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相关试卷

1、下列命题为真命题的是（）

A、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °, |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则双曲线C的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、“ $y = x + \frac{k}{x} \geq 2$ ”在 $R^{+}$ 上恒成立的充要条件是“ $k = 1$ ” C、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x) - 1$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，则 $f (1) + f (2) + \dots + f (16) = 16$ D、设 $a = \frac{e}{90}$ ， $b = \frac{\sqrt[9]{e}}{10}$ ， $c = \frac{\sqrt[10]{e}}{9}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为 $a < c < b$

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2、点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的点，且有 $\vec{P A} + 7 \vec{P B} + 5 \vec{B C} = \vec{0}$ ，直线 $A P, C P$ 分别交 $B C, A B$ 于点 $D, E$ ，记 $△ A C D, △ A P E$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，则 $S_{1} : S_{2} =$ （）

A、 $\frac{21}{25}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $\frac{16}{35}$ D、 $\frac{24}{35}$

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3、已知直线 $l : y = k x - \frac{k p}{2}$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相交于 $A, B$ 两点，以 $A B$ 为直径的圆与抛物线 $C$ 的准线相切于点 $M (- 1, 2)$ ，则 $|A B| =$ （）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $9$

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4、已知四面体 $A B C D$ 的各顶点都在同一球面上，若 $A B = B C = C D = D A = B D = 2 \sqrt{3}$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则该球的表面积是（）

A、 $100 π$ B、 $40 π$ C、 $20 π$ D、 $16 π$

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5、直线 $l : x + m y - m - 3 = 0$ 被圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y = 0$ 截得的最短弦的弦长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6、若 $tan α = 2$ ，则 $\sin^{2} α + \frac{\sin 2 α}{\tan α} =$ （）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $-$ $\frac{3}{5}$ D、 $-$ $\frac{6}{5}$

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7、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = S_{3} = 3$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、 $64$ B、 $48$ C、 $36$ D、 $24$

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8、一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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9、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率 $e = \sqrt{2}, P_{1}, P_{2}$ 分别为其两条渐近线上的点，若满足 $\vec{P_{1} P} = \vec{P P_{2}}$ 的点 $P$ 在双曲线上，且 $△ O P_{1} P_{2}$ 的面积为8，其中 $O$ 为坐标原点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过双曲线 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ 的动直线与双曲线相交于 $A, B$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $M$ ，使得 $\bar{M A} \cdot \vec{M B}$ 为常数?若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F, C$ 上的动点 $P$ 到点 $F$ 的距离与到其准线 $l$ 的距离之和的最小值为2.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $A, B, D (a, 2)$ 是抛物线 $C$ 上不同的三点.
（i）若直线 $A B$ 过点 $F$ ，且交准线 $l$ 于点 $M, \vec{M A} = λ_{1} \vec{A F}, \vec{M B} = λ_{2} \vec{B F}$ ，求 $λ_{1} + λ_{2}$ 的值；
（ii）若直线 $D A, D B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 1$ ，求直线 $A B$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

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11、已知 $\vec{a} = (1, - 1, \sqrt{2})$

(1)、求与 $\vec{a}$ 方向相同的单位向量 $\vec{b}$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 与单位向量 $\vec{c} = (0, m, n)$ 垂直，求 $m$ ， $n$ .

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为2的等比数列，各项均为正数，且 $a_{2} + a_{3} = 12$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n + 1}{2 a_{n}}, T_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.若 $\frac{3}{2} - T_{n} \leq k (n + 3)$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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13、在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC $= \frac{π}{3}$ ， AB＝2，PA⊥平面ABCD．
（1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC⊥平面QBD．
（2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ 时，求PA的长．

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14、直线的斜率为 $k$ ，若 $- 1 < k < \sqrt{3}$ ，则直线的倾斜角的范围是.

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15、阿波罗尼斯圆（ApolloniusCircle）是指在平面上，给定两点A､B以及一个常数 $k (k \neq 1)$ ，所有满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = k$ （ $P$ 为动点）的点 $P$ 的轨迹.这个轨迹是一个圆，最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，因此得名.现已知定点 $A (- 1, 0), B (1, 1),$ 点 $P$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，则 $2 |P A| + |P B|$ 的最小值为.

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16、写出与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{2}$ 和圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{1}{2}$ 都相切的一条直线方程.

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17、倾斜角为 $150 °$ ，在 $y$ 轴上截距为 $- 2$ 的直线方程为．

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，则（）

A、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ B、存在点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、使得 $△ F_{1} P F_{2}$ 为等腰三角形的点 $P$ 共有4个

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} < a_{2}$ ，则（）

A、等差数列 $\{a_{n}\}$ 为单调递增数列 B、数列 $\{|a_{n}|\}$ 是递增数列 C、 $S_{n}$ 有最小值 D、存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n > N_{0}$ 时，总有 $a_{n} > 0 (n \in N^{*})$

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20、已知直线 $l_{1} : x + a y - a = 0$ 和直线 $l_{2} : a x - (2 a - 3) y - 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、 $l_{2}$ 始终过定点 $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ B、若 $l_{1}$ $/ /$ $l_{2}$ ，则 $a = 1$ 或 $- 3$ C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ 或2 D、当 $a < 0$ 时， $l_{1}$ 始终不过第三象限

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