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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (2 x^{2} + x - 1) \ln (x + 1) - \frac{1}{2} x^{3} + a x^{2} + x (a \in R)$ ．

(1)、证明：当 $a \geq - \frac{3}{2}$ 时， $x \in (- 1, 0), f (x) < f (1)$ ；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极大值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
（i）当0是 $f (x)$ 的极小值点时，证明： $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ；
（ii）当 $x_{1} = 0$ 时，是否存在 $a$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ？如果存在，请求出 $a$ 的值，如果不存在，请说明理由．

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2、一个袋子中装有 $n$ 个大小相同的小球，编号分别为 $1, 2, 3, \dots, n$ ，且 $n \geq 3, n \in N^{*}$ ．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出 $k$ 个球，记所取球的编号组成的集合为 $M$ ．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出 $k$ 个球，记所取球的编号组成的集合为 $N$ ．设随机变量 $X$ 表示 $M \cap N$ 的元素个数．

(1)、若 $n = 4, k = 2$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、若 $k = 3$ ，且 $P (X = 2) = \frac{9}{20}$ ，求 $n$ ；

(3)、求 $X$ 的方差 $D (X)$ （结果用k，n表示），并探究k，n具有怎样的关系时， $D (X)$ 最大？

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3、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为2的正三角形， $∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = 60^{°}$ ， $A A_{1} = 1$ ， $E$ 为BC的中点， $F$ 为上底面 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心．

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面ABC；

(2)、求平面 $A_{1} E F$ 与平面 $A_{1} C_{1} E$ 的夹角的余弦值．

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4、椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $E$ 外的点 $M (0, 2)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交 $E$ 于A，B两点．当 $l$ 过 $F_{1}$ 时， $△ A B F_{2}$ 的周长为8， $\cos ∠ A M F_{2} = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、 $O$ 为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．证明： $k_{1}, - k, k_{2}$ 成等差数列．

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5、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c \sin B = b \cos (C - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $D$ 是AB边上一点，且 $B D = C D = 2 A D$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的值．

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6、融合科技和娱乐的无人机群表演深受人们欢迎．现有 $n$ 架无人机 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} (n \geq 3)$ 依次围成一个圆形飞行表演编队（ $A_{1}, A_{n}$ 相邻）．操控员需要对每架无人机发送两种编码：频段编码（0或1）和校验编码（ $T$ 或 $t$ ），无人机端接收频段编码和校验编码．为了保证无人机群飞行的稳定，要求相邻两架无人机之间的频段编码或者校验编码至少有一个相同，称满足这样条件的编码为合法编码，设该无人机群飞行编队的合法编码有 $a_{n}$ 种．则 $a_{3} =$ ， $a_{99} =$ ．

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7、若 $f (x)$ 是奇函数，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) = \log_{\sqrt{3}} x$ ．则 $f (- 3) =$ ．

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8、已知随机事件 $A$ 和 $B$ ，其中 $P (A) = P (B) = \frac{1}{2}, P (A \cup B) = \frac{3}{4}$ ．则 $P (A B) =$ ．

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9、已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $E : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ （异于 $O$ ）在抛物线 $E$ 上， $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，曲线 $E$ 在点 $A$ 处的切线为 $l$ ，且 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ．下列说法正确的是（）

A、 $C$ 为OB的中点 B、 $△ A C F$ 可能为锐角三角形 C、若 $∠ C A F \leq 45^{°}$ ，则四边形ABCF的面积不小于 $\frac{3}{2}$ D、若 $l$ 与圆心在 $y$ 轴上的圆 $D$ 相切于点 $A$ ，且 $∠ D A F = 60^{°}$ ，则 $D (0, 5)$

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10、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G，H，M，N分别是棱 $A B, B C, A_{1} B_{1}, B B_{1}$ ， $C_{1} D_{1}, C C_{1}$ 的中点．下列说法正确的是（）

A、直线EF、MN、CD相交于同一点 B、GN和MH是异面直线 C、若点 $K$ 在直线 $A B_{1}$ 上，则 $C K / /$ 平面EFH D、E，F，G，H，M，N在同一个球面上

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11、某学校开展了一次国防知识测试活动，满分为10分，用纸质统计了40名学生的成绩，如下表所示，最低分为5分，有部分格子破损．
成绩／分
5
6
7
8
9
10
人数
8
7
10
7
关于这40名学生的成绩，则（）

A、众数为9 B、极差为5 C、第30百分位数为6 D、平均数小于中位数

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12、将函数 $f (x) = \sin 2 x - \cos (x - \frac{π}{2}) (x > 0)$ 的零点从小到大排列构成数列 $\{x_{n}\}$ ，则 $\{x_{n}\}$ 的前8项和为（）

A、 $10 π$ B、 $14 π$ C、 $16 π$ D、 $18 π$

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13、已知双曲线 $C$ 的焦点在 $y$ 轴上，且其中一条渐近线方程为 $x + 2 y = 0$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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14、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ ，若 $a_{5} - a_{1} = 15, a_{4} - a_{2} = 6$ ，则公比 $q =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、4

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15、5名工人各自在4天中选择1天休息，不同方法的种数是（）

A、 $4^{5}$ B、 $5^{4}$ C、 $A_{5}^{4}$ D、 $C_{5}^{4}$

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16、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (- 2, 1), \vec{a} - \vec{b} = (2, 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、0

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17、已知 $a > 0, b > 0$ ，则“ $a b \leq 1$ ”是“ $a + b = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，集合 $B = \{x |\sqrt{x} < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{x |0 < x < 4\}$

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19、已知复数 $z = 1 + i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、0 D、 $- 1$

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20、如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将 $△ A D E$ 沿DE翻折到 $△ S D E$ ， $△ B E F$ 沿EF翻折到 $△ S E F$ ，

(1)、求证：平面 $S E F ⊥$ 平面SFD；

(2)、当F是边BC的中点时，二面角 $D - S E - F$ 的大小；

(3)、若 $B F > 1$ ，将 $△ A D E$ 沿DE翻折到 $△ S D E$ ， $△ B E F$ 沿EF翻折到 $△ S E F$ ，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的最大值.

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成绩／分	5	6	7	8	9	10
人数			8	7	10	7