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相关试卷

1、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ A P C$ ，连接 $P D, P B$ 构成四棱锥 $P - A B C D$ ．

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - B$ 的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ ．
①求 $P B$ 的长；
②设 $P$ 在平面 $A B C D$ 上的射影为 $Q$ ，直线 $C Q$ 与 $A D$ 交于 $E$ 点， $F$ 为 $P B$ 的中点，证明： $E F //$ 平面 $P C D$ ．

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2、2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的 $30.4 %$ ，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图.
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码 $x$
1
2
3
4
5
我国全口径发电量 $y$ （单位：万亿千瓦时）
8.52
8.85
9.46
10.09
10.58

(1)、由散点图看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请用相关系数加以说明；

(2)、建立 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量.
参考数据： $\bar{y} = 9.5, \sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 2.9, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 147.86, \sqrt{29} \approx 5.39$ .
参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a cos B + b cos A = 2 c cos C$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 2 b, c = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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4、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}, B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，若函数 $f : A \to B$ 满足： $\forall x_{1}, x_{2} \in A$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq 2$ ，则符合条件的函数共有个.

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5、已知圆台的底面半径分别为1和2，高为 $\sqrt{3}$ ，底面圆周均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为.

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6、已知 $a, b, c$ 成等比数列，且 $a < b < c$ ，若 $a + b + c = 14, a b c = 64$ ，则 $a =$ .

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7、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (x + 4) = 0, f (2 x + 2)$ 是偶函数， $f (1) = 1$ ，则（）

A、 $f (- 3) = - 1$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 D、 $\sum_{k = 1}^{100} k f (2 k - 1) = - 100$

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8、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{m + 2} = 1 (m > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为双曲线上一点，若 $A (3, 2)$ ， $B (2, 3)$ ， $C (- 2, 3)$ ， $D (- 2, - 3)$ 中有且仅有 $3$ 个点在双曲线上，则（）

A、双曲线的渐近线斜率为 $\pm \sqrt{3}$ B、 $|C F_{1}| + |C F_{2}| = 2$ C、 $△ B D F_{1}$ 的面积为 $6$ D、 $|A P| + |P F_{2}|$ 的最小值为 $\sqrt{29} - 2$

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9、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $(2 \vec{a} + \vec{b})$ $/ /$ $(\vec{a} - 2 \vec{b})$ D、 $< \vec{a}, \vec{a} - \vec{b} > = \frac{π}{4}$

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10、若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - m (m + 2) x + 1$ 在区间 $(- 7, 7)$ 上有最大值，则正整数 $m$ 的值有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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11、已知 $α \in (0, \frac{π}{2}), sin α - cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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12、若圆 $C$ 过点 $M (0, 2)$ ，且与 $x$ 轴相切，则圆心 $C$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} = 4 y$ B、 $x^{2} = 8 y$ C、 $x^{2} = 4 (1 - y)$ D、 $x^{2} = 4 (y - 1)$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n} a_{n + 1} = 2 a_{n} - 2 a_{n + 1}$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{9}$

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14、某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生､女生的平均身高分别为 $175 cm$ 和 $165 cm$ ，则估计该校高三年级学生的平均身高为（）

A、 $169 cm$ B、 $170 cm$ C、 $171 cm$ D、 $172 cm$

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15、已知点 $A (\frac{π}{4}, 0), B (\frac{3 π}{4}, 0)$ 为函数 $f (x) = cos (ω x + φ)$ 图象上的两个相邻对称中心，则 $f (x)$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $2 π$

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16、设复数z满足 $z (1 + i) = 2$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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17、已知集合 $A = \{0, 1, 2\}, B = \{x |2^{x} < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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18、已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{a}{2} x^{2} + \frac{1}{2}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在定义域上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时．
（i）若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ．求证： $x_{1} + x_{2} > 2$ ；
（ii）求证： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \ln (n + 1) - \frac{n}{2 (n + 1)} (n \in N^{*})$

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19、某设计图案由曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 构成，曲线 $C_{1}$ 是以原点O为中心， $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 为焦点的椭圆，曲线 $C_{2}$ 是满足 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ 的动点P的轨迹，如图所示， $A (x_{0}, y_{0}) (y_{0} > 0)$ 是两条曲线的一个交点，已知 $A F_{1}$ 恰好与曲线 $C_{2}$ 相切．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的方程；

(2)、直线 $A F_{1}$ 与曲线 $C_{1}$ 的另一交点为 $A_{1}$ ，直线 $A F_{2}$ 与曲线 $C_{2}$ 另一交点为 $A_{2}$ ，求 $△ A A_{1} A_{2}$ 的面积；

(3)、作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线 $l$ ，当直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $B, E$ 两点，与曲线 $C_{2}$ 交于 $C, D$ 两点时， $E$ 点关于原点 $O$ 的对称点为 $F$ ，若 $G$ 为 $C D$ 的中点，点 $Q (\frac{5}{3}, 0)$ ，记直线 $Q G$ 和直线 $B F$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，问 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

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20、三棱锥 $P - A B C$ 中，已知M是PC的中点． $A M = B M = \frac{1}{2} P C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面PBC， $P B = 4, B C = 2$ ．

(1)、证明： $A P ⊥ B C$ ；

(2)、当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ 时，
（i）求PA的长；
（ii）求三棱锥 $M - A B C$ 外接球的表面积．

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