浙江杭州学军中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

试卷更新日期：2026-01-15 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = \{x |\lg (x - 1) \leq 0\}$ ， $N = \{x ||x - 1| < 1\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、(0，2] B、(0，2) C、(1，2) D、(1，2]

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2. 已知点 $P (x, y)$ 满足 $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = |x + 1|, Q (4, 0)$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为（　　）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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3. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 cm$ ，取正方形 $A B C D$ 各边的中点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，作第2个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 各边的中点 $I$ ， $J$ ， $K$ ， $L$ ，作第3个正方形 $I J K L$ ，依此方法一直继续下去.则所有的正方形面积和将趋近于（）

A、 $32$ B、8 C、 $16$ D、以上A，B，C都不正确

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4. 将 $2 N$ 项数列 $(a_{1}, a_{2} \dots, a_{N}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{N})$ 重新排序为 $(b_{1}, a_{1}, b_{2}, a_{2}, \dots, b_{N}, a_{N})$ 的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以 $b_{1}$ 为首项，将 $a_{i}$ 排在 $b_{i}$ 之后，将 $b_{i + 1}$ 排在 $a_{i}$ 之后．例如，当 $N = 3$ 时，数列 $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 经过一次“洗牌”后变为 $(4, 1, 5, 2, 3, 6)$ ．则数列 $(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)$ 经过3次“洗牌”后得到的新数列是（）

A、8，7，6，5，4，3，2，1 B、1，2，3，4，5，6，7，8 C、2，4，6，8，1，3，5，7 D、1，3，5，7，2，4，6，8

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5. 如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形， $A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 120^{0}$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{3}$

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6. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1}$ ，对于任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 2} - a_{n} = 1$ ，则“ $\{a_{n}\}$ 为单调递增的数列”是“ $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知圆 $C : x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ 与直线 $l : y = m x + 2 m (m > 0)$ ，过 $l$ 上任意一点 $P$ 向圆 $C$ 引切线，切点为 $A$ 和 $B$ ，若线段 $A B$ 长度的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$

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8. 已知 $△ A B C$ 面积为1，边 $A C$ 上的中线为 $B D$ ，边 $A B$ 上的中线为 $C E$ ，且 $B D = \frac{4}{3} C E$ ，则边 $A C$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{11}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 x$ 的准线为 $l$ ，直线 $x = m y + n$ 与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（）

A、当 $n = \frac{1}{2}$ 时，以AB为直径的圆与 $l$ 相交 B、当 $n = 2$ 时，以AB为直径的圆经过原点O C、当 $| A B | = 4$ 时，点M到 $l$ 的距离的最小值为2 D、当 $| A B | = 1$ 时，点M到 $l$ 的距离无最小值

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10. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n} + 1$ .记 $A_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}}$ ， $B_{n} = \frac{1}{a_{1}} \cdot \frac{1}{a_{2}} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1}{a_{n}}$ 则正确的结论是（）

A、 $a_{n} > 0$ B、 $a_{n + 1} > a_{n}$ C、 $A_{2025} - B_{2025} > \frac{1}{2}$ D、 $A_{2025} - B_{2025} < \frac{1}{2}$

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11. 在直角坐标系 $x O y$ 中， $T (m, n)$ 是曲线 $C : x^{2} = 2 x y + 2$ 上任意一点，则下列说法正确的是（）

A、曲线C关于原点对称 B、任意 $k \geq \frac{1}{2}$ ，直线 $y = k x$ 与曲线C都没有公共点 C、O为坐标原点， $|O T| \geq \sqrt{2}$ D、曲线的离心率 $e = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知锐角 $α$ 满足 $sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) =$ .

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13. 已知圆 $C : x^{2} - 2 x + y^{2} - 3 = 0$ ，过点 $T (2, 0)$ 的直线l交圆C于A，B两点，点P在圆C上，若 $C P ∥ A B$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \frac{1}{2}$ ，则 $|A B| =$

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14. 已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上异于左右顶点的一点，设 $∠ P F_{1} F_{2} = α, ∠ P F_{2} F_{1} = β, ∠ F_{2} P F_{1} = γ$ ，则 $\cos α + \cos β + \cos γ$ 的取值范围为

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 欧拉函数 $φ (n)$ (n∈ $N^{*}$ )的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如： $φ (1) = 1$ ， $φ (3) = 2$ ， $φ (4) = 2$ ， $φ (5) = 4$ ，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的因数 1 和2，3 的因数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的.

(1)、求 $φ (3^{2})$ ， $φ (3^{3})$ ；

(2)、猜测 $φ (3^{n})$ 的值（不要求证明）；

(3)、令 $a_{n} = \frac{3}{2} φ (3^{n})$ ，求数列 $\{\frac{\log_{3} a_{n}}{a_{n}}\}$ 的前n项和．

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $|A B| = 4$ ， $|B C| = 2$ . $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 分别是矩形四条边的中点，设 $\vec{O R} = λ \vec{O A_{2}}$ ， $\vec{A_{2} T} = (1 - λ) \vec{A_{2} C} (0 < λ < 1)$ .

(1)、证明：直线 $B_{1} R$ 与 $B_{2} T$ 的交点 $M$ 在椭圆 $K$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上；

(2)、已知 $P Q$ 为过椭圆 $K$ 的右焦点 $F$ 的弦，直线 $M O$ 与椭圆 $K$ 的另一交点为 $N$ ，若 $M N / / P Q$ ，试判断 $|P Q|$ 、 $|M N|$ 、 $|A_{1} A_{2}|$ 是否成等比数列，请说明理由.

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17. 已知点 $P_{1} (t + 1, t)$ 在抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上，按照如下方法依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, 4 \dots)$ ，过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为 $- 1$ 的直线与抛物线 $C$ 交于另一点 $Q_{n - 1}$ ，令 $P_{n}$ 为 $Q_{n - 1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求 $t$ 的值；

(2)、求证：数列 $\{x_{n}\}$ 是等差数列，并求 $x_{n}, y_{n}$ ；

(3)、求 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $\vec{A D} = λ \vec{A C}$ ， $λ \in (0, 1)$ ，将点A沿BD折起到点P的位置，点E为PC的中点，点G为 $△ B C D$ 的重心．

(1)、求证：EG不平行于平面PBD；

(2)、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，平面 $P B D ⊥$ 平面BCD，求二面角B-PC-D的正弦值．

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19. 已知双曲线 $C$ 的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为 $y = \frac{1}{2} x$ .且 $M$ ， $N$ 分别是双曲线的左、右顶点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $G (4, 0)$ 的动直线 $l$ 交双曲线 $C$ 右支于 $A$ ， $B$ 两点，若直线 $A M$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .
①试探究 $k_{1}$ 与 $k_{2}$ 的比值 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
②设 $∠ A N G = α$ ， $∠ B N G = β$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ ，若 $\tan θ = \frac{1}{7}$ ， $α = β - θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ），求 $△ B G N$ 的面积.

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