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相关试卷

1、函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，如果 $\forall x \in D$ ，都有 $f (a + x) + f (a - x) = 2 b$ 恒成立，那么 $f (x)$ 的图象关于 $(a, b)$ 对称．已知 $f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x - \frac{2}{27} a^{3}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 3$ 时，
①证明：函数 $f (x)$ 图象关于 $(2, 0)$ 对称；
②求 $f (\frac{1}{10}) + f (\frac{2}{10}) + \dots + f (\frac{39}{10})$ 的值．

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2、为调查学生喜欢在食堂就餐是否和性别有关，学校随机调研了男女生各100人，经统计得到如下 $2 \times 2$ 列联表：

男
女
喜欢
80
40
不喜欢
20
60

(1)、依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断学生喜欢在食堂就餐是否与性别有关？

(2)、为听取学生对食堂的建议，从学生中抽取9人召开座谈会，并给其中3名同学赠送礼品，每人1份（其余人员仅赠送餐券）．已知参加座谈会的学生中有且只有4名学生来自高一，求高一这4名学生中得到礼品的人数 $X$ 的分布列和数学期望．
$α$
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
6.635
7.879
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $(n = a + b + c + d)$

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = D C = 2, A D = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求平面 $A B C D$ 与平面 $A P M$ 夹角的余弦值．

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4、已知 $M = {x | 1 \leq x \leq 16, x \in N}$ ， $A = \{x_{1}, x_{2}, x_{3}\} \subseteq M$ ，且 $\frac{x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3}}{3} \in Z$ ．则满足条件的集合 $A$ 共有个．

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5、 ${(x + \frac{1}{x} + 2)}^{4}$ 的展开式的常数项是．

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6、已知 $f (x) = \sin^{3} x + a x - 6$ ，且 $f (- 1) = 8$ ，则 $f (1) =$ ．

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7、设事件 $A$ ， $B$ 满足 $0 < P (A) < P (A | \bar{B})$ ，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 可能独立 B、 $A$ 与 $B$ 可能互斥 C、 $P (A) > P (A | B)$ D、 $P (B) < P (B | \bar{A})$

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8、已知 $(2 - x) {(1 + x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2026} x^{2026}$ ，则（）

A、 $a_{1} = 4049$ B、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2026} = 2^{2025}$ C、 $2^{2026} a_{0} + 2^{2025} a_{1} + 2^{2024} a_{2} + \dots + a_{2026} = 3^{2026}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 2026 a_{2026} = 2024 \times 2^{2024}$

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9、下列命题正确的是（）

A、两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于1 B、对具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ ，有一组观测数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 10)$ ，其经验回归方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + 3$ ，且 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{10} = 3 (y_{1} + y_{2} + y_{3} + \dots + y_{10}) = 9$ ，则实数 $\hat{b}$ 的值是 $- 3$ C、已知随机变量 $X$ 的方差为4，则 $3 X + 2$ 的标准差是6 D、已知随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X < - 1) = 0.3$ ，则 $P (X < 2) = 0.7$

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10、甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{8}$

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11、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} (a - 2) x - a + 1, x < 1 \\ - a x^{2} + \ln x, x \geq 1 \end{matrix}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上对任意 $x_{1}, x_{2}$ $(x_{1} \neq x_{2})$ 满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2}, 2)$ B、 $(\frac{1}{2}, 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, 2)$

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12、已知奇函数 $f (x)$ 在 $x > 0$ 上满足 $f (x) = \frac{3}{4} f^{'} (1) \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ ，其中 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f (x)$ 的极大值点为（）

A、3 B、 $- 3$ C、1 D、 $- 1$

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13、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 相交于点 $O$ ， $∠ B A C = 90^{°}$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C = 60 °$ ， $A_{1} A = 2$ ， $A B = A C = 1$ ，则线段 $A O$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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14、若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）

A、 $5^{3}$ 种 B、 $3^{5}$ 种 C、 $A_{5}^{3}$ 种 D、 $C_{5}^{3}$ 种

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15、已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，且满足 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2) - f (2 + Δ x)}{2 Δ x} = 1$ ，则函数 $f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处切线的斜率为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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16、已知直线 $a ∥$ 平面 $α$ ，则“直线 $b ⊥$ 平面 $α$ ”是“ $a ⊥ b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知集合 $M = {x ∣ 0 < x < a}, N = \{x ∣ x^{2} - 6 x + 5 < 0\}$ ，若 $N \cup M = M$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[5, + \infty)$ B、 $(5, + \infty)$ C、 $[3 ， + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} + \frac{1}{a_{n - 1}} = 2$ ，且 $a_{1} = \frac{3}{2}$ . $\{b_{n}\}$ 为等差数列，其前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，有 $S_{b_{n}} = 4 n^{2} - 22 n + t$ ．

(1)、设 $c_{n} = b_{\frac{1}{a_{n} - 1}}$ ．
（i）求 $t$ ，并证明 $\{c_{n}\}$ 为等差数列．
（ii）在 $c_{n}$ 的前5项中随机取3项，设其小于 $5$ 的项数为X．求X的分布列与数学期望．

(2)、证明： $2 \cdot e^{a_{1}} \cdot e^{a_{2}} \cdot e^{a_{3}} \dots \cdot \cdot e^{a_{n}} > (n + 2) e^{n}$

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19、已知函数 $f (x) = \frac{x^{n}}{n} - \frac{1}{n} (n > 0, x > 0)$ ．

(1)、设 $n = \frac{1}{2}$ ，
（i）证明： $lim_{Δ x \to 0} f (x + Δ x) = f (x) + f^{'} (x) \cdot Δ x$ ，并由此求 $f (\frac{20000 + π}{5000})$ (精确到 $0.000001$ )．
（ii）比较 $f (x)$ 与 $g (x) = ln (x)$ 的大小并说明理由．

(2)、求证：当 $n$ 趋于0时， $f (x) \approx ln (x)$ ．

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20、在四面体 $A - B C D$ 中， $A B = B C = C D = A D = 1$ ，

(1)、证明： $B D ⊥ A C$ ．

(2)、求四面体 $A - B C D$ 体积的最大值．

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	男	女
喜欢	80	40
不喜欢	20	60

$α$	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	6.635	7.879	10.828