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相关试卷

1、向量 $\vec{a} = (x, 1, 1), \vec{b} = (1, y, 1), \vec{c} = (2, - 4, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $|3 \vec{a} - \vec{b}| =$ ．

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2、清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若 $A B = 2$ ，则给出的说法中正确的是（）

A、该几何体的表面积为 $18 \sqrt{3}$ B、该几何体的体积为4 C、二面角 $B - E F - H$ 的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ D、若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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3、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，长轴长为6， $F, F^{'}$ 分别是椭圆的左、右焦点， $A (1, 1)$ 是一个定点， $P$ 是椭圆 $E$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、焦距为4 B、椭圆 $E$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ C、 $|A F^{'}| = \sqrt{2}$ D、 $|P A| + |P F|$ 的最大值为 $6 + \sqrt{2}$

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4、数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与 $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 相关的代数问题，可以转化为点 $A (x, y)$ 与点 $B (a, b)$ 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 6 x + 10} + \sqrt{x^{2} - 6 x + 10}$ ，下列结论正确的是（）

A、方程 $f (x) = 8$ 有两个解 B、方程 $f (x) = 8$ 无解 C、 $f (x)$ 的最小值为 $2 \sqrt{7}$ D、 $f (x)$ 的最大值为 $6 \sqrt{7}$

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5、19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ ．若圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - m)}^{2} = 16$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 $m$ 的值为（）

A、 $\pm 3$ B、 $\pm 4$ C、 $\pm 5$ D、 $\pm 3 \sqrt{3}$

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6、下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角是钝角 B、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 也是空间的一个基底 C、直线 $l$ 经过点 $A (2, 3, 1), B (0, 1, 0)$ ，则 $P (\frac{3}{2}, 3, 2)$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (0, 1, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{n} = (1, - 1, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$

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7、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{5} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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8、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $N$ 在 $\vec{O A}$ 上，且 $O N = N A$ ，点 $M$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{N M} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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9、过点 $(1, 2)$ 且垂直于直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 的直线方程为（）

A、 $2 x + y - 4 = 0$ B、 $2 x - y + 4 = 0$ C、 $2 x + y - 8 = 0$ D、 $x - 2 y + 4 = 0$

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10、已知直线过点 $A (1, 0), B (0, \sqrt{3})$ ，则直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，M为 $A C$ 中点， $A B = B C = A C = 2$ ， $P A = P C = \sqrt{2}$ ， $P B = P D = 2$ .

(1)、求证： $P M ⊥ M D$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积的最大值；

(3)、设二面角 $A - P D - C$ 的大小为 $θ$ ，若 $\sin θ = \frac{4}{17} \sqrt{17}$ ，设二面角 $A - C D - P$ 的大小为 $φ$ ，求 $\sin^{2} φ$ 的值.

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12、已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足对任意 $x \in [0, 2]$ ，均有 $f (x) = - x^{2} + a x$ ，且对任意 $x \in R$ ，有 $f (2 - x) = f (x)$ .

(1)、求a的值；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = t$ （t为常数）在 $x \in (0, 10)$ 上的实根从小到大排列分别为 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ ，求 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{10}$ 的值；

(3)、设关于x的方程 $f (x) = \frac{1}{10} x$ 有k个不同正实根，将其从小到大排列分别为 $x_{1}^{'}, x_{2}^{'}, \cdot \cdot \cdot, x_{k}^{'}$ ，求 $x_{1}^{'} + x_{2}^{'} + x_{3}^{'} + \cdot \cdot \cdot + x_{k}^{'}$ 的值.

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13、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利，

(1)、求田忌获胜的概率；

(2)、若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率.

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14、如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $C D E F$ ， $D C ∥ E F$ ， $A B ⊥ B E$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B = D C$ .

(1)、证明： $A B ∥ D C$ ；

(2)、证明：平面 $A B F E ⊥$ 平面 $B C E$ .

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15、如图，在三角形 $△ A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c， $A B = 2$ ，点D在 $B C$ 上，且 $∠ C A D = \frac{π}{6}$ ， $2 a \cos B \cos C + 2 c \cos A \cos B - b = 0$ .

(1)、求B的大小；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 的长.

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16、在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2} A C$ ， $A D = 2 D B$ ， $A E = 3 E C$ ， $C D$ 与 $B E$ 交于 $F$ ，若 $\vec{A F} \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $∠ B A C =$ .

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17、实心圆锥 $P O$ 的底面直径为6，高为4，过 $P O$ 中点 $O^{'}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，如图所示，则剩下几何体的表面积是.

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18、一个样本容量为 $4$ 的样本的平均数为 $15$ ，现样本加入新数 $5$ ，此时样本数据的和为.

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19、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ ， O是 $B C_{1}$ 中点，则（）

A、 $\vec{A O} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ B、线段 $A_{1} C$ 的长度为 $\sqrt{3}$ C、直线 $A_{1} C$ 与 $B B_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{2}$ D、直线 $A_{1} C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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20、已知函数 $f (x) = 2 \cos (3 x + φ) (- π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{4}$ B、点 $A$ 的坐标为 $(\frac{π}{3}, 0)$ C、当 $x \in (0, \frac{π}{4})$ 时，函数 $f (x)$ 的值域是 $(0, 2]$ D、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数

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