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相关试卷

1、为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题1、问题2两道题，其中问题1为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，问题2为必答题，甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，乙、丙能正确回答每道题的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响．

(1)、求问题1回答正确的概率；

(2)、记能正确回答问题2的人数为X，求X的分布列和数学期望．

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2、已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \ln x$ ，若正实数a， $b (a < b)$ 满足 $f (a) = f (b)$ ，则 $3 a + 4 b$ 的取值范围是．

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3、如图，等边 $△ A B C$ 边长为2，点 $D$ 、 $E$ 分别为 $A B$ 、 $B C$ 的中点，连接 $D E$ 并延长至点 $F$ ，使得 $|D E| = 3 |E F|$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B C} =$ ．

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4、已知 ${(x + a)}^{8} (a \in R)$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $- 56$ ，则 $a =$ ．

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5、已知a、b、c分别为 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边，且S为 $△ A B C$ 的面积，R为 $△ A B C$ 外接圆的半径，则下列说法正确的是（）

A、 $a b c = 4 R S$ B、边BC上的中线 $m_{a} = \sqrt{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}$ C、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4 \sqrt{3} S$ D、 $\frac{b}{c \sin A} + \frac{1}{\tan B}$ 的最小值为 $\sqrt{3}$

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6、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F$ ， $F$ 到准线 $l$ 的距离为 $2$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ （ $A$ 在第一象限）两点，过点 $A$ 作准线 $l$ 的垂线，垂足为 $N$ ，直线 $N F$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，则（）

A、抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ B、若 $|A F| = 2 |O F|$ ，则 $S_{△ A O F} = 1$ C、若 $|A N| = 4$ ，则 $|A M| = \sqrt{14}$ D、若 $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{F A}$ ，则直线AB的方程为 $y = \sqrt{3} (x - 1)$

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7、关于函数 $f (x) = \frac{\sin x}{\cos x + 1}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $\{x | x \neq π + 2 k π, k \in Z\}$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $\frac{π}{2}$ 是 $f (x)$ 的一个零点 D、 $2π$ 是 $f (x)$ 的一个周期

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8、如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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9、已知 $f (x) = x^{3} + \sin x - \frac{1}{2}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{5} + a_{8} = a_{7}$ ，则 $f (a_{1}) + f (a_{2}) + \dots + f (a_{11}) =$ （）

A、0 B、 $- 11$ C、11 D、 $- \frac{11}{2}$

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10、在一次数学考试中，有一道满分为15分的立体几何题．某学习小组6名同学这题的得分为 $x_{i}$ $(x_{i} \in N, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ ，且有 $x_{1} < x_{2} < x_{3} = x_{4} = x_{5} < x_{6}$ ，已知这6名同学的80%分位数和平均分都是12分，则该6名同学答题得分的极差为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11、若对任意的正实数x、y满足 $2 x + y = 1$ ，不等式 $m^{2} - 2 m < \frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $\{m| - 2 < m < 4\}$ B、 $\{m| m < - 4$ 或 $m > 2\}$ C、 $\{m| m < - 2$ 或 $m > 4\}$ D、 $\{m| - 4 < m < 2\}$

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12、过点 $(0, 1)$ 且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线l交圆 $x^{2} + y^{2} - 6 y - 8 = 0$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，则弦 $A B$ 的长为（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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13、已知函数 $f (x) = \log_{a} | x |$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若 $f (2) = 4$ ，则 $f (x)$ 的递增区间是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0]$

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14、在 $△ A B C$ 中，“ $A = \frac{π}{3}$ ”是“ $\cos A = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知集合 $P = \{x| x > 0\}$ ， $Q = \{x| \log_{2} x > 0\}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $\{x| x > 0\}$ B、 $\{x| x > 1\}$ C、 $\{x| x > 2\}$ D、 $\{x| 0 < x < 1\}$

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16、设各项为整数的等差数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 的公差 $d > 0$ ，首项 $a_{1} = 1$ ．已知从中能抽取 $k (k \geq 3)$ 个项并按原顺序排成公比为q的等比数列 $a_{m_{1}}$ ， $a_{m_{2}}$ ， …， $a_{m_{k}}$ ，其中 $m_{1} = 1$ ， $2 \leq m_{2} < m_{3} < \dots < m_{k} \leq n$ ．

(1)、若从等差数列1，3，5，…， $2 n - 1$ 中能抽取3个项并按原顺序排成等比数列，求 $2 n - 1$ 的最小值；

(2)、求证： $n \geq 2^{k - 1}$ ；

(3)、请举出一个满足 $n = 2^{k - 1}$ 的例子．

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17、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，点M为动直线 $y = \frac{3}{2} x + m$ 被椭圆截得的弦 $A B$ 的中点．

(1)、求证：动点M在定直线上，并求此定直线l的方程；

(2)、设直线l与该椭圆相交于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - x ln x + b (a, b \in R)$ ．

(1)、求证： $x = 1$ 不是函数 $f (x)$ 的极值点；

(2)、设 $g (x) = f^{'} (x)$ ， $x \in (0,e]$ ，是否存在a，使得函数 $g (x)$ 的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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19、某中学的两位学生A与B为研究高三年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，对该中学的高三学生进行了调查．A同学调查了所有高三学生，并整理得到等高堆积条形图，如图（一）；B同学从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，也整理得到列联表，如表（一）.
表（一）单位：人
性别
身高
合计
低于170cm
不低于170cm
女
14
7
21
男
8
11
19
合计
22
18
40

(1)、请根据A同学的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果结论是有关联，解释它们之间如何相互影响；

(2)、根据B同学的列联表，依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义；
（参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，临界值 $x_{0.05} = 3.841$ ）

(3)、请比较（1）和（2）的统计结论是否一致，说明原因.

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20、 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，延长 $A B$ 到点 $D$ ，使 $A D = B C$ ，连接 $C D$ ．若 $A = 100 °$ ，则 $∠ B C D$ 的大小为.

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性别	身高		合计
性别	低于170cm	不低于170cm	合计
女	14	7	21
男	8	11	19
合计	22	18	40