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相关试卷

1、某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为 $1, 2, 3, 4$ 四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了 $1$ 号箱子，此时主持人打开 $2$ 号箱子的概率为，在主持人打开 $2$ 号箱子的情况下，奖品在 $4$ 号箱子的概率为．

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2、准线方程为 $x = - 2$ 的抛物线的标准方程为.

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3、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 $C : x^{3} + 3 x^{2} + 3 x y^{2} - 3 y^{2} = 0$ 就是其中之一，如图所示．已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 是 $C$ 上一点，则（）

A、 $x_{0} \in [- 3, 1)$ B、 $y_{0} \leq \sqrt{\frac{3 x_{0} + 9}{1 - x_{0}}}$ C、当 $x_{0} < 0$ 时， $y_{0}$ 的最大值为 $2 \sqrt{3} - 3$ D、曲线 $C$ 在 $y$ 轴左侧所围成的区域面积大于2

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4、已知函数 $f (x) = - 2 {sin}^{3} x + 2 sin x + \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, \sqrt{3})$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}]$ 上单调递减 D、直线 $y = 2 x + \sqrt{3} - 4 π$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条切线

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5、某次跳水比赛的计分规则如下：共有7个裁判打分，去掉一个最高分与一个最低分后，取剩余5个分数的平均值，比较前、后两组数据的数字特征，则（）

A、中位数不变 B、极差不变 C、平均数大小关系不确定 D、方差变小

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6、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $A, B$ 为双曲线 $C$ 上的两点，若 $\vec{F_{2} B} = 3 \vec{F_{1} A}$ ，且以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆恰好过点 $A$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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7、如图，将绘有函数 $f (x) = M sin (\frac{π}{3} x + φ) (M > 0, 0 < φ < π)$ 部分图像的纸片沿 $x$ 轴折成直二面角，此时 $A, B$ 之间的距离为 $\sqrt{15}$ ，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8、设函数 $f (x) = a (e^{x} + e^{- x}) + 1 (a \in R)$ ， $g (x) = x^{2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 恰有一个交点，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $- 2$

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9、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{A C}$ ，则（）

A、 $cos A > 0$ B、 $B = 30 °$ C、 $a = c$ D、 $2 b^{2} = a^{2} - c^{2}$

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10、已知平面 $α$ ， $β$ 和直线 $m$ ， $n$ ， $α \cap β = n$ ，则“ $m ⊥ n$ ”是“ $m ⊥ β$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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11、图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

A、 $B \cap (A \cup C)$ B、 $B \cap (A \cap C)$ C、 $B \cap ∁_{U} (A \cup C)$ D、 $(A \cup B) \cap (B \cup C)$

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12、复数 $z = i (1 + 2 i)$ 在复平面内对应的点位于

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 4, \vec{a}, \vec{b}$ 的夹角 $θ = 60 °$ .

(1)、求 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b})$ 的值；

(2)、求 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ .

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14、在下列各式中，
①如果 $- 1$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $- 16$ 成等比数列，那么 $b = \pm 4$ ；
② $△ A B C$ 中，若 $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ ，且 $\sin C = 2 \sin A \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等边三角形；
③若两个正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，并且 $x + 2 y > m^{2} - 3 m + 4$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是 $(- 1, 4)$ ；
④若等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = x \times 3^{n - 1} - \frac{1}{6}$ ，则 $x$ 的值为 $\frac{1}{6}$ ；
⑤若 $a, b \in R^{+}$ ， $a^{2} + \frac{b^{2}}{2} = 1$ ，则 $a \sqrt{1 + b^{2}}$ 有最大值为 $\frac{3}{4} \sqrt{2}$ ．
其中正确的有．（填上你认为正确的所有序号）

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15、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标.

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ．若 $A = \frac{π}{4}, B = \frac{π}{3}, a = 2 \sqrt{2}$ ，则 $b =$ ．

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17、若向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，则（）

A、 $|\vec{b}| = 2$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ C、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{a}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$

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18、设 $\vec{a}, \vec{b}$ 均为单位向量，且 $|\vec{a} - 4 \vec{b}| \leq \sqrt{13}, \vec{m} = \vec{a} - 2 \vec{b}, \vec{n} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c \sin C - a \sin A = 4 b \sin B$ ，且 $\cos C = - \frac{1}{5}$ ，则 $\frac{\sin A}{\sin B} =$ （）

A、 $\frac{2}{15}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{6}}{12}$ D、 $\frac{15}{2}$

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20、如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向．在相距 $200 km$ 的 $A$ ， $B$ 两地各放置一个地动仪， $A$ 在 $B$ 的南偏西 $30^{\circ}$ 方向，若 $A$ 地地动仪正东方位的龙珠落下， $B$ 地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离 $B$ 地（）

A、 $50 \sqrt{6} km$ B、 $100 \sqrt{6} km$ C、 $100 (\sqrt{3} + 1) km$ D、 $120 (\sqrt{3} + 1) km$

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