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相关试卷

1、设 $A$ ， $B$ 是一个随机试验中的两个事件，若 $P (\bar{B}) = \frac{4}{9}$ ， $P (\bar{A} B) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2、下列说法中错误的有几个（）
①数据1，2，3，5，7，8，9的60%分位数是6；
②根据 $2 \times 2$ 列联表中的数据计算得出 $χ^{2} \geq 6.635$ ，而 $P (χ^{2} \geq 6.635) \approx 0.01$ ，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01；
③回归分析时，可用决定系数 $R^{2}$ 刻画模型的拟合效果， $R^{2}$ 越大，则拟合效果越好；
④若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $ξ \sim N (1, σ^{2})$ ，若 $P (ξ < a) \geq P (ξ > 1 - 2 a)$ ，则实数 $a \leq - 1$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3、某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（）

A、600 B、264 C、207 D、114

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4、某化学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学完成一个实验，设抽到的女生人数为X，则 $P (X = 2) =$ （）

A、 $\frac{3}{20}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5、若 ${(x - \frac{\sqrt{a}}{x^{2}})}^{6}$ 展开式中的常数项为90，则常数 $a$ 的值为（）

A、4 B、2 C、8 D、6

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6、已知函数 $f (x) = 3 \ln x + 2$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、3 B、5 C、8 D、10

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7、定义：如果函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 具有 $C$ 关系.

(1)、判断函数 $f (x) = 4^{x} - 8$ 和 $g (x) = 2^{x + 1}$ 是否具有C关系；

(2)、若函数 $f (x) = \ln x - a x - 1$ 和 $g (x) = 1 - x^{2}$ 不具有C关系，求a的取值范围；

(3)、若函数 $f (x) = x (e^{x} - 1)$ 和 $g (x) = x + m \sin x (m < 0)$ 在区间 $(0, π)$ 上具有C关系，求m的取值范围.

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + a e^{- x} (x \geq 0)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求证： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、当 $a = 0$ 时，求方程 $f (x) = x$ 的解的个数；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}} > \ln (n + 1)$ ．

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9、甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，输的概率为 $1 - p$ ，每局比赛的结果独立．

(1)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？

(2)、比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得 $- 2$ 分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．

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10、若关于x的不等式 ${(\frac{1}{x})}^{m} \leq {(\frac{1}{27})}^{x}$ 有正整数解，则实数m的最小值为．

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11、某单位有1000名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占 $5 %$ ，化验费用为50元/次，如果对每个人的血样逐一化验，则该单位所需的化验费用为50000元．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，该单位所需的平均化验费用为元．（参考数据： ${0.95}^{5} \approx 0.7738$ ）

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12、若 ${(x - \frac{a}{x})}^{8}$ 的二项展开式中 $x^{6}$ 的系数是 $- 16$ ，则实数 $a$ 的值是．

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13、甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件 $A_{i} (i = 0, 1, 2)$ 表示从甲罐中取出的2个球中含有 $i$ 个红球， $B$ 表示从乙罐中取出的球是红球，则（）

A、 $A_{0}$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 两两互斥 B、 $P (B| A_{2}) = \frac{1}{3}$ C、 $P (B) = \frac{1}{2}$ D、 $B$ 与 $A_{1}$ 不相互独立

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14、函数 $f (x) = - x^{2} + a x + 1 - \ln x$ ，若 $f (x)$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 3]$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(- \infty, 2)$

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15、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点D是BC的中点， $A B = A A_{1} = 4$ ．

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(3)、求点 $B$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离．

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16、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a - b}{c - b} = \frac{\sin C}{sin A + sin B}$

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 3)$ ， $\vec{c} = (4, n)$ ．

(1)、若 $\vec{a} // \vec{c}$ ，求实数 $n$ 的值；

(2)、求 $(3 \vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - 5 \vec{b})$ ；

(3)、若 $t \in R$ ，求 $|\vec{a} + t \vec{b}|$ 的最小值．

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18、如图，二面角 $α - l - β$ 的大小是30°，线段 $A B \subset α$ ， $B \in l$ ， $A B$ 与 $l$ 所成的角为60°，则 $A B$ 与平面 $β$ 所成的角的正弦值是．

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19、已知向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (1 - n, 1)$ ， $m > 0, n > 0$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\frac{1}{2 m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为.

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20、在三棱锥 $D - A B C$ 中，已知 $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $D B = 4$ ，平面 $B C D ⊥$ 平面ABC，且 $D B ⊥ A B$ ，则（）．

A、 $D B ⊥ A C$ B、平面 $D A B ⊥$ 平面ABC C、三棱锥 $D - A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、三棱锥 $D - A B C$ 的外接球的表面积为 $16 π$

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