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相关试卷

1、如图， $P$ 是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点， $F$ 是抛物线的焦点， $∠ O F P = 60 °$ ，则 $|P F| =$ （）

A、8 B、4 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2、已知点 $P (- \frac{1}{2}, 1)$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ ，则经过点 $P$ 且被圆截得的弦长最短时直线的方程为（）

A、 $2 x - 4 y - 5 = 0$ B、 $2 x - 4 y + 5 = 0$ C、 $2 x + 4 y + 3 = 0$ D、 $2 x + 4 y - 3 = 0$

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3、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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4、直线 $2 x + \sqrt{2} y - 1 = 0$ 的斜率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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5、已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），离心率为 $e = \frac{1}{2}$ 且过点 $(0, \sqrt{3})$ .

(1)、求椭圆方程；

(2)、动点 $P$ 在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A， $B$ 两点，证明：直线 $P A$ 、 $P B$ 的斜率乘积为定值；

(3)、过左焦点 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $M$ ， $N$ 两点，是否存在实数 $λ$ ，使 $|\vec{M N}| = λ \vec{F_{1} M} \cdot \bar{F_{1} N}$ 恒成立？若存在，求此时 $|\vec{M N}|$ 的最小值；若不存在，请说明理由.

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是菱形，且 $C A = C B_{1}$ .

(1)、证明：平面 $C B A_{1} ⊥$ 平面 $C B_{1} A$ ；

(2)、若 $∠ B A A_{1} = 60^{\circ}, A_{1} C = B C = B A_{1}$ ，求二面角 $C - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的余弦值.

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7、已知函数 $f (x) = 2 \sin^{2} ω x + \sqrt{3} \sin 2 ω x (ω > 0)$ 在 $(0, π)$ 上恰有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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8、（多选）以下四个命题中，是真命题的有（）

A、∀x∈R，x²－x＋1>0 B、“ $x > 2$ ”是“ $2 < x < 4$ ”的充分不必要条件 C、若命题 $p$ ： $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 < 0$ ，则 $p$ 的否定为： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$

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9、已知定义在 $R$ 上的函数 $g (x) = e^{x} - e^{- x} + f (x)$ ，其中 $g (x)$ 是奇函数且在 $R$ 上单调递减， $f (\log_{\frac{1}{2}} x) < f (2)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ B、 $(0, \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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10、已知圆柱的高为2，侧面积为 $4 π$ ，若该圆柱的上､下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $4 \sqrt{2} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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11、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $1$ ，公差不为 $0$ .若 $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 前 $6$ 项的和为（）

A、 $- 3$ B、 $- 24$ C、 $3$ D、 $24$

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12、已知复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = x + 2 i$ （ $x \in R$ ），若 $z_{1} z_{2}$ 为纯虚数，则 $x$ 的值为（）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 2$

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13、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} b = 2 a \sin (C + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求角A；

(2)、D为BC上一点， $2 \vec{B D} = \vec{D C}$ ．
（i）若 $∠ C A D = \frac{π}{4}$ ，求 $\frac{b}{c}$ 的值；
（ii）若 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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14、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和.已知 $\frac{2 S_{n}}{n} + n = 2 a_{n} + 1$ .

(1)、证明： $\{a_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{4}$ ， $a_{7}$ ， $a_{9}$ 成等比数列，令 $b_{n} = \frac{1}{(a_{n} + 14) (a_{n} + 16)}$ ，且 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} < 2 λ - 1$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\vec{m} = (\tan A, \tan B)$ ， $\vec{n} = (b, b - 2 c)$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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16、中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为.

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17、已知函数 $f (x) = e^{x - a} + e^{2 - x}$ ，若 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{2}$ 对称，则 $f (x)$ 的值域为.

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18、已知复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 + i$ ，则 $\bar{z} =$ .

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19、已知函数 $f (x) = \cos x + \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{1}{3} \cos 3 x$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $x = π$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $(\frac{π}{2}, 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 内单调递减

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20、已知向量 $\vec{a} = (\sin α, \cos α)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\tan α = \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\tan α = - \frac{1}{2}$ C、当 $f (α) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ 取得最大值时， $\tan α = \frac{1}{2}$ D、 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 1$

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