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相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、与向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ 方向相同的单位向量的坐标为 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ B、 $\vec{a}, \vec{b}$ 为非零向量，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |^{2}}$ C、 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为非零向量，且相互不共线，则 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} = \vec{0}$ D、若 $\vec{a} = (2, 3)$ 与 $\vec{b} = (x, - 6)$ 共线，则 $x = - 4$

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2、直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形，侧棱 $A A_{1} = 3 \sqrt{2}$ ， $E, F$ 分别是 $A B, B C$ 的中点，则过点 $D_{1}, E, F$ 的平面截直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得截面的面积为（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ D、 $7 \sqrt{3}$

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3、在 $Δ A B C$ 中，点 $O$ 满足 $\vec{C O} = \vec{O B}$ ，过点 $O$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于不同的两点 $E$ ， $F$ ，设 $\vec{A B} = x \vec{A E}, \vec{A C} = y \vec{A F}$ ，则 $x + y =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、若 $\frac{1 + \sin 2 x}{\cos 2 x} = 2$ ，则 $\tan (x - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $1$

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5、书架上有2本体育杂志和3本文学杂志，从中任意挑选2本，则挑选的杂志类型相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6、已知 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (1, - 2)$ ，若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $1$ D、2

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7、圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（）．

A、 $30 π$ B、 $31 π$ C、 $32 π$ D、 $33 π$

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8、复数 $z$ 满足 $(2 + i) \cdot z = 5$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、1

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9、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{6}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{6}, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．分别过 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 作两条平行直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ．设 $l_{1}$ 与C交于P，Q两点， $l_{2}$ 与y轴交于点M．

(1)、求C的方程；

(2)、若点M在y轴的负半轴上，求 $l_{1}$ 斜率的取值范围；

(3)、若 $| P M | = | Q M |$ ，求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的一般式方程．

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + x, g (x) = 3 ln x + 3$ .

(1)、若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且0为 $f^{'} (x)$ 的极值点，求 $a$ ；

(2)、当 $a = 0$ 时，过原点的直线 $l$ 与 $f (x)$ 的图象相切，证明：当 $x > 0$ 时， $l$ 在 $g (x)$ 图象的上方.

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11、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边长分别是 $a, b, c$ ，且 $a cos B + b cos A = c cos (A - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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12、如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有种．

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13、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 2} (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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14、函数 $f (x) = x ln x - 2 x + 3$ 的单调递减区间为.

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15、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为 $E$ 上的动点， $P Q ⊥ y$ 轴，垂足为 $Q$ ， $M$ 为 $P Q$ 的中点， $A$ 为上顶点，则（）

A、椭圆 $E$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{4}{|P F_{2}|}$ 的最小值为 $\frac{9}{8}$ C、 $|O M|$ （ $O$ 为原点）是定值 D、 $|A P|$ 的最大值为 $2 \sqrt{6}$

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16、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（）

A、 $f (x)$ 最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{2 π}{3}, 0)$ 对称 D、将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得到 $f (x)$ 的图象

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17、以下说法正确的有（）

A、数据 $- 2$ ， $- 1$ ， 3，3，4，7，9的第八十百分位数是7 B、若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数 $R^{2}$ 越大的模型，拟合效果越差 C、已知随机变量 $X \sim N (1, 2^{2})$ ，若 $P (X < a) \geq P (X > 1 - 2 a)$ ，则实数 $a \leq - 1$ D、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, 10$ 的平均数为10，方差为4，现去掉数据10，则剩余数据的方差仍为4

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} e^{- x}, x < 0 \\ - x^{2} + 2 x + 2, x \geq 0 \end{cases}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k$ 有三个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围为（）

A、 $[1 - \ln 2, 1)$ B、 $(1 - \ln 3, 1 - \ln 2]$ C、 $(2 - \ln 3, 2 - \ln 2]$ D、 $[2 - \ln 3, + \infty)$

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19、在 $△ A B C$ 中， $A C = \sqrt{3}, B C = 2, B = \frac{π}{3}, ∠ B$ 的平分线交 $A C$ 于 $D$ ，则 $B D =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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20、已知向量 $\vec{a} = (2 cos α, - 1), \vec{b} = (3 cos α, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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