ， $D$ 为棱 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} B //$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求异面直线 $A_{1} B$ 与 $A D$ 所成角的余弦值；

(3)、求三棱锥 $C - A_{1} A B$ 的体积.

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10、已知向量 $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (- 4, m)$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $m$ ；

(3)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / (2 \vec{b})$ ，求 $m$ .

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11、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $F$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点，点 $G$ 为线段 $A_{1} D$ 上的一个动点，设直线 $F G$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成角为 $θ$ ，则 $\sin θ$ 的最大值为.

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12、已知一个圆柱的底面半径为3，高为8，则该圆柱的外接球的表面积等于.

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13、某个班共有54名学生，其中男女生人数比为 $5 : 4$ ，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同学人.

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14、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，且 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = \frac{9}{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $B = \frac{π}{3}$ B、 $a c = 3 \sqrt{3}$ C、当 $a = 3$ 时， $b = \sqrt{3}$ D、 $b$ 的取值可能是 $2$

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15、已知 $P$ 为空间中一点， $m$ ， $n$ ， $l$ 为互不相同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为互不相同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、 $l // m$ ， $m // α \Rightarrow l // α$ 或 $l \subset α$ B、若 $m // n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、 $α // γ$ ， $β // γ \Rightarrow α // β$ D、 $P \in α$ ， $P \in β \Rightarrow α \cap β = P$

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16、已知复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部是 $- 1$ B、 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根 C、 $|z| = \sqrt{2}$ D、 $z$ 表示的点在第一象限

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17、已知 $△ A B C$ 为边长为 $3$ 的等边三角形，设点 $M$ 为 $A B$ 边的中点，点 $P$ 在边 $B C$ 上（包括端点），则 $\vec{M P} \cdot \vec{C P}$ 的最小值等于（）

A、 $- \frac{81}{64}$ B、 $- \frac{55}{64}$ C、 $\frac{55}{64}$ D、 $\frac{81}{64}$

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18、如图， $P$ 为平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $E$ 为 $A D$ 上一点，且 $\frac{A E}{E D} = \frac{1}{3}$ ， $F$ 为 $P C$ 上一点，当 $P A //$ 平面 $E B F$ 时， $\frac{P F}{F C} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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19、《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭 $A B C D - E F H G$ ，其上、下底面的周长分别为4，8，方亭的高为3，则方亭的体积为（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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20、已知复数 $z = (m^{2} - m - 6) + (m - 3) i$ 为纯虚数，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ 或3 B、 $- 2$ C、3 D、6

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