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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\cos 2 A + 2 \cos 2 B - \cos 2 C = 2$ ，则 $\tan B$ 的最大值为.

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2、已知 $P$ 是直线 $l : x - y + 3 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，则四边形 $P A C B$ 面积的最小值为.

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3、方程 $\frac{x^{2}}{9 - k^{2}} + \frac{y^{2}}{7 + k} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围是.

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4、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2， $P, Q$ 分别是棱 $C C_{1}$ ，棱 $B C$ 的中点，动点 $M$ 满足 $\vec{D M} = λ \vec{D A} + μ \vec{D D_{1}}$ ，其中 $λ, μ \in [0, 1]$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ = μ$ ，则三棱锥 $B_{1} - C D_{1} M$ 的体积为定值 B、若 $λ + μ = 1$ ，则 $C M ⊥ D B_{1}$ C、若 $B_{1} M //$ 平面 $D P Q$ ，则直线 $B_{1} M$ 与直线 $A B$ 所成角可能为 $30^{\circ}$ D、三棱锥 $M - C P Q$ 外接球的表面积最小值为 $\frac{81 π}{16}$

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ B、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B - {sin}^{2} C > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、若 $A = 60^{°}, a = \sqrt{15}, b = 4$ ，则满足条件的三角形有两个 D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $sin A > cos B$

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6、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右两个焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 作直线 $l$ ，交右支于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $|A B| = |B F_{1}|$ ， $\cos ∠ F_{1} B F_{2} = \frac{23}{32}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\sqrt{7}$

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7、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $c = 2$ ， $2 \sin B = (\sqrt{2} - \cos C) b$ ， ${(b - 1)}^{2} = a^{2} - 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8、已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ ，直线 $l : 3 x + 4 y - m = 0 (m \in R)$ ，若圆C上有四个点到直线l的距离为2，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(10, 40)$ B、 $[10, 40]$ C、 $(15, 35)$ D、 $[15, 35]$

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9、空间中有5个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ，若不共线的 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点在平面 $α$ 内， $E \notin α$ ，且满足 $(1 - λ) \vec{E A} = \frac{1}{2} \vec{E B} + \frac{1}{3} \vec{E C} + λ \vec{A D}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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10、位于某海域的甲船发现，在其北偏东 $60^{°}$ 方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东 $15^{°}$ 方向行驶 $\sqrt{2}$ 海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（）

A、 $1$ 海里 B、 $2$ 海里 C、 $\sqrt{6}$ 海里 D、 $2 \sqrt{2}$ 海里

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11、若 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 构成空间一组基底，那么能与 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ 构成空间一组基底的向量可以是（）

A、 $\vec{a} - \vec{c}$ B、 $2 \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{b} + 2 \vec{c} - \vec{a}$ D、 $2 \vec{a} + \vec{b} - 3 \vec{c}$

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12、向量 $\vec{a} = (1, - 2, - 2)$ ，则下列向量中与 $\vec{a}$ 的夹角为 $45^{\circ}$ 的是（）

A、 $(1, 0, 1)$ B、 $(1, - 1, 0)$ C、 $(- 1, 0, 1)$ D、 $(0, - 1, - 1)$

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13、若直线 $a x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $3$ D、 $- 3$

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14、对于定义域为 $D$ 的函数 $y = f (x)$ ，如果存在区间 $[m, n] \subseteq D$ ，同时满足：① $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上是单调函数；②当 $x \in [m, n]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[m, n]$ ，则称 $[m, n]$ 是该函数的“优美区间”.

(1)、求证： $[0, 4]$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2}$ 的一个“优美区间”；

(2)、求证：函数 $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ 不存在“优美区间”：

(3)、已知函数 $h (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \in R, a \neq 0)$ 有“优美区间” $[m, n]$ ，当 $n - m$ 取得最大值时求 $a$ 的值.

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} + m x + m - 7$ ， $m \in R$ .

(1)、若 $m = 2$ ，用定义法证明 $f (x)$ 在区间 $(- 1, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[2, 4]$ 上单调，求 $m$ 的取值范围；

(3)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最小值 $g (m)$ ；

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16、若 $f (g (x)) = 6 x + 1$ ，且 $g (x) = 2 x + 1$ ，则 $f (x) =$ .

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17、若 $a > 0, b > 0$ ，且 $2 a + b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、ab有最大值 $\frac{1}{4}$ B、 $\sqrt{2 a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{a}{b}$ 有最小值4 D、 $4 a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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18、在下列四个命题中，正确的是（）

A、命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ，都有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ” B、3个元素的集合有7个非空真子集 C、已知集合 $A = \{m + 2, 2 m^{2} + m\}$ ，若 $3 \in A$ ，则m的值为 $- \frac{3}{2}$ D、“ $a^{2} > 1$ ”是“ $a > 1$ ”的充分不必要条件

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19、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x - y) f (y) = 2 f (x)$ ， $f (x) \neq 0$ 且 $f (1) = 4$ ，则 $f (2 - x) + f (x)$ 的最小值为（）

A、 $4$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $8$ D、 $4 \sqrt{2}$

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则“ $f (0) < f (2)$ ”是“ $f (x)$ 在定义域上是增函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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