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相关试卷

1、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ， P，Q分别是圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 上的点，下列说法正确的是（）

A、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 外切，则 $r = 4$ B、当 $r = 5$ 时，则两圆公共弦所在直线方程为 $3 x - 4 y - 1 = 0$ C、当 $r = 2$ 时，若直线 $P Q$ 的斜率存在，则 $P Q$ 斜率的最大值为 $- \frac{7}{24}$ D、当 $r = 3$ 时，过点 $P$ 作圆 $C_{2}$ 两条切线，切点分别为A，B，则存在点 $P$ ，使得 $∠ A P B = \frac{π}{2}$

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2、已知椭圆 $C$ 的方程是 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， P为椭圆 $C$ 上任意一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点，则下列说法正确的是（）

A、过点 $F_{1}$ 且斜率不为0的直线与椭圆 $C$ 交于A，B两点，则 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 B、存在点 $P$ ，使得 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为2 C、椭圆 $C$ 上存在4个不同的点 $P$ ，使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆半径的最大值为 $2 \sqrt{3} - 3$

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3、下列说法正确的是（）

A、在空间直角坐标系中，点 $A (1, 2, 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为 $(1, - 2, - 3)$ B、在空间直角坐标系中， $\vec{n} = (1, 0, 0)$ 是坐标平面 $O x y$ 的一个法向量 C、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，则 ${\vec{a}, \vec{b} - \vec{a}, \vec{a} - \vec{c}}$ 也是空间一组基底 D、以 $A (4, 1, 9)$ ， $B (10, - 1, 6)$ ， $C (2, 4, 3)$ 为顶点的三角形是等边三角形

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4、已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $Q$ 在直线 $l : x = a$ 上运动.若 $tan ∠ F_{1} Q F_{2}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5、若直线 $a x + b y - 10 = 0$ 与圆 $x^{2} - 4 x + y^{2} - 2 y = 0$ 相切于点 $(4, 2)$ ，则 $a b$ 的值为（）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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6、已知椭圆 $C$ 的中心为坐标原点，一个焦点为 $F (3, 0)$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于A、B两点.若 $A B$ 的中点为 $(1, - 1)$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{24} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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7、已知直线 $l : x - 2 y - 8 = 0$ 和 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 4)$ 两点，若直线 $l$ 上存在点 $P$ 使得 $|P A| + |P B|$ 最小，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(3, - 2)$ B、 $(4, - 2)$ C、 $(0, - 4)$ D、 $(2, - 3)$

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8、已知直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 满足条件sin $α$ ＋cos $α$ ＝ $\frac{1}{5}$ ，则 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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9、已知正三棱台的体积为 $7 \sqrt{3}$ ，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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10、若圆的一条直径的两个端点坐标是 $A (4, 9), B (6, 3)$ ，则圆的方程为（）

A、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 10$ B、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 10$ C、 ${(x - 6)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 40$ D、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 40$

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11、若复数 $z$ 满足 $(1 - z) i = 1 + z$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部是（）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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12、“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼•闵可夫斯基提出来的．在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，如图，对于一个具有正南､正北､正东和正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离等于在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”．对于平面直角坐标系中的点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 和 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，两点间的“曼哈顿距离” $d (P_{1}, P_{2}) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ．

(1)、如图，若 $O$ 为坐标原点， $A, B$ 两点坐标分别为 $(2, 3)$ 和 $(4, 1)$ ，求 $d (O, A), d (O, B), d (A, B)$ ；

(2)、若点 $P$ 满足 $d (O, P) = 5$ ，试在图中画出点 $P$ 的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积；

(3)、已知函数 $f (x) = {(x + 2)}^{2}, x \in [- 4, 0], M$ 是 $f (x)$ 图象上一个动点，求 $d (O, M)$ 的最值，并求出此时点 $M$ 的坐标．

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13、已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x) > 4 - 7 x$ 的解集为 $(1, 4)$ ，且 $f (0) = 0$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x > 0$ ，求 $g (x) = \frac{f (x) - 1}{x}$ 的最大值；

(3)、当 $x \in [t, t + 2] (t \in R)$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值 $h (t)$ （用 $t$ 表示）．

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14、2025年被称为“智能体元年”，基于 $AI$ 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技 $AI$ 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 $P (t)$ （满分100分）和有效训练时长 $t$ （单位：百 $GPU$ 小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： $P (t) = \{\begin{cases} - 0.4 t^{2} + 8 t + c, 0 \leq t \leq 10 \\ - \frac{k}{t} - 1.8 t + 170, 10 < t \leq 60 \end{cases}$ .已知初始综合性能评分 $P (0) = 40$ ，且在 $t = 10$ 处函数图象是连续不断的．

(1)、求常数 $c$ 和 $k$ 的值；

(2)、若“天穹”模型用于科研辅助场景时，要求综合性能评分不低于92分，求满足条件的训练时长范围；

(3)、已知大模型的标准化训练效率定义为 $E (t) = \frac{P (t) - 50}{t}$ ， $t > 0$ ，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？

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15、已知集合 $A = \{x ∣ 3 - a \leq x \leq 3 + a\}, B = \{x ∣ x^{2} - 6 x + 5 \geq 0\}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若集合 $C = ∁_{R} B$ ，且 $A \cap C = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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16、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、用定义法证明函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增．

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17、若 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数，且 $f (2) = 2$ ．若对任意的两个不相等的正数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则 $f (x) - x < 0$ 的解集为．

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 1, x > 0 \\ \frac{1}{2} g (x) - x, x < 0 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 是奇函数，则 $g (- 2) =$ ．

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19、函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{x}$ 的定义域是．

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20、对于函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为奇函数 B、设 $h (x) = f (x) + f (\frac{1}{x}), x > 0$ ，则 $h (x)$ 在 $(0, \sqrt{a + 1})$ 上单调递减，在 $(\sqrt{a + 1}, + \infty)$ 上单调递增 C、若方程 $f (x) - a = 0$ 在定义域内恰有两个不同的根，则实数 $a$ 的取值范围为 $(4, + \infty)$ D、若 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最大值比最小值大1，则实数 $a$ 的取值不唯一

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