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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x - 1$ （ $e$ 为自然对数的底数）

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 恰有一个正零点，求实数a的取值范围；

(3)、对于任意的正整数k，且 $a = \frac{1}{2} + \frac{1}{k^{2} + k}$ 时，设 $f (x)$ 的正零点为 $x_{k}$ ，求证：对于任意的正整数n，都有 $\frac{2 n}{n + 2} < \sum_{k = 1}^{n} x_{k} < \frac{6 n}{n + 1}$ .

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{4}$ 的等比中项，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = q^{n}$ （其中 $q > 0$ ，且 $q \neq 1$ ）.

(1)、求 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、设集合 $U_{n} = \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ，对于 $U_{n}$ 的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y.
（ⅰ）设 $T_{n}$ 为 $U_{n}$ 所有非空子集对应的 $a_{x}$ 之和，求证： $T_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$ ；
（ⅱ）设 $c_{n}$ 为 $U_{n}$ 所有非空子集对应的 $a_{x} \cdot b_{y}$ 之和，且 $q \neq \frac{1}{2}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式.

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的焦距为4，且经过点 $(2, \frac{5}{3})$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设A为椭圆C的右顶点，不过点A的直线l与椭圆C相交于不同的两点P、Q，直线AP、AQ分别交y轴于M、N，若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = - 1$ ， $△ O P Q$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{2}}{7}$ ，求直线l的方程.

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4、如图，在四棱锥P-ABCD中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $A B ⊥ A D$ .已知 $P A = A B = B C = 2$ ， $A D = 1$ .

(1)、若 $M$ 为棱 $P C$ 的中点，求证： $D M //$ 平面PAB；

(2)、求平面 $P C D$ 与平面 $P B D$ 夹角的余弦值；

(3)、求点A到平面 $P C D$ 的距离.

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 $\cos B = \frac{1}{3}$ ， $b = 6$ ， $\frac{a}{c} = \frac{2}{3}$ .

(1)、求a和c的值；

(2)、求 $\sin A$ 的值；

(3)、求 $\sin (2 A - B)$ 的值.

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6、若a， $b \in R$ ，若对任意实数x，都有 $x^{2} + (a - b) x + 1 \geq |a x - b|$ 恒成立，则 $a + b$ 的最大值为.

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7、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = 60 °$ ，设点P为平面内一动点，满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P C} \cdot \vec{P D} = \frac{3}{2}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C} =$ ； $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 的取值范围为.

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8、天津的“海河游船”是领略津城魅力的经典项目.为回馈游客，游船码头推出了“幸运抽票”活动，规则如下：第一步：游客先从装有3个红球和2个白球（球除颜色外完全相同）的抽奖箱中，随机抽取2个球.若抽出的2个球颜色相同，则获得“A组票箱”；若抽出的2个球颜色不同，则获得“B组票箱”.第二步：“A组票箱”内装有2张“夜游票”和3张“日游票”；“B组票箱”内装有4张“夜游票”和1张“日游票”.游客从获得的票箱中，随机抽取2张票.若某游客在第一步获得“A组票箱”的概率为；某游客完整参与该活动，最终恰好抽到1张“夜游票”的概率为.

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9、已知圆心为C的圆经过 $A (1, 1)$ ， $B (2, - 2)$ ，且圆心C在直线 $l : x - y + 1 = 0$ 上，过点 $P (3, 6)$ 作圆C的一条切线，则切线长为.

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10、在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中， $x^{- \frac{1}{2}}$ 项的系数为.

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11、已知 $i$ 是虚数单位，化简 $\frac{23 + 14 i}{3 + 4 i}$ 的结果为.

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12、双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点依次为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，以点 $F_{2}$ 为焦点的抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ），直线l为双曲线 $C_{1}$ 在第一、三象限的渐近线，过x轴正半轴上任意一点 $T (t, 0)$ 做垂直于x轴的直线，分别交渐近线l于点A，交抛物线记 $C_{2}$ 于点M（A，M均在第一象限），若 ${|O M|}^{2} - {|O A|}^{2}$ 的最大值 $\frac{4}{5} {|F_{1} F_{2}|}^{2}$ ，则双曲线 $C_{1}$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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13、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）， $f (x)$ 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且关于点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 对称，若关于x的方程 $f (x) = m$ 在区间 $[0, π]$ 上有且只有两个不同的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $\cos (x_{1} + x_{2})$ 的所有可能取值构成的集合为（）

A、 $\{- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\}$ B、 $\{- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\}$ C、 $\{\frac{1}{2}\}$ D、 $\{\frac{\sqrt{3}}{2}\}$

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14、今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底 $I J$ 长4米， $B I$ 腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（）

A、168 B、192 C、216 D、240

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15、某研究小组为了探究变量x与y之间的线性相关关系，收集了5组数据 $(x_{i}, y_{i})$ ，（ $i = 1, 2, 3, 4, 5$ ），并绘制成如图所示的散点图（点A，B，C，D，E）.经计算，这5组数据的样本相关系数为r.若去掉点 $E (10, 2)$ 后，剩余4组数据的样本相关系数为 $r^{'}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < r < r^{'} < 1$ B、 $r^{'} < r < 0$ C、 $r < 1 < r^{'}$ D、 $0 < r^{'} < r < 1$

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16、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} + |a_{n}| = 2$ ，那么使这个数列前n项的和 $S_{n} = 2026$ 成立的正整数n的最小值为（）

A、2025 B、2026 C、2027 D、2028

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17、设 $a = {1.5}^{1.1}$ ， $b = {1.1}^{1.5}$ ， $c = \log_{1.5} 1.1$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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18、已知函数 $f (x)$ 的部分图象如下图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $\frac{e^{|x|} \cos x}{x}$ B、 $\frac{e^{|x|} \sin x}{x}$ C、 $\frac{e^{|x|} \sin x}{x^{2}}$ D、 $\frac{e^{|x|} \cos x}{x^{2}}$

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19、已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $A = \{1, 3, 5\}$ ， $B = \{1, 2, 3\}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 $\{1, 2, 3, 5\}$ B、 $\{2, 4, 5, 6\}$ C、 $\{1, 3\}$ D、 $\{4, 6\}$

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20、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正整数，无穷数列 $\{b_{n}\}$ 满足以下性质：
① $b_{1} = 0 ， b_{2} = 1$ ；
② $b_{n + 2} = \{\begin{array}{l} a_{n + 1} b_{n + 1} + b_{n} ， a_{n} = 1 ， \\ a_{n + 1} b_{n + 1} - b_{n} ， a_{n} > 1 ． \end{array}$

(1)、若 $a_{1} = 2 ， a_{2} = 2 ， a_{3} = 1 ， b_{5} = 5$ ，求 $b_{3} ， b_{4} ， a_{4}$ ；

(2)、证明： $b_{5} \geq 1$ ；

(3)、是否存在大于1的正整数 $n$ ，使得 $b_{n} < 1$ 成立？说明理由．

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