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相关试卷

1、在组合恒等式的证明中，构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法，该方法体现了数学的简洁美，我们将通过如下的例子感受其妙处所在．

(1)、对于 $n$ 元一次方程 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = k$ ，试求其正整数解的个数；

(2)、对于 $n$ 元一次方程组 $\{\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} + \dots + x_{m} = p + 1 \\ x_{m + 1} + x_{m + 2} + \dots + x_{n} = q + 1 \end{array}$ ，试求其非负整数解的个数；

(3)、证明： $C_{p + q + n + 1}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{p + k}^{k} C_{q + n - k}^{n - k}$ （可不使用组合分析法证明）．
注： $\{\begin{array}{l} x_{1} = a \\ x_{2} = b \end{array}$ 与 $\{\begin{array}{l} x_{1} = b \\ x_{2} = a \end{array}$ 可视为二元一次方程的两组不同解．

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2、在 ${(1 + x)}^{5} {(1 + y)}^{3}$ 的展开式中，记 $x^{m} y^{n}$ 项的系数为 $f (m, n)$ ，则 $f (3, 0) + f (2, 1) =$ ．

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3、已知二项式 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{8}$ ，则下列结论正确的是（）

A、第5项的二项式系数最大 B、所有项的系数之和为1 C、有且仅有第6项的系数的绝对值最大 D、展开式中共有4项有理项

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4、骰子是质地均匀的正方体，各面分别标有数字1，2，3，4，5，6．现在掷一枚骰子两次，记事件 $A =$ “两次点数的最小值为3”，事件 $B =$ “两次点数的最大值为6”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{3}{8}$

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5、在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考 $A, B, C$ 三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（）

A、9种 B、36种 C、38种 D、45种

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6、设函数f（x）在R上可导，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且函数 $y = {(x - 1)}^{3} f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、函数f（x）有极大值f(-3)和f（3） B、函数f（x）有极小值f(-3)和f（3） C、函数f（x）有极小值f（3）和极大值f(- 3) D、函数f （x）有极小值f(-3)和极大值f（3）

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7、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{5} + a_{7} + a_{9} = 27$ ，则 $2 a_{8} - a_{9}$ 的值为（）

A、18 B、15 C、12 D、9

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8、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个夹角为 $60 °$ 的单位向量， $\vec{O A} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{O B} =$ $5 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ．

(1)、求 $|\vec{A B}|$ ；

(2)、设 $\vec{O C} = t \vec{e_{1}}$ ，是否存在实数t，使得 $△ A B C$ 是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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9、已知 $|\overset{⃑}{a}| = 3$ ， $|\overset{⃑}{b}| = 4$ ，且 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $120 °$ .
（1）求 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ 的值；
（2）若 $(2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}) ⊥ (\overset{⃑}{a} + k \overset{⃑}{b})$ ，求实数 $k$ 的值.

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10、知复数 $z_{1} = 5 + 10 i$ ，复数 $z_{2}$ 在复平面内对应的点为 $Z (3, - 4)$

(1)、若复数 $z_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n - 1 = 0$ 的一个根， $m ､ n \in R$ ，求 $m + n$ 的值：

(2)、若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}}$ ，求复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ .

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11、设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，称 $y = [x]$ 为取整函数．例如： $[1] = 1$ ， $[0.5] = 0$ ， $[- 0.5] = - 1.$ 已知函数 $f (x) = 2^{[\sin x]} + 2^{[cos x]}$ ，则 $f (x)$ 的值域为．

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12、将边长为20的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $A^{'} C^{'} =$ .

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13、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $2 \vec{a} - \vec{b} = (- 1, 0)$ ，则 $| \vec{b} | =$ ．

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14、在复平面内，复数 $z = i - 2$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|z|$ 等于.

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15、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 3$ B、 $φ = \frac{π}{4}$ C、直线 $x = \frac{π}{3}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、将 $f (x)$ 图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 $y = - 2 \sin 3 x$ 的图象

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16、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $x + 9 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、14 B、16 C、18 D、20

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17、将一个半径为 $2 cm$ 的金属球熔化后，先浇铸成 $6$ 个半径为 $1 cm$ 的小球，再把剩余材料铸成 $1$ 个正方体，则该正方体的棱长大约为（）

A、 $1.5 cm$ B、 $2 cm$ C、 $2.5 cm$ D、 $3 cm$

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18、函数 $f (x) = \frac{(1 + x^{2}) sin x}{1 - x^{2}}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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19、下列命题中为真命题的是（）

A、有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B、棱柱的每个面都是平行四边形 C、正四棱柱是平行六面体 D、长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体

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20、把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为 $θ_{1} ℃$ ，空气的温度为 $θ_{0} ℃$ ，那么 $t min$ 后物体的温度 $θ$ （单位：℃）可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 求得，其中 $k$ 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为 $20 ℃$ ，把水放在空气中冷却，水的温度从 $100 ℃$ 冷却到 $60 ℃$ 需要 $30 min$ .

(1)、求 $e^{- k}$ ；

(2)、热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为 $80 ℃$ ，等待水温降温到 $50 ℃$ ，至少需要等待多少 $min$ ？

(3)、某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于 $35 ℃$ ，电热水壶不加热，水的温度冷却到 $35 ℃$ ，电热水壶开始加热，直至水的温度达到 $80 ℃$ 才停止加热，且水的温度从 $35 ℃$ 加热到 $80 ℃$ 需要 $8 min$ .现该电热水壶中水的温度为 $80 ℃$ ，经过 $98 min$ 后，此时壶中水的温度是多少？

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