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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $z \cdot i = 1 + 2 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、-1 B、 $- i$ C、1 D、i

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2、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2，两渐近线的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程：

(2)、当 $a < b$ 时，记双曲线 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，动直线 $l$ ： $x = m y + 2$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $M$ ， $N$ 两点（异于 $A_{2}$ ），直线 $A_{1} M$ ， $A_{2} N$ 相交于点 $T$ ，证明：点 $T$ 在定直线上，并求出定直线方程．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 6$ ，且对任意的 $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 a_{n} + 3$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，并求出其的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若 $c_{n} = \frac{2}{3} a_{n} + \frac{13}{3} n - 2$ ，求 $\{\frac{1}{c_{n}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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4、 ${(1 + x + \frac{1}{x^{2}})}^{3}$ 展开式中的常数项为。

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5、已知曲线 $C : y^{2} + sin x = 5$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $y$ 的范围是 $[- \sqrt{6}, \sqrt{6}]$ B、若 $y > 0$ ，则曲线 $C$ 具有周期性 C、曲线 $C$ 既是轴对称图形又是中心对称图形 D、曲线 $C$ 与圆 $D : x^{2} + y^{2} = 5$ 有公共点

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6、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 定义在 $(0, + \infty)$ 上的导函数，满足 $x^{2} f^{'} (x) + 2 x f (x) = 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{f (e)}{e^{2}} > \frac{f (e^{2})}{e}$ B、 $\frac{f (2)}{9} > \frac{f (3)}{4}$ C、 $\frac{f (2)}{e^{2}} < \frac{f (e)}{4}$ D、 $\frac{f (e)}{e^{2}} < \frac{f (3)}{9}$

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7、已知抛物线C： $y^{2} = 16 x$ 的焦点为F，过点 $A (7, 1)$ 作直线l； $x + a y - 2 y - 7 a + 4 = 0$ 的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则 $|P F| + |P B|$ 的最小值为（）

A、 $14 - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{25}{2}$ C、14 D、 $\frac{25 - 3 \sqrt{5}}{2}$

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8、已知m、n是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ∥ β$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $α ⊥ β$ ，则 $β ⊥ γ$ D、若 $m ⊥ β$ ， $m ∥ α$ ，则 $α ⊥ β$

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9、已知集合 $A = \{y |y = {log}_{\frac{1}{2}} x, x > \frac{1}{2}\}, B = \{y ∣ y = 2^{x}, x \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${y ∣ y < 1}$ B、 ${y ∣ 0 < y < 1}$ C、 ${y ∣ 0 < y \leq 1}$ D、 $\{y ∣ y > 1\}$

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10、设复数 $z = 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位）， $z$ 的共轭复数是 $\bar{z}$ ，则 $\frac{2 - 2 \bar{z}}{z} =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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11、设定义域为 $R$ 的函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上可导，导函数为 $y = f^{'} (x)$ ．若区间 $I$ 及实数 $t$ 满足： $f (x + t) \geq t \cdot f^{'} (x)$ 对任意 $x \in I$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 为 $I$ 上的“ $M (t)$ 函数”．

(1)、判断 $y = x^{2} + 3 x$ 是否为 $(0, + \infty)$ 上的 $M (1)$ 函数，说明理由；

(2)、若实数 $t$ 满足： $y = \sin x$ 为 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的 $M (t)$ 函数，求t的取值范围；

(3)、已知函数 $y = f (x)$ 存在最大值．求证：对任意正整数 $n, y = f (x)$ 都是 $R$ 上 $M (n)$ 的函数的充要条件是对任意 $x \in R, f^{'} (x) \leq 0$ 与 $f (x) \geq 0$ 恒成立

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12、已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(2, \sqrt{2})$ .
（1）求椭圆 $M$ 的方程；
（2）若 $A$ ， $B$ 分别为椭圆 $M$ 的上，下顶点，过点 $B$ 且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $M$ 于另一点 $N$ （异于椭圆的右顶点），交 $x$ 轴于点 $P$ ，直线 $A N$ 与直线 $x = a$ 相交于点 $Q$ .求证：直线 $P Q$ 的斜率为定值.

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13、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A_{1} A C C_{1}$ 为正方形， $A_{1} C ⊥ A B$ ， $A C ⊥ A B$ ， $A B = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} C / /$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $A B_{1} D$ 所成角的正弦值；

(3)、求二面角 $B_{1} - A D - C$ 的余弦值.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n} = - n^{2} + 11 n$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 为递减数列 B、当且仅当 $n = 5$ 时， $S_{n}$ 取得最大值 C、 $a_{n} = - 2 n + 12$ D、 $\{2^{a_{n}}\}$ 是等比数列

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15、下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（）

A、 $i^{2025} = - i$ B、复数 $z = 5 - 4 i$ 的共轭复数的虚部为4 C、若复数z满足 $|z - i| = 1$ ，则 $| z |$ 的最大值为2 D、若 $3 + 4 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $q = - 25$

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16、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，点 $F$ 在棱 $C_{1} D_{1}$ 上，且 $\vec{D_{1} F} = λ \vec{D_{1} C_{1}}$ ，若 $B_{1} F$ $∥$ 平面 $A_{1} B E$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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17、已知 $\tan α = 3$ ，则 $\sin (\frac{π}{2} + α) \cdot \sin α =$ （）

A、 $- \frac{9}{10}$ B、 $- \frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{9}{10}$

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18、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则“ $\forall x \in R$ ， $f (x + 1) > f (x)$ ”是“函数 $f (x)$ 为增函数”的

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知一个球的表面积与体积的数值相等，则这个球的体积为（）

A、3 B、12 C、 $36 π$ D、 $576 π$

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20、克罗狄斯托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点， $O A = 4 cm$ ， B为半圆上任意一点，且三角形 $A B C$ 为正三角形.

(1)、当 $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ 时，求四边形 $O A C B$ 的周长；

(2)、当 $∠ A O B$ 多大时，四边形 $O A C B$ 的面积最大，并求出面积的最大值；

(3)、若 $O C$ 与 $A B$ 相交于点D，则当线段 $O C$ 的长取最大值时，求 $\vec{O D} \cdot \vec{A B}$ 的值.

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