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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - n$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} n (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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2、某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积 $x$ /亩
1
2
3
4
5
管理时间 $y /$ 月
8
10
13
25
24
并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人

愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
150
50
女性村民
50
50

(1)、求出样本相关系数 $r$ 的大小，并判断管理时间 $y$ 与土地使用面积 $x$ 是否线性相关（当 $|r| \geq 0.75$ 时，即可认为线性相关）；

(2)、以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．
参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \times \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；参考数据： $\sqrt{635} \approx 25.2$ ．

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3、从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ，则事件“存在 $1 \leq i < j \leq 4$ ， $i, j \in N^{*}$ ，使得 $|a_{i} - a_{j}| = 1$ ”的概率为．

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4、函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 5 x + a$ ，则 $f (a) =$ ．

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5、已知角 $α$ 满足 $\sqrt{3} \sin α - 2 \cos (α + \frac{π}{3}) = 0$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{6}) =$ ．

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6、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 满足 $\vec{D E} = \vec{E D_{1}}$ ， $\vec{B F} = λ \vec{A A_{1}} + μ \vec{A D} (0 \leq λ \leq 1, 0 \leq μ \leq 1)$ ，则（）

A、 $B D_{1} //$ 平面 $A E C$ B、若 $A F$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $F$ 点的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$ C、当 $λ + μ = 1$ 时，满足到直线 $A B$ 与到平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的距离相等的点 $F$ 有两个 D、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时，四面体 $F B B_{1} A_{1}$ 外接球体积为 $\frac{\sqrt{2} π}{3}$

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7、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则下列选项中可能是 $S_{n}$ 所对应的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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8、设 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上一动点， $M$ 、 $N$ 分别为圆 $C_{1} : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，则 $|P M| + |P N|$ 不可能为（）

A、 $7.5$ B、 $9.5$ C、 $11.5$ D、 $13.5$

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9、设 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，如果 $(a + b + c) (a + c - b) = a c$ ，且 $b = \sqrt{3}$ ，那么 $△ A B C$ 外接圆的半径为（）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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10、某电器由三个元件按下图方式连接而成，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 $N (1000, 50^{2})$ ，各个元件能否正常工作相互独立．当元件1正常工作，且元件2或元件3正常工作时，该电器正常工作．现有 $200$ 台这样的电器，估计这批电器使用寿命超过 $1000$ 小时的台数为（）

A、 $60$ B、 $75$ C、 $90$ D、 $120$

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11、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = 2, |2 \vec{a} + \vec{b}| = 4$ ，且 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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12、已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (|φ| < π), f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ 恒成立，则 $φ$ 的值为（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $- \frac{π}{6}$ D、 $- \frac{5 π}{6}$

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13、若函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} (a \in R)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线过点 $(0, 1)$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $2$ D、 $3$

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14、若集合 $M = \{- 4, - 2, - 1, 2, 3\}, N = \{- 3, - 1, 2\}$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $N \subseteq M$ C、 $M \cap N = \{- 1, 2\}$ D、 $M \cup N = \{- 3, - 2, - 1, 2, 3\}$

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15、已知复数 $z = \frac{5}{2 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $i$ D、 $- i$

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} + a \sin x + b \ln x + c x - 2, a, b, c \in R$ ．

(1)、若 $a = b = 0$ ，讨论 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(2)、若 $a = c = 0, b = - 1$ ，证明： $f (x) > 0$ ；

(3)、当 $a = 1, b = 0, c = - e$ 时，若 $x_{1}, x_{2} \in (0, \frac{π}{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ， $f (x)$ 在 $x = m (m > 0)$ 处取得极值，求证： $x_{1} + x_{2} < 2 m$ ．

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，上顶点 $B$ 的坐标为（0，1）．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知 $M$ 为 $C$ 上一点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，若点 $S$ 满足 $\vec{N S} = 3 \vec{N M}$ ，当点 $M$ 在 $C$ 上运动时，求点 $S$ 的轨迹方程；

(3)、过 $(- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O Q$ 与椭圆的另一个交点为 $G$ ，若 $△ P Q G$ 的面积 $S_{△ P Q G} = \frac{3}{2}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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18、如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $C D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D ∥ B E$ ， $△ A B C$ 为等边三角形， $B E = B C = 2 C D$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $A B$ ， $B E$ 的中点．

(1)、证明： $C F / /$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求平面 $C D F$ 与平面 $C F G$ 的夹角的大小．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 4}$ ， $a_{1} = 2$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{n}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20、已知函数 $f (x) = ln x - a x^{2} (a \in R)$ ，且 $f^{'} (2) = - \frac{15}{2}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程.

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土地使用面积 $x$ /亩	1	2	3	4	5
管理时间 $y /$ 月	8	10	13	25	24

	愿意参与管理	不愿意参与管理
男性村民	150	50
女性村民	50	50