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相关试卷

1、函数 $f (x) = - x^{2} + a x + 1 - \ln x$ ，若 $f (x)$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 3]$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(- \infty, 2)$

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2、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点D是BC的中点， $A B = A A_{1} = 4$ ．

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(3)、求点 $B$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离．

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3、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a - b}{c - b} = \frac{\sin C}{sin A + sin B}$

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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4、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 3)$ ， $\vec{c} = (4, n)$ ．

(1)、若 $\vec{a} // \vec{c}$ ，求实数 $n$ 的值；

(2)、求 $(3 \vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - 5 \vec{b})$ ；

(3)、若 $t \in R$ ，求 $|\vec{a} + t \vec{b}|$ 的最小值．

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5、如图，二面角 $α - l - β$ 的大小是30°，线段 $A B \subset α$ ， $B \in l$ ， $A B$ 与 $l$ 所成的角为60°，则 $A B$ 与平面 $β$ 所成的角的正弦值是．

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6、已知向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (1 - n, 1)$ ， $m > 0, n > 0$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\frac{1}{2 m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为.

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7、在三棱锥 $D - A B C$ 中，已知 $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $D B = 4$ ，平面 $B C D ⊥$ 平面ABC，且 $D B ⊥ A B$ ，则（）．

A、 $D B ⊥ A C$ B、平面 $D A B ⊥$ 平面ABC C、三棱锥 $D - A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、三棱锥 $D - A B C$ 的外接球的表面积为 $16 π$

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8、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，给出下列结论，其中正确结论有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的最大值 C、把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象. D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上是增函数

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9、已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, 3]$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $(- 2, 2)$

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10、已知函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 单调递增，且 $f (- x) = f (x)$ ，则（）

A、 $f (\log_{2} \frac{1}{e}) > f (\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}) > f (\ln 2)$ B、 $f (\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}) > f (\log_{2} \frac{1}{e}) > f (\ln 2)$ C、 $f (\ln 2) > f (\log_{2} \frac{1}{e}) > f (\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3})$ D、 $f (\ln 2) > f (\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}) > f (\log_{2} \frac{1}{e})$

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A C$ 与 $A_{1} B$ 所成的角是（）

A、 $45 °$ B、 $90 °$ C、 $60 °$ D、 $30 °$

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13、数据 $3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 的80%分位数为（）

A、8 B、9 C、6.4 D、7

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14、已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 1}, B = {x ∣ 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 \leq x < 1}$ B、 ${x ∣ - 2 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 1 < x \leq 2}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 1}$

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15、（1）在平面直角坐标系 $x o y$ 中，O为坐标原点，定义集合 $A = {(x, y) | |x| + 2 |y - 1| = 3}$ ， $Q (0, 1)$ ，对任意的点 $M (x, y) \in A$ ，求 $|\vec{M O} + \vec{M Q}|$ 的取值范围；
（2）在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，定义集合 $B = {(x, y, z) | |x| + 2 |y - 1| + 3 |z - 2| = 4}$ ， $Q (0, 1, 2)$ ，点 $N (x, y, z)$ 是集合B内任意一点．
①求 $|N Q|$ 的取值范围；
②求点N的轨迹形成图形的全面积．
注：若平面α的法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ $(a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 是平面α上一定点，则对于平面α上任一点 $P (x, y, z)$ ，点P满足方程： $a x + b y + c z - (a x_{0} + b y_{0} + c z_{0}) = 0$ ．

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16、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = A_{1} B = A_{1} D = \sqrt{6}$ ， $A A_{1} = 2$ ．

(1)、求证：平面 $A_{1} B D$ ∥平面 $C B_{1} D_{1}$ ；

(2)、求证：线段 $A C_{1}$ 被平面 $A_{1} B D$ ，平面 $C B_{1} D_{1}$ 三等分；

(3)、求直线 $D B_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值．

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17、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 4 \sqrt{3}$ ， $C D = 2 \sqrt{5}$ ， M是线段 $B C$ 上靠近点C的三等分点，现以直线 $B D$ ，直线 $D M$ 为轴，将 $△ A B D ， △ C D M$ 折起，得到如图所示的几何体 $D - A B M C$ ，使得四边形 $A B M C$ 为直角梯形， $A B ∥ M C$ ， $∠ A B M = \frac{π}{2}$ ，平面 $A B M C ⊥$ 平面 $B D M$ ．

(1)、求 $C M$ 的长度和几何体 $D - A B M C$ 的体积；

(2)、求平面 $A C D$ 和平面 $M C D$ 夹角的余弦值．

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18、在平面直角坐标系中，三个定点分别为 $A (1, 0), B (0, 1), C (2, 3)$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、在 $△ D E F$ 中，点A，B，C分别为线段 $D E ， E F ， F D$ 的中点，求 $E F$ 边上的高所在直线方程；

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sqrt{5} a = 4 b$ ， $A = 2 B$ ．

(1)、求 $\sin A$ ；

(2)、若 $c = 11$ ，求 $A B$ 边上的高．

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定点 $M (1, 0), N (0, 1)$ ，直线 $l : y = k x (k < 0)$ ， l上两动点A，B，其中A在第二象限，B在第四象限，直线 $A N$ 与直线 $B M$ 交于点C， $k_{B M} > k_{A N} > 0$ ．若 $k = - 1$ 时，此时 $S_{△ A B C} > M$ 恒成立，M的最大值为；若 $S_{△ A B C} = 3$ ，则 $\frac{k_{A N}}{k_{B M}}$ 最大值是．

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