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相关试卷

1、已知圆 $F_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，圆 $F_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = {(4 - r)}^{2}$ ， $0 < r < 4$ ．当r变化时，圆 $F_{1}$ 与圆 $F_{2}$ 的交点P的轨迹为曲线C，
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点 $P (1, \frac{3}{2})$ ，过曲线C右焦点 $F_{2}$ 的直线交曲线C于A、B两点，与直线 $x = m$ 交于点D，是否存在实数m， $λ$ ，使得 $k_{P A} + k_{P B} = λ k_{P D}$ 成立，若存在，求出m， $λ$ ；若不存在，请说明理由．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，过E作EF⊥PB，交PB于点F．

(1)、证明：PB⊥平面EFD；

(2)、若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求AD的长度.

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3、已知函数 $f (x) = e^{x} (\ln x - a)$ ．
（1）若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
（2）若 $a > 1$ ，求证：函数 $f (x)$ 存在极小值；
（3）若对任意的实数 $x \in [1, + \infty)$ ， $f (x) \geq - 1$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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4、离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
x
0.10
y
0.20
则 $P (\frac{5}{2} < x < \frac{16}{3})$ 等于.

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5、甲罐中有 $5$ 个红球， $5$ 个白球，乙罐中有 $3$ 个红球， $7$ 个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球． $A_{1}$ 表示事件“从甲罐取出的球是红球”， $A_{2}$ 表示事件“从甲罐取出的球是白球”， $B$ 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1}, B$ 为互斥事件 B、 $P (B |A_{1}) = \frac{4}{11}$ C、 $P (A_{2} |B) = \frac{4}{7}$ D、 $P (B) = \frac{7}{22}$

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6、若 $x^{5} = a_{0} + a_{1} (1 + x) + a_{2} {(1 + x)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{5} {(1 + x)}^{5}$ ，其中 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{5}$ 为实数，则（）

A、 $a_{0} = 0$ B、 $a_{3} = 10$ C、 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{5} = 1$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 16$

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7、将曲线 $C_{1} : y = \sin x$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2} : y = f (x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $f (\frac{13 π}{6} - x) = f (x)$ C、 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上有4个零点 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ 上单调递增

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8、已知函数 $f (x) = x + [x]$ （其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数），则关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{5 x}{2} - 1$ 的所有实数根之和为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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9、已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{9}$ D、 $\frac{8}{27}$

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10、已知集合 $A = \{- 1, 1\}$ ， $B = \{x | |x + \frac{1}{2}| < \frac{3}{2}, x \in Z\}$ ，则 $A \cup B =$

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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11、已知函数 $f (x) = (2 x^{2} - 3 x) e^{x}, g (x) = a ln x (a \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，设函数 $h (x) = \frac{f^{'} (x)}{2 x + 3} - g (x)$ 有且只有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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12、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = A C = 1$ ， $A B ⊥ A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $C C_{1}$ ， $B C$ 的中点，动点 $P$ 在直线 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} B_{1}}$ .

(1)、是否存在点 $P$ ，使得 $A M ⊥ P N$ ？若存在，试确定点 $P$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(2)、当 $λ$ 取何值时，直线 $P N$ 与平面 $A M N$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ；

(3)、求动点 $P$ 到直线 $M N$ 的距离的取值范围.

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13、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $\sqrt{3} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = 2 a c sin B$ ，求：

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $B C$ 边中线 $A D$ 长的最小值.

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14、2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间 $x$ （单位： $s$ ）与位移 $y$ （单位： $m$ ）之间的关系，得到如下表数据：
$x$
2.8
2.9
3
3.1
3.2
$y$
24
25
29
32
34
画出散点图观察可得 $x$ 与 $y$ 之间近似为线性相关关系.

(1)、求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、记 ${\hat{e}}_{i} = y_{i} - {\hat{y}}_{i} = y_{i} - \hat{b} x_{i} - \hat{a}$ ，其中 $y_{i}$ 为观测值， ${\hat{y}}_{i}$ 为预测值， ${\hat{e}}_{i}$ 为对应 $(x_{i}, y_{i})$ 的残差，求前3项残差的和.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 45.1, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 434.7$ ，参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x^{2}}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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15、若不等式 $a x^{2} + 5 x - 2 > 0$ 的解集是 $\{x | \frac{1}{2} < x < 2\}$ ，
（1）求a的值；
（2）求不等式 $a x^{2} - 5 x + a^{2} - 1 > 0$ 的解集；
（3）求不等式 $\frac{a x + 1}{x + 2} \leq 0$ 的解集.

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16、不等式 $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ 的解集为.

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17、学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，有3人同时参加参加径赛和田赛，有3人同时参加径赛和球类比赛，没有人同时参加三项比赛.只参加球类比赛的人数为.

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18、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x - {cos}^{2} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(\frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{4})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, - \frac{π}{4})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ 上单调递增

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19、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$ 的两条渐近线与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线分别交于 $P$ ， $Q$ 两点， $B$ 为双曲线的右顶点，且 $△ B P Q$ 为正三角形．设点 $M$ 为抛物线上的动点，点 $M$ 在 $y$ 轴上的投影为点 $N$ ，点 $A (4, 3 \sqrt{5})$ ，则 $|M A| + |M N|$ 的最小值为（）

A、5 B、4 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5} - 2$

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 一条渐近线的斜率为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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X	1	2	3	4	5	6
P	0.20	0.10	x	0.10	y	0.20

$x$	2.8	2.9	3	3.1	3.2
$y$	24	25	29	32	34