浙江省强基联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题

试卷更新日期：2026-01-05 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 数列 $- 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{5} \dots \dots$ 的一个通项公式为（）

A、 $\frac{1}{n}$ B、 $- \frac{1}{n}$ C、 $\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n}$ D、 $\frac{{(- 1)}^{n}}{n}$

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2. 已知直线 $l : y = - x + m$ 经过圆 $C : x^{2} + 2 x + y^{2} - 8 = 0$ 的圆心，则实数 $m$ 为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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3. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，若 $a_{3} + a_{7} = 12$ ，则 $a_{5}$ 为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3), \vec{b} = (- 4, x, y)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则（）

A、 $x = 2, y = 6$ B、 $x = 2, y = - 6$ C、 $x = - 2, y = 6$ D、 $x = - 2, y = - 6$

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5. 已知圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的公切线有3条，则实数 $r$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且焦距为 $2 \sqrt{2}, P$ 是 $C$ 上一点，若 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = a$ ，且 $cos ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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7. 已知公比为3的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ，不等式 $2 S_{n} a_{n} - m a_{n} + 27 \geq 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 9]$ B、 $(- \infty, 16]$ C、 $(- \infty, 17]$ D、 $(- \infty, 29]$

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8. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 的右支上，过点 $P$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $Q$ .当 $|P F_{1}| + |P Q|$ 取最小值为4时，则 $△ Q F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $a \in R$ ，直线 $l_{1} : 2 x + a y - 2 = 0$ 和直线 $l_{2} : a x + 2 y - 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 1$ C、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a = \pm 2$ D、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $l_{1}, l_{2}$ 之间的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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10. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{11} < S_{9} < S_{10}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $a_{10} > 0$ B、 $a_{11} < 0$ C、 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{10}$ D、 $S_{20} > 0$

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11. 如图①所示，长方形 $A B C D$ 中， $|A D| = 1, |A B| = 2$ ，点 $M$ 是边 $C D$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 翻折到 $△ P A M$ ，连接 $P B, P C$ ，得到图②的四棱锥 $P - A B - C M$ .若 $N$ 为线段 $P B$ 中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、 $C N$ $∥$ 平面 $P A M$ B、 $C N$ 的长为定值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、四棱锥 $P - A B C M$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、设二面角 $P - A M - D$ 的平面角为 $θ$ ，若 $θ \in (0, \frac{π}{2}]$ ，则平面 $P A M$ 和平面 $P B C$ 夹角余弦值的最小值为 $\frac{\sqrt{11}}{11}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若抛物线 $x^{2} = 2 p y$ 的准线方程为 $y = - 1$ ，则 $p$ 的值为．

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13. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{2}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项的和为.

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14. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ .以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆和 $C$ 的渐近线在第一象限交于点 $M$ ，直线 $M F_{1}$ 交 $C$ 的另一条渐近线于点 $N$ ，若 $\vec{F_{1} N} = 3 \vec{N M}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 21 = 0$ ，直线 $l$ 过点 $(2, 1)$ .

(1)、写出圆 $C$ 的标准方程；

(2)、当直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ 时，求直线 $l$ 的方程.

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16. 如图多面体中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $A B / / C D / / E F$ ， $C D = E F = 1, A B = A D = A F = 2, ∠ B A D = ∠ B A F = \frac{π}{2}$ ，且 $M$ 为棱 $B E$ 中点.

(1)、证明： $A B ⊥ C E$ ；

(2)、求直线 $A M$ 与平面 $C E B$ 所成角的正弦值；

(3)、求三棱锥 $F - A C D$ 的外接球半径.

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17. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{2}{3}$ ，求 $|A B|$ .

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{2}{3}, a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{1 + a_{n}}, \{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、证明： $\{\frac{1}{a_{n}} - 1\}$ 为等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、记 $b_{n} = \frac{(1 - a_{n}) n}{a_{n}}, \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .
（i）求 $T_{n}$ ；
（ii）若存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $n (S_{n} - 4) + 4 - T_{n} - λ^{2} \cdot cos (n π) \leq 0$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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19. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ），焦点为 $F$ ，对于抛物线上一点 $P$ ，记 $|P F| = d$ ，已知 $d$ 的最小值为1，将点 $P$ 向上平移 $d$ 个单位长度，得到点 $A$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若 $O$ 为坐标原点，直线 $P F$ 与 $C$ 的另一个交点为 $Q$ ，设直线 $O P, O Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(3)、记点 $A$ 到直线 $l : x + y = 0$ 的距离为 $r$ ，证明：以 $A$ 为圆心， $r$ 为半径的圆始终经过定点.

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