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相关试卷

1、复数 $z = i (1 + 2 i)$ 在复平面内对应的点位于

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 4, \vec{a}, \vec{b}$ 的夹角 $θ = 60 °$ .

(1)、求 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b})$ 的值；

(2)、求 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ .

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3、在下列各式中，
①如果 $- 1$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $- 16$ 成等比数列，那么 $b = \pm 4$ ；
② $△ A B C$ 中，若 $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ ，且 $\sin C = 2 \sin A \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等边三角形；
③若两个正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，并且 $x + 2 y > m^{2} - 3 m + 4$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是 $(- 1, 4)$ ；
④若等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = x \times 3^{n - 1} - \frac{1}{6}$ ，则 $x$ 的值为 $\frac{1}{6}$ ；
⑤若 $a, b \in R^{+}$ ， $a^{2} + \frac{b^{2}}{2} = 1$ ，则 $a \sqrt{1 + b^{2}}$ 有最大值为 $\frac{3}{4} \sqrt{2}$ ．
其中正确的有．（填上你认为正确的所有序号）

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4、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ．若 $A = \frac{π}{4}, B = \frac{π}{3}, a = 2 \sqrt{2}$ ，则 $b =$ ．

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6、若向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，则（）

A、 $|\vec{b}| = 2$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ C、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{a}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$

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7、设 $\vec{a}, \vec{b}$ 均为单位向量，且 $|\vec{a} - 4 \vec{b}| \leq \sqrt{13}, \vec{m} = \vec{a} - 2 \vec{b}, \vec{n} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c \sin C - a \sin A = 4 b \sin B$ ，且 $\cos C = - \frac{1}{5}$ ，则 $\frac{\sin A}{\sin B} =$ （）

A、 $\frac{2}{15}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{6}}{12}$ D、 $\frac{15}{2}$

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9、如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向．在相距 $200 km$ 的 $A$ ， $B$ 两地各放置一个地动仪， $A$ 在 $B$ 的南偏西 $30^{\circ}$ 方向，若 $A$ 地地动仪正东方位的龙珠落下， $B$ 地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离 $B$ 地（）

A、 $50 \sqrt{6} km$ B、 $100 \sqrt{6} km$ C、 $100 (\sqrt{3} + 1) km$ D、 $120 (\sqrt{3} + 1) km$

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10、要得到函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{3 π}{4})$ 的图象，只需将 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位

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11、下列各组向量中，能作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (1, 3)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (- 2, - 6)$ B、 $\vec{e_{1}} = (\sqrt{2}, 1)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (2, \sqrt{2})$ C、 $\vec{e_{1}} = (1, 2)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (2, - 1)$ D、 $\vec{e_{1}} = (- 3, - 4)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (3, 4)$

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12、已知向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (x, x + \frac{1}{2})$ 若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、-1 C、0 D、 $\frac{3}{2}$

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13、已知无穷递增数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正整数，记数列 $\{a_{a_{n}}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的自身子数列.

(1)、若 $a_{n} = 2 n - 1 (n \in N^{*})$ ，写出数列 $\{a_{n}\}$ 的自身子数列的前4项；

(2)、证明： $a_{k + 1} - a_{k} \leq a_{a_{k + 1}} - a_{a_{k}} (k \in N^{*})$ ；

(3)、若数列 $\{a_{a_{n}}\}$ 与 $\{a_{a_{n} + 1}\}$ 是公差分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ 的等差数列.
（i）证明： $d_{1} = d_{2}$ ；
（ii）当 $a_{1} = 1$ ， $d_{1} = 9$ 时，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

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14、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a}{x}$ ，直线l是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(t, f (t)) (t > 0)$ 处的切线.

(1)、当 $a = 0$ ， $t = e$ （ $e$ 为自然对数的底数）时，求l的方程；

(2)、若存在l经过点 $(0, 0)$ ，求实数a的取值范围；

(3)、当 $a = - 1$ 时，设点 $A (t, f (t)) (t > 0)$ ， $O (0, 0)$ ， B为l与y轴的交点， $S_{△ A O B}$ 表示 $△ A O B$ 的面积.求 $S_{△ A O B}$ 的最小值.

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15、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，以 $E$ 的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为 $1$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $P (2, 0)$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $M, N$ .过 $M$ 作直线 $x = 1$ 的垂线，垂足为 $Q$ .求证：直线 $N Q$ 过定点.

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16、京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达

(1)、某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率；

(2)、甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响.
（ⅰ）记随机变量 $X$ 为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求 $X$ 的分布列和数学期望；
（ⅱ）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明）

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A B$ 为等边三角形， $A D ∥ B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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18、在 $△ A B C$ 中， $b^{2} - a^{2} - c^{2} = - \frac{11}{7} a c$ ．

(1)、求 $\sin B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在，求a．
条件①： $C = \frac{2 π}{3}$ ；
条件②： $b = 5$ ；
条件③： $\sin A - \sin C = 1$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - a \cos x$ .给出下列四个结论：
①当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 上单调递增；
②对任意实数a， $f (x)$ 都没有最小值；
③当 $a \neq 0$ 时，设 $f (x)$ 的零点从大到小依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则对任意正整数i，都有 $x_{i} - x_{i + 1} < π$ ；
④对任意实数a，m，存在实数 $x_{0}$ ，当 $t > x_{0}$ 时，恒有 $f (- t) + f (t) > m$ .
其中所有正确结论的序号为.

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20、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，其中M，N是直线 $y = \frac{1}{2}$ 与曲线 $y = f (x)$ 的两个相邻交点.若 $|M N| = \frac{π}{3}$ ，则 $ω =$ ， $f (\frac{π}{2}) =$ .

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