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相关试卷

1、已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，以其底面圆心为球心，底面半径为半径的球和圆锥表面的交线长为（）

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $(4 + 2 \sqrt{3}) π$ D、 $6 π$

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2、某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 $N (105, σ^{2})$ （ $σ > 0$ ），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的 $\frac{1}{5}$ ，则此次数学考试成绩在90分到105分（含90分和105分）之间的人数约为（）

A、150 B、200 C、300 D、400

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3、已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，若实数a满足 $f (2^{|a - 1|}) > f (- \sqrt{2})$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$

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4、在复平面内，O为坐标原点，复数 $1 - i$ ， $- 1 + 2 i$ 对应的向量分别是 $\vec{O M}$ ， $\vec{O N}$ ，则 $\vec{M N}$ 对应的复数为（）

A、 $- 2 + 3 i$ B、 $i$ C、 $2 - 3 i$ D、 $- i$

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5、已知全集 $U = A \cup B = {x \in N | 0 \leq x \leq 4}$ ， $A \cap (∁_{U} B) = {1, 2, 3}$ ，则集合 $B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{0, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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6、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥ A B$ ， $P A = A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $P A$ 的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $P D$ 与平面 $D E F$ 所成角的余弦值．

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7、设 $a$ ， $b \in R_{+}$ ，若 $a + 4 b = 4$ ，则 $\frac{\sqrt{a} + 2 \sqrt{b}}{\sqrt{a b}}$ 的最小值为，此时 $a$ 的值为.

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8、我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体 $A B C D E F$ 中， $E F // A D // B C$ ，四边形 $A D E F$ ， $A D C B$ ， $E F B C$ 为等腰梯形，且平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A D C B$ .其中 $E F = a$ ， $A D = b$ ， $B C = c$ （ $b > c > a$ ），且 $E F$ 到平面 $A D C B$ 的距离为 $h$ ， $B C$ 和 $A D$ 的距离为 $d$ ，若 $a = 4$ ， $b = 10$ ， $c = 6$ ， $h = 3$ ， $d = 4$ ，则该“羡除”的体积为.

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9、已知集合 $A = \{1, |a - 1|, a + 2\}$ ，且 $2 \in A$ ，则实数 $a$ 的值为．

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10、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且满足 $f (3 + x) - f (3 - x) + 6 x = 0$ ，函数 $f (1 - 2 x)$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 对称 B、8是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x)$ 一定存在零点 D、 $f (101) = - 299$

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11、已知函数 $f (x) = A sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象过点 $(0, - 1)$ ，且两条相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、直线 $x = - \frac{π}{6}$ 为函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 1, 2]$

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12、几何学史上有一个著名的米勒问题：“设 $E, F$ 是锐角 $∠ A P B$ 的一边 $P A$ 上的两点，试在边 $P B$ 上找一点 $Q$ ，使得 $∠ E Q F$ 最大．”如图，其结论是：点 $Q$ 为过 $E, F$ 两点且和射线 $P B$ 相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 $x o y$ 中，给定两点 $E (2, 4), F (4, 2)$ ，点 $Q$ 在 $y$ 轴上移动，则 $∠ E Q F$ 的最大值为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $5 a_{5} - 2 S_{5} = 2$ ，则 $3 a_{6} - S_{6} =$ （）．

A、4 B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、6

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14、已知方程 $\frac{x^{2}}{k - 2} - \frac{y^{2}}{k - 4} = 1$ 表示的曲线是椭圆，则实数 $k$ 的取值范围是（）．

A、 $(2, 3)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(2, 3) \cup (3, 4)$

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15、样本数据15，13，12，31，29，25，43，19，17，38的中位数为（）．

A、19 B、22 C、21 D、18

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16、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (6, \frac{1}{3})$ ， $Y = 3 X + 1$ ，则 $E (Y) =$ .

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (4, 8)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、1 B、-1 C、-4 D、4

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18、某药厂为获得新研发药品的治愈率 $p$ ，委托某公司进行调查，首轮抽取 $n$ 个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立．

(1)、假设 $p = \frac{1}{2}$ ，回答以下问题：
（ⅰ）若 $n = 10$ ，求患者痊愈比例为 $40 %$ 到 $60 %$ 的概率．
（ⅱ）该公司第二轮再抽取 $m$ 个患者进行试验．为简化运算过程，拟用 $C_{m + n}^{k} {(\frac{1}{2})}^{m + n}$ 计算两轮试验治愈总人数为 $k (k = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot, m + n)$ 的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由．

(2)、在 $n$ 重伯努利试验中，随机变量 $X_{n} ～ B (n, p)$ ，随着试验次数增加，其概率计算较为复杂，此时，根据中心极限定理， $X_{n}$ 近似服从正态分布 $N (n p, n p (1 - p))$ ，故常用以下公式简化概率计算： $P (X_{n} \leq t) = ϕ (\frac{t - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}})$ ，其中 $ϕ (x_{0}) = P (ξ \leq x_{0})$ ，随机变量 $ξ ～ N (0, 1)$ ．若用该公司首轮试验的治愈频率 $\hat{p}$ 来估计治愈率 $p$ ，为保证有 $90 %$ 把握，使得 $\hat{p}$ 与 $p$ 之间误差不超过0.01，则至少应抽取多少个患者？
参考数据： $ϕ (1.6) = 0.95$ ．

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19、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，若 $\exists d \in R$ ，使得 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 2} + 2 a_{n + 1} + a_{n} = d$ 成立，则称 $\{a_{n}\}$ 为“三和定值数列”．已知 $\{a_{n}\}$ 为“三和定值数列”，且 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 4$ ， $d = 8$ ．

(1)、求 $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ ；

(2)、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $S_{2025}$ ．

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20、如图， $P$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $A B$ 为底面直径， $C$ 为圆锥底面圆周上异于 $A, B$ 的一点， $D$ 为 $P A$ 上一点，且 $P B / /$ 平面 $O C D$ ．

(1)、求 $\frac{P D}{P A}$ 的值；

(2)、设 $P A = A B = 4$ ，二面角 $P - B C - O$ 的正切值为 $\sqrt{6}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $O C D$ 所成角的大小．

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