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相关试卷

1、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．已知 $a_{4} = 7, S_{3} = 9$ ，则（）

A、 $a_{2} = 3$ B、 $a_{2 n} = 2 a_{n} - 1$ C、 $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 为等差数列 D、 $\{S_{2^{n}}\}$ 为等比数列

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2、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线与对称轴的交点为 $C (- 2, 0)$ ，直线 $2 x - y - 8 = 0$ 与抛物线交于A，B两点，则 $△ A B C$ 的外接圆在x轴上截得的弦长为（）

A、 $\frac{34}{3}$ B、12 C、 $\frac{38}{3}$ D、 $\frac{98}{3}$

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3、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，设甲： $α + β > \frac{π}{2}$ ，乙： $\cos α + \cos β < 1$ ，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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4、已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ ，则（）

A、 $P_{1}$ 最大 B、 $P_{2}$ 最大 C、 $P_{3}$ 最大 D、 $P_{1} = P_{2} = P_{3}$

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5、已知函数 $y = f (x) (x > 0)$ 的图象如图所示，则其解析式可能为（）

A、 $y = 2 x - 2$ B、 $y = 2 - x^{- 1}$ C、 $y = \log_{2} (2 x)$ D、 $y = 3 - 2^{2 - x}$

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6、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3}), \vec{b} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ．若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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7、已知函数 $f (x) = \sin 2 x$ ，则 $f (x)$ （）

A、在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递增 B、在 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上单调递增 C、在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、在 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上单调递减

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8、复数 $\frac{5}{- 2 + i}$ 的共轭复数是（）

A、 $2 + i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $- 2 - i$

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9、设集合 $A = {x ∣ x < a}, B = {x ∣ 1 < x < 2}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则a的取值范围是（）

A、 $a \leq 1$ B、 $a \leq 2$ C、 $a \geq 1$ D、 $a \geq 2$

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10、已知曲线 $E : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 与点 $P (\sqrt{5}, 0)$ ， O为原点，动点 $Q \in E$ ，且 $∠ O P Q$ 的最大值为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、已知有 $n + 1$ 个点 $A_{0}$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{n}$ 按逆时针顺序依次在E上，且 $A_{0} (2, 0)$ ， $A_{n} (- 2, 0)$ ．
（ⅰ）当 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 关于y轴对称，且 $△ O A_{1} A_{3}$ 的面积为1时，求直线 $A_{2} A_{3}$ 的斜率；
（ⅱ）当 $△ O A_{k - 1} A_{k} (1 \leq k \leq n)$ 的面积都相等时，记多边形 $A_{0} A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ 的周长为 $C_{n}$ ．若对于 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $C_{n} < λ$ ，求整数 $λ$ 的最小值．

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11、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\frac{sin (A + C)}{sin (A - C)} = \frac{a^{2} + c^{2} + a c}{a^{2} - c^{2}}$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $c = 1$ ，点D在AC上，直线BD上一点P满足 $\vec{C B} \cdot \vec{C P} = \vec{C D} \cdot \vec{C P}$ ，在点C和点D的变化过程中，
（ⅰ）求 $P A^{2} + P C^{2}$ 的最小值；
（ⅱ）当 $P A^{2} + P C^{2}$ 最小时，求 $\vec{B A} \cdot \vec{B D}$ 的值．

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12、在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为 $+ 1$ 个单位，向“负方向姿态修正一次”记为 $- 1$ 个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的.

(1)、求6次姿态修正后达到 $+ 2$ 个单位的概率；

(2)、以下三种情况将导致校准流程终止：
情况1：累计姿态偏移达到 $+ 2$ 个单位（校准到位）；
情况2：累计姿态偏移达到 $- 2$ 个单位（需紧急干预）；
情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）.
（ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；
（ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求 $E (X)$ ．

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13、已知函数 $f (x) = ln x + a x + \frac{b}{x}$ ， $b \in (0, 1)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，若 $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，求b的值；

(2)、若 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极小值点，求实数a的取值范围．

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14、如图所示，三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C ⊥ B D$ ， $A D ⊥ B D$ ，且 $B C = \sqrt{2}$ ， $B D = A D = 1$ ， E，F分别为 $A B$ 和 $C D$ 的中点．

(1)、证明： $B D$ 上存在点P，使得 $A D //$ 平面 $P E F$ ；

(2)、当 $〈\vec{D A}, \vec{B C}〉 = \frac{π}{4}$ 时，求二面角 $B - A C - D$ 的正弦值．

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15、已知圆 $O_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $O_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2}$ ，则圆 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 的公切线最多有条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是．

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16、若i为虚数单位，则 $i + 2 i^{2} + 3 i^{3} + \dots + 10 i^{10} =$ ．

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17、 $card (A)$ 表示有限集合A中元素的个数，已知 $card (A \cup B) = 25$ ， $card (A) = 22$ ， $card (B) = 20$ ，则 $card (A \cap B) =$ ．

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18、若曲线 $Γ$ 满足条件：存在正数a和点 $P \notin Γ$ ，对于任意点 $A \in Γ$ ，总存在点 $B \in Γ$ ，使得 $|P A| \cdot |P B| = a$ ，则称该曲线是“ $a -$ 封闭曲线”，则下列曲线是“ $a -$ 封闭曲线”的是（）

A、 $2 x^{2} + y^{2} = 1$ B、 $x^{2} + x y = 1$ C、 $x^{2} + y^{2} = {sin}^{2} x + {cos}^{2} y$ D、 $sin (x + 2 y) = 2 x - y$

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19、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a^{2} x (a > 0)$ 的极大值点和极小值点分别记为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，过点 $M (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $N (x_{2}, f (x_{2}))$ 分别作x轴的平行线交 $f (x)$ 的图象于点C，A，过点M，N构造矩形 $A B C D$ ，如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{2} - x_{1} = 2 a$ B、点M为线段CD的三等分点 C、当 $a = 1$ 时，四边形ABCD为正方形 D、当 $a = 1$ 时，四边形 $A M C N$ 为菱形

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20、有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{9}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < \cdot \cdot \cdot < x_{9}$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，中位数为M，现对这组数据做如下变换： $y_{i} = x_{i} + i (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ ，得到一组新数据 $y_{1}, y_{2}, \cdot \cdot \cdot, y_{9}$ ，则下列说法正确的是（）

A、新数据的极差等于原数据的极差 B、新数据的平均数等于 $\bar{x} + 5$ C、新数据的方差大于原数据的方差 D、新数据的中位数等于 $M + 5$

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