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相关试卷

1、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 a \sin C - \sqrt{3} c = 0$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $4 \sin B - 4 \sin C$ 的取值范围．

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2、已知四面体 $A - B C D$ ，其中 $A D = B C = 2$ ， $C D = A B = \sqrt{5}$ ， $A C = B D = \sqrt{7}$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，则直线 $A D$ 与 $B E$ 所成角的余弦值为；四面体 $A - B C D$ 外接球的表面积为．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} S_{n + 1} + S_{n + 1} = 3$ ， $a_{1} = α (0 < α < 1)$ ，则（）

A、当 $0 < α < \frac{\sqrt{13} - 1}{4}$ 时， $a_{2} > a_{1}$ B、 $a_{3} > a_{2}$ C、数列 $\{S_{2 n - 1}\}$ 单调递增， $\{S_{2 n}\}$ 单调递减 D、当 $α = \frac{3}{4}$ 时，恒有 $\sum_{k = 1}^{n} |S_{k} - 1| < \frac{5}{4}$

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4、已知 $x \geq 1$ ， $y > 1$ ，且 $x y = 4$ ，则（）

A、 $1 \leq x \leq 4$ ， $1 < y < 4$ B、 $4 \leq x + y \leq 5$ C、 $\frac{y}{x}$ 最大值为4 D、 $4 x + y^{2}$ 的最小值为12

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5、如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍， $A P ⊥ A Q$ ，则 $P Q =$ （）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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6、已知双曲线的标准方程为 $\frac{x^{2}}{k - 4} + \frac{y^{2}}{k - 5} = 1$ ，则该双曲线的焦距是（）

A、1 B、3 C、2 D、4

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7、如图，在正四面体 $A - B C D$ 中，棱长为 $2, E$ 为 $C D$ 中点.

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、已知 $F$ 为棱 $B C$ 上一点（不含端点）， $C F = x, M$ 为线段 $A F$ 上一动点， $N$ 为截面 $A B E$ 上一动点
（i）若存在 $M, N$ 使得平面 $F M N$ $/ /$ $B D$ ，求 $x$ 范围；
（ii）设 $C M + M N$ 的最小值为关于 $x$ 的函数 $f (x)$ ，求 $f (x)$ 值域.

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8、如图1，菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = 60 °$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折起至 $△ B P D$ （如图2），且点 $E$ 为 $A P$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A B P ⊥$ 平面 $B D E$ ：

(2)、若 $\vec{A P} \cdot \vec{A C} = 9$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值.

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9、高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组 $[0, 20)$ ，第二组 $[20, 40)$ ，第三组 $[40, 60)$ ，第四组 $[60, 80)$ ，第五组 $[80, 100]$ ，得到频率分布直方图，如图所示．

(1)、试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；

(2)、已知100名学生落在第二组 $[20, 40)$ 的平均成绩是32，方差为7，落在第三组 $[40, 60)$ 的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数 $\bar{x}$ 和总方差 $s^{2}$ ；

(3)、已知年级在第二组 $[20, 40)$ 和第五组 $[80, 100]$ 两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组 $[80, 100]$ 的概率．

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10、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且 $2 A E = E B$ ．

(1)、若点F在棱PC上，是否存在实数 $λ$ 满足 $P F = λ F C$ ，使得 $B F //$ 平面PDE？若存在，请求出实数 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

(2)、在第（1）问的条件下，当 $B F //$ 平面PDE时，求三棱锥 $P - D E F$ 的体积．

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11、已知函数 $f (x) = a \sin (π - x) \cos x + \cos (2 x + \frac{π}{4})$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求a的值和函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求不等式 $f (x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解集；

(3)、在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， AD为BC边上的中线，设 $∠ B A D = α$ ， $f (\frac{3}{4} α) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，请直接写出 $α$ 的值和BC的长.

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12、已知 $△ A B C$ 为等边三角形，点G是 $△ A B C$ 的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设 $\vec{A D} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A E} = μ \vec{A C}$ ，则 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ} =$ ．

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13、某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀（含80分），现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组 $[50, 60)$ ，第二组 $[60, 70)$ ，第三组 $[70, 80)$ ，第四组 $[80, 90)$ ，第五组 $[90, 100]$ ，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数为，成绩优秀的经验概率是．

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14、已知平面向量 $\vec{a} = (t - 1, 2 - t)$ ， $\vec{b} = (3, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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15、在平面四边形ABCD中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ .将该四边形沿着对角线AC折叠，得到空间四边形ABCD，E为棱BD的中点，则（）

A、异面直线AC，BD所成的角是 $\frac{π}{4}$ B、 $B D ⊥$ 平面 $A E C$ C、平面 $A B D ⊥$ 平面AEC D、 $V_{三棱锥 A - B C D} = 2 V_{三棱锥 E - A C D}$

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16、以下结论正确的是（）

A、“事件 $A$ ， $B$ 互斥"是“事件 $A$ ， $B$ 对立”的充分不必要条件. B、掷两枚质地均匀的骰子，设 $A =$ “第一次出现奇数点”， $B =$ “第二次出现偶数点”，则 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、假设 $P (A) = 0.7$ ， $P (B) = 0.8$ ，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = 0.56$ D、若 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则事件 $A$ ， $B$ 相互独立与事件 $A$ ， $B$ 互斥不能同时成立

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17、已知复数 $z$ 满足 $|z| = \sqrt{6}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 在复平面内对应的点可能是 $(2, \sqrt{2})$ B、 $z \cdot \bar{z} = 4$ C、 $z$ 的实部与虚部之积小于等于3 D、复数 $z_{1} = 1 + i$ ，则 $|z - z_{1}|$ 的最大值为 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

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18、设角 $α_{1}$ 、 $α_{2}$ 满足 $\frac{1}{2 + \sin α_{1}} + \frac{1}{2 + \sin 2 α_{2}} = 2$ ，则 $|10 π - α_{1} - α_{2}|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{6}$

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19、已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且a＝4，b＋c＝5，tanB＋tanC＋ $\sqrt{3}$ ＝ $\sqrt{3}$ tanBtanC，则△ABC的面积为 (　　)

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、3 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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20、如图，A，B两地相距45km，甲欲驾车从A地去B地，由于山体滑坡造成道路AB堵塞，甲沿着与AB方向成18°角的方向前行，中途到达C点，再沿与AC方向成153°角的方向继续前行到达终点B，则这样的驾车路程比原来的路程约多了（）（参考数据： $\sin 18 ° \approx 0.31$ ， $\sin 27 ° \approx 0.45$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

A、45.5km B、51.5km C、56.5km D、60.5km

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