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相关试卷

1、为考察某种药物A对预防疾病B的效果，某研究团队随机抽取了400只动物进行试验，得到如下列联表：
未患病
患病
未服用
100
90
服用
150
60

(1)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效？

(2)、现从参与试验且患病的150只动物中，按是否服用药物 $A$ 采用分层抽样的方法抽取5只动物，再从这5只动物中随机抽取2只动物进一步试验，记抽取的2只动物中服用药物 $A$ 的只数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ ）．
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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2、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(x - \frac{2}{x})}^{8}, x < 0, \\ - \sqrt{x}, x \geq 0. \end{array}$

(1)、当 $x < 0$ 时，求 $f (x)$ 表达式的展开式中含有 $x^{2}$ 项的系数；

(2)、当 $x > 0$ 时，求 $f (f (x))$ 表达式的展开式中的常数项．

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3、如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为 $X$ ，则 $D (X) =$ ，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“ $X = 2$ ”的概率是．

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4、函数 $f (x) = x^{3} - |3 x - 2|$ 的零点个数为．

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5、若 $C_{14}^{m} = C_{14}^{m + 2}$ ，则 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{m}^{2}$ 的值为．

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6、设随机变量 $X \sim N (0, 1), f (x) = P (X \leq x)$ ，则（）

A、 $f (- x) = f (x)$ B、 $2 f (2) > f (1) + f (3)$ C、 $P (|X| \leq x) = 1 - 2 f (x)$ D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增

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7、设函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则（）

A、 $f (3) > f (5)$ B、 $f (e^{a} + 4) < f (\frac{4 e^{a} + 2}{e^{a} + 1})$ C、 $f (x) - f (\frac{e^{2}}{x}) \geq 0$ D、 $f (x) + f (\frac{1}{x}) \leq 0$

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8、已知 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a b > b^{2}$ B、 $a + b > a b$ C、 $\sqrt{a} - \sqrt{b} > {log}_{2} b - {log}_{2} a$ D、 $\sqrt{1 + a^{2}} - \sqrt{1 + b^{2}} < a - b$

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9、在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ ．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（）

A、 $1 - α + β$ B、 $1 + α - β$ C、 $\frac{1}{2} (1 - α + β)$ D、 $\frac{1}{2} (1 + α - β)$

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10、已知 $a > 0, b > 0, a + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4 b}{a b + 2}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、5

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11、从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（）

A、48 B、60 C、72 D、100

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12、“ $α > 0$ ”是“函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、设集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x |2^{x} < 8\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用 $X$ 表示停止时摸出红球的次数.
①求 $X$ 的分布列和数学期望；
②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率.
（2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.）

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15、（1）求函数 $f (x) = x \ln x$ 在区间 $[\frac{1}{3}, 3]$ 上的值域；
（2）设函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x - \frac{1}{2} - x \ln x$ .
①求证：当 $a = 0$ 时， $g (x)$ 有唯一零点；
② $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别是 $g (x)$ 的两个不相等的极值点，求证： $x_{1} + x_{2} > a + 2$ .

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = \frac{\sqrt{3}}{3} c \sin A + a \cos C$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点，满足 $B D = 2 C D$ ，且 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积最大值.

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17、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $A C ⊥ B C$ ， $△ A B A_{1}$ 是边长为2的等边三角形.

(1)、求点 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离；

(2)、求二面角 $A - A_{1} B - C$ 的正弦值.

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18、如图， $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $P$ 是抛物线 $C$ 在第一象限上的一点， $∠ O F P = 60 °$ ， $| P F | = 2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、求抛物线 $C$ 在点 $P$ 处的切线方程.

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19、数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列 $\{α_{k}^{(0)}\}$ 经过 $n$ 次扩充后的新数列记为 $\{α_{k}^{(n)}\}$ ，项数记为 $P_{n}$ ，所有项的和记为 $S_{n}$ .现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列 ${a, b, c}$ 经过一次扩充后得到数列 $\{a_{k}^{(1)}\} = {a, a + b, b, b + c, c}$ ， $P_{1} = 5$ ， $S_{1} = 2 a + 3 b + 2 c$ .已知初始数列 $\{a_{k}^{(0)}\} = {- 3, 1, 3}$ ，则 $P_{n} =$ ； $S_{n} =$ .

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(- 1, 1)$ ，点 $Q$ 为圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上的动点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的最小值为.

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	未患病	患病
未服用	100	90
服用	150	60

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828