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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$

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2、已知一个圆锥的底面半径为3，母线长 $l = 5$ ，则该圆锥的表面积是（）

A、 $24 π$ B、 $33 π$ C、 $37 π$ D、 $48 π$

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3、如图三棱锥 $A - B C D$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $△ B C D$ 中 $B C ⊥ B D$ 且 $B D = 2$ ．

(1)、若 $P$ 是 $A B$ 的中点，且 $C P ⊥ A D$ ，求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、在（1）的条件下求三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积；

(3)、设二面角 $B - A C - D$ 的大小为 $α$ ，求 $\cos α$ 的最小值．

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4、已知点 $M$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 右支上的一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是 $C$ 的左､右焦点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ ，点 $N$ 在 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的平分线上， $O$ 为原点，
$O N / / M F_{1}$ ， $|O N| = \frac{c}{4}$ ，其中 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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5、若 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{c} = (2, 2)$ ， $|\vec{a} - \vec{c}| = 2 \sqrt{2} - 1$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{c}⟩$ 的值为.

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $3 b \cos C + 3 c \cos B = a^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $B + C = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $9 π$ B、若 $A = \frac{π}{4}$ ，且 $△ A B C$ 有两解，则 $b$ 的取值范围为 $(3, 3 \sqrt{2})$ C、若 $C = 2 A$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $c$ 的取值范围为 $(3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{3})$ D、若 $A = 2 C$ ，且 $sin B = 2 sin C$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的内心，则 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3} - 3}{4}$

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7、下列说法中不正确的是（）

A、一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B、两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 $r$ 越接近于1 C、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} \approx 6.852$ ，根据小概率值 $α = 0.005$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验： $χ_{0.005} = 7.879$ ，可判断 $X$ 与 $Y$ 有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (2 < X < 4) = 0.4$

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8、设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $|a| < 3$ 且 $|b| < 3$ ”是“ $a^{2} + b^{2} < 9$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、复数 $z = i (1 - i)$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、已知集合 $A = \{x \in N |- 2 < x < \frac{16}{3}\}$ ，集合 $B = {- 1, 3, 4, 5}$ ，则 $A \cap B$ 的真子集个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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11、如图，设 $O x ， O y$ 是平面内相交成 $θ$ 角的两条数轴， $θ \in (0^{\circ} ， 180^{\circ})$ ， $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴同方向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $[x ， y]$ 叫做 $\vec{O P}$ 在仿射坐标系 $O x y$ 中的斜坐标．

(1)、若 $\vec{a} = [1 ， 2]$ ， $\vec{b} = [2, λ]$ ， $\vec{a} // \vec{b}$ 求 $λ$ ；

(2)、若 $θ = 60^{\circ}$ ， $\vec{a} = [1 ， 2]$ ， $\vec{b} = [- 1 ， 1]$ ，求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的斜坐标；

(3)、若 $\vec{a} = [1 ， 1]$ ， $\vec{b} = [3 ， 1]$ ， $\vec{c} = [2 ， - 1]$ ， $|\vec{c}| \leq \sqrt{2}$ ，求 $cos 〈\vec{a}, \vec{b}〉$ 的最小值．

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12、如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量 $\cos A = \frac{12}{13}$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ，其中A，C均为锐角．

(1)、求索道AB的长；

(2)、问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)、为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

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13、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如下图所示，若函数 $f (x)$ 的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求 $g (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的单调递减区间；

(3)、若 $g (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上恰有2026个零点，求 $b - a$ 的取值范围．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离为2， $A D = 2$ ， $E 、 F$ 分别是 $P B$ 和 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求三棱锥 $C - P B D$ 的体积．

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15、柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，由 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ 得到 ${(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})$ ，当且仅当 $x_{1} y_{2} = x_{2} y_{1}$ 时取等号.现已知 $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ ， $a + b = 9$ ，则 $\sqrt{2 a + 4} + \sqrt{b + 1}$ 的最大值为.

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16、已知向量 $\vec{a} = (- t, - 1)$ ， $\vec{b} = (t, 16 t)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为钝角，则 $t$ 的取值范围为．

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17、已知一个圆台的轴截面为梯形 $A B C D$ ，若 $A B = 2 C D = 4 ， ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，则该圆台的侧面积为．

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18、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a + b = \sqrt{3}$ ，且 $b sin C cos C + c sin C cos B = \sqrt{3} a cos C$ ，则（）

A、 $B = \frac{π}{2}$ B、 $C = \frac{π}{3}$ C、 $△ A B C$ 的面积可以是1 D、 $△ A B C$ 的周长可以是3

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19、下列命题中正确的有（）

A、有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱. B、平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. C、有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. D、正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.

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20、已知 $A, B$ 分别是 $x, y$ 轴正半轴上的两个动点，且 $A B = 1$ ，如图，以 $A B$ 为边构造正方形 $A B C D$ ，分别过点 $C, D$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足依次为 $E, F$ ，当点 $A$ 由 $(1, 0)$ 向左运动到原点的过程中，四边形 $C E F D$ 周长取得最大值时，点 $A$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 0)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ C、 $(\frac{\sqrt{10}}{10}, 0)$ D、 $(\frac{3 \sqrt{10}}{10}, 0)$

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