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相关试卷

1、已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足对任意 $x \in [0, 2]$ ，均有 $f (x) = - x^{2} + a x$ ，且对任意 $x \in R$ ，有 $f (2 - x) = f (x)$ .

(1)、求a的值；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = t$ （t为常数）在 $x \in (0, 10)$ 上的实根从小到大排列分别为 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ ，求 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{10}$ 的值；

(3)、设关于x的方程 $f (x) = \frac{1}{10} x$ 有k个不同正实根，将其从小到大排列分别为 $x_{1}^{'}, x_{2}^{'}, \cdot \cdot \cdot, x_{k}^{'}$ ，求 $x_{1}^{'} + x_{2}^{'} + x_{3}^{'} + \cdot \cdot \cdot + x_{k}^{'}$ 的值.

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2、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利，

(1)、求田忌获胜的概率；

(2)、若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率.

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3、如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $C D E F$ ， $D C ∥ E F$ ， $A B ⊥ B E$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B = D C$ .

(1)、证明： $A B ∥ D C$ ；

(2)、证明：平面 $A B F E ⊥$ 平面 $B C E$ .

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4、如图，在三角形 $△ A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c， $A B = 2$ ，点D在 $B C$ 上，且 $∠ C A D = \frac{π}{6}$ ， $2 a \cos B \cos C + 2 c \cos A \cos B - b = 0$ .

(1)、求B的大小；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 的长.

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5、在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2} A C$ ， $A D = 2 D B$ ， $A E = 3 E C$ ， $C D$ 与 $B E$ 交于 $F$ ，若 $\vec{A F} \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $∠ B A C =$ .

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6、实心圆锥 $P O$ 的底面直径为6，高为4，过 $P O$ 中点 $O^{'}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，如图所示，则剩下几何体的表面积是.

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7、一个样本容量为 $4$ 的样本的平均数为 $15$ ，现样本加入新数 $5$ ，此时样本数据的和为.

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8、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ ， O是 $B C_{1}$ 中点，则（）

A、 $\vec{A O} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ B、线段 $A_{1} C$ 的长度为 $\sqrt{3}$ C、直线 $A_{1} C$ 与 $B B_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{2}$ D、直线 $A_{1} C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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9、已知函数 $f (x) = 2 \cos (3 x + φ) (- π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{4}$ B、点 $A$ 的坐标为 $(\frac{π}{3}, 0)$ C、当 $x \in (0, \frac{π}{4})$ 时，函数 $f (x)$ 的值域是 $(0, 2]$ D、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数

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10、已知空间中两条不重合的直线 $l$ ， $m$ ，两个不重合的平面 $α$ ， $β$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $l ⊥ α$ ， $α / / β$ ， $m \subset β$ ，则 $l ⊥ m$ B、若 $l ⊥ α$ ， $l / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $l \subset α$ ， $α / / β$ ，则 $l / / β$

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11、已知函数 $f (x) = 3 \sin x + 4 \cos x$ 在 $x = x_{1}$ 处取得最大值，若 $g (x) = 3 \cos x - 4 \sin x$ 在 $x = x_{2}$ 处取得最大值，则 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 的关系可能为（）

A、 $x_{2} - x_{1} = - \frac{3 π}{2}$ B、 $x_{1} - x_{2} = - \frac{π}{2}$ C、 $x_{1} - x_{2} = \frac{5 π}{2}$ D、 $x_{2} - x_{1} = \frac{5 π}{2}$

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12、如图，球 $O_{1}$ 同时与正四面体 $P - A B C$ 的四个面相切，球 $O_{2}$ 同时与正四面体 $P - A B C$ 的三个面相切，且与球 $O_{1}$ 外切，则球 $O_{1}$ 和球 $O_{2}$ 的半径比为（）

A、2：1 B、3：1 C、4：1 D、5：1

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13、已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 3 x + a$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(m + a, m + a + 1)$ 上单调递增，则m的取值范围是（）

A、 $[- \frac{5}{2}, \frac{3}{2}]$ B、 $[- \frac{3}{2}, \frac{5}{2}]$ C、 $(- \infty, - \frac{3}{2}] \cup [\frac{5}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{5}{2}] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$

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14、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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15、设 $\vec{a} = (4, 5)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

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16、已知集合 $A = \{(x, y) |x, y \in N^{*}, y \geq x\}$ ，集合 $B = \{(x, y) |x + y = 6\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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17、已知复数 $z$ 满足 $z \cdot i = 1 - 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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18、命题“ $\forall x \in R$ ，有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ 成立”的否定为（）

A、 $\forall x \notin R$ ，有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ 成立 B、 $\forall x \in R$ ，有 $x^{2} + x + 1 < 0$ 成立 C、 $\exists x \notin R$ ，有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ 成立 D、 $\exists x \in R$ ，有 $x^{2} + x + 1 < 0$ 成立

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19、动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (4, 0)$ 的距离和它到定直线 $l : x = \frac{9}{4}$ 的距离的比是常数 $\frac{4}{3}$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、直线 $l : y = k x + b$ 与 $M$ 的轨迹交于A，B两点，AB的中点坐标为 $(6, 2)$ ，求直线 $l$ 的方程.

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20、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (1, - \frac{\sqrt{3}}{2}), B (\frac{\sqrt{2}}{2} a, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点 $(- 1, 0)$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，求线段 $M N$ 中点 $P$ 的坐标．

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