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相关试卷

1、随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下：
假设各年的参观情况互不影响.

(1)、在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率；

(2)、从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)、记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$ 、年参观文博馆总人次的方差为 $s_{3}^{2}$ ，给出 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ， $s_{3}^{2}$ 的大小关系.（结论不要求证明）

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2、已知函数 $f (x) = \sin 2 x \sin (\frac{π}{2} + φ) + \cos 2 x \sin φ$ ，其中 $φ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数 $f (x)$ 存在且唯一确定，当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值.
条件①： $f (\frac{π}{12}) = f (\frac{π}{4})$ ；
条件②：函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, π)$ 上单调递减；
条件③：函数 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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3、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $P A = A B = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，直线PC与底面ABC所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面PAB；

(2)、求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.

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4、在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C： $x^{2} + 4 y^{4} - 4 y^{2} = 0$ 是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论：
①若 $P (x, y)$ 为曲线C上一点，则 $|x| \leq 1$ ， $|y| \leq 1$ ；
②曲线C上两点间距离的最大值为 $\sqrt{6}$ ；
③曲线C所围成的区域的面积小于3；
④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点.
其中，所有正确结论的序号是.

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5、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \log_{2} x - 1, & 0 < x \leq 4 \\ x - 6, & x > 4 \end{array}$ ，集合 $M = \{x ||f (x)| = m\}$ ，其中 $m \geq 0$ .若集合M中共有3个元素，则 $m$ 的取值范围是；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为.

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6、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ，单位向量 $\vec{e} = (1, 0)$ ，向量 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{b} - \vec{a}| = 1$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{e}$ 的一个取值为.

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7、在 ${(x^{3} - \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中，常数项为.（用数字作答）

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8、在△ABC中，若 $a = 5$ ， $b = 6$ ， $c = 8$ ，则最大内角的余弦值为.

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9、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（ $s \neq t$ ），满足 $a_{i} = a_{s} + a_{t}$ ，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 可能为常数列 B、 $\{a_{n}\}$ 可能为等差数列 C、 $\{a_{n}\}$ 不可能为等比数列 D、 $\{a_{n}\}$ 可能为递减数列

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10、某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（）

A、6a B、8a C、9a D、12a

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11、已知正方体W和平面 $α$ ，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面 $α$ 的距离相等”是“平面 $α$ 将正方体W分成体积相等的两部分”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、设函数 $f (x) = (x - a) \ln (x + b)$ ，若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $\emptyset$ ，则（）

A、 $a + b > 1$ B、 $a + b < 0$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ D、 $a^{2} + b^{2} \leq \frac{1}{4}$

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13、在长方形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $A B = 1$ ， $E$ 是边 $B C$ 上一点，则 $|\vec{E A} + \vec{E D}|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，设 $g (x) = f (- x) - f (x)$ ，则函数 $g (x)$ 是（）

A、奇函数，且在 $R$ 上单调递增 B、偶函数，且在 $R$ 上单调递增 C、奇函数，且在 $R$ 上单调递减 D、偶函数，且在 $R$ 上单调递减

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15、在平面直角坐标系xOy中，角 $α$ 以Ox为始边， $P (- 1, 2)$ 为 $α$ 终边上一点，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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16、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右顶点到其渐近线的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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17、已知集合 $A = \{n |n = 4 k + 1, k \in Z\}$ ，集合 $B = \{1, 3, 5, 7\}$ ，则（）

A、 $B \subseteq A$ B、 $B \subseteq ∁_{Z} A$ C、 $A \cap B = B$ D、 $A \cup B \neq A$

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18、双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个顶点在直线 $l ： y = x + 1$ 上，且其离心率为 $\sqrt{5}$ ．
（附：双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ 以点 $(m, n)$ 为切点的切线方程为 $\frac{m}{a^{2}} x - \frac{n}{b^{2}} y = 1$ ）

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点 $T$ 在直线 $l$ 上，且过点 $T$ 恰好可作双曲线 $E$ 的两条切线，设这两条切线的切点分别为 $P$ 和 $M$ ．
（i）设点 $T$ 的横坐标为 $t$ ，求 $t$ 的取值范围；
（ii）设直线 $T P$ 和直线 $T M$ 分别与直线 $x = - 1$ 交于点 $Q$ 和点 $N$ ，证明：直线 $P N$ 和直线 $M Q$ 交点在定直线上．

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{3} = 6$ ， $b_{2} = 4$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 中的所有项分别构成集合 $A$ ， $B$ ，将集合 $\{x |x \in A 且 x \notin B\}$ 中的所有元素从小到大依次排列构成新数列 $\{C_{n}\}$ ，求数列 $\{C_{n}\}$ 的前20项和 $T_{20}$

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20、数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n}$ 表示自然数 $n$ 的所有因数中最大的那个奇数，例如：20的因数有1，2，4，5，10，20， $a_{20} = 5$ ， 21的因数有1，3，7，21， $a_{21} = 21$ ，那么数列 $\{a_{n}\}$ 前 $2^{2023} - 1$ 项的和 $S_{2^{2023} - 1} =$

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