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相关试卷

1、如图，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，半圆面 $A P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $P$ 为半圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 上的动点（不与点 $A, D$ 重合），下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $P - A B D$ 的四个面都是直角三角形，且体积最大值为 $\frac{2}{3}$ B、点 $P$ 运动时，四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球半径为定值 C、当 $∠ P A D = 60 °$ 时，异面直线 $P A$ 与 $B D$ 的夹角为 $45 °$ D、半圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 上存在唯一的点 $P$ ，使得直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$

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2、某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的 $2000$ 名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法正确的有（）

A、考生参赛成绩的平均分约为 $72.5$ 分 B、考生参赛成绩的第 $75$ 百分位数约为 $81.5$ 分 C、分数在区间 $[50, 60)$ 内的频率为 $0.15$ D、用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 $200$ 的样本，则成绩在区间 $[70, 80)$ 应抽取 $30$ 人

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3、已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ ，则 $\frac{y - 2}{x + 1}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$ B、 $(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, + \infty)$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [\frac{\sqrt{3}}{3}, + \infty)$

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4、已知定点 $P (- 2, 0)$ 和直线 $l : (1 + λ) x + (1 - λ) y - (6 + 2 λ) = 0 (λ \in R)$ ，则点P到直线l的距离d的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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5、函数 $f (x) = \frac{x \cdot sin x}{cos x + 2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6、若复数 $z$ 的共轭复数满足 $\bar{z} = 1 + i$ ，则 $\frac{2 + 4 i}{z} =$ （）

A、 $- 1 + 3 i$ B、 $3 + 3 i$ C、 $3 + i$ D、 $- 1 + i$

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7、已知 $a \in [0, 8]$ ，函数 $f (x) = \frac{4 x - a}{x^{2} + 1}, x \in R$ .

(1)、若函数的值域为 $[- 4, 1]$ ，求 $a$ ；

(2)、当 $x > 0$ 时，求证： $f (x) \leq \frac{a}{2} x + 2 - a$ ；

(3)、当 $x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0, x_{1} + x_{2} = 2$ 时，求证： $\frac{8 - 6 a}{5} \leq f (x_{1}) + f (x_{2}) \leq 4 - a$ .

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8、已知函数 $f (x) = x^{2} + m x + n (m, n \in R)$ .

(1)、若 $1 \leq f (1) \leq 2$ ， $3 \leq f (2) \leq 4$ ，求 $f (3)$ 的取值范围；

(2)、记方程 $f (x) = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in (- 3, 3)$ ，
（i）求 $f (- 2)$ 的取值范围；
（ii）求 $m^{2} - 5 n$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = 2^{x} + m \cdot 2^{- x}, m \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，
（i）求 $m$ 的值；
（ii）当 $x \in [0, 4]$ 时，不等式 $f (x^{2} - a x + 2) + f (|x^{2} - 1|) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $m < 0$ ，求 $g (x) = |f (x)|$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最大值 $p (m)$ .

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10、已知全集为 $R$ ，集合 $A = \{x ∣ 1 < 2^{x} < 4\}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0\}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $C = {x ∣ t + 1 < x < 2 - t}$ ，且 $A \cup C = A$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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11、（1）求值： ${(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {0.01}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot {(\sqrt{5} - 2)}^{- 1} - \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{4}}$ ；
（2）若 $a + a^{- 1} = 3$ ，求 $\frac{a^{3} + a^{- 3}}{a^{- 2} + a^{2} + 1}$ ．

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12、已知 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 为 $2 n$ 个互不相等的正整数，满足 $x_{i} \leq 12, y_{i} \leq 12, x_{i} + y_{i} \leq 12$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ，若集合 $\{z |z = x_{i} + y_{i}, i = 1, 2, \dots, n\}$ 有 $n$ 个元素，则 $n$ 的最大值为..

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13、设 $x \in R, [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.已知函数 $f (x) = x - [x]$ 的图象与函数 $g (x) = k x (k > 0)$ 的图象共有2个交点，则 $k$ 的取值范围是.

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14、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m + 2) \cdot x^{n}$ 过点 $(2, \frac{1}{4})$ ，则 $m + n =$ .

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15、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x y) = x f (y) + y f (x) + x y$ ，且 $x \in (0, 1)$ 时 $f (x) + x < 0$ ； $x \in (2, + \infty)$ 时 $f (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (- 1) = 1$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、当 $x \in (- \infty, 0)$ 时， $f (x) + x > 0$ D、 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递增

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 t x + 3, & x \leq 1 \\ \frac{t}{x} & , x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则 $t$ 可以为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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17、下列命题为真命题的有（）

A、若 $a > b, c < d$ ，则 $a - c > b - d$ B、若 $a > b > 0, c < d < 0$ ，则 $a c < b d$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$

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18、已知二次函数 $f (x) = (a + b) x^{2} - 2 x + a + \frac{1}{b} \geq 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则 $3 a + b + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5} - 3}{2}$ D、 $\sqrt{5} + 1$

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19、已知函数 $f (x) = a x^{6} + x^{3} + b x^{2} + c |x| + 1$ ，且 $f (2) = 4$ ，则 $f (- 2) =$ （）

A、-12 B、-4 C、2 D、5

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20、某车企生产 $A$ 型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产 $x$ 辆 $A$ 型汽车另需增加投资 $g (x)$ 万元，当该款汽车年产量低于400辆时， $g (x) = \frac{1}{80} x^{2} + \frac{9}{2} x$ ，当年生产量不低于400辆时， $g (x) = 16 x + \frac{360000}{x} - 3500$ ，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（）

A、2000万元 B、2100万元 C、2200万元 D、2300万元

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