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相关试卷

1、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $B C / / A D$ ， $B C = \frac{1}{2} A D$ ，面 $P B C \cap$ 面 $P A D = l$ ， $E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求证： $l / / A D$ ；

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2、设复数 $z_{1} = m^{2} - m - 2 + (m - 2) i$ ， $z_{2} = n + (n - 2) i$ ， $z_{3} = m + n i$ $(m, n \in R)$ .

(1)、若 $z_{1}$ 是纯虚数， $z_{2}$ 为实数，求 $|z_{3}|$ ；

(2)、若 $m = 3$ ，设 $z_{1} + i = (a + b i) \cdot (\bar{z_{1}} - i)$ $(a, b \in R)$ ，求 $a + b$ 的值.

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3、已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = \sqrt{3}, A A_{1} = 2$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

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4、已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $\frac{2 - i}{i (1 + i)} =$

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5、如图，在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，各棱长均为 $2, ∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、当点M在棱 $B B_{1}$ 上运动时，则直线 $M A_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的最大值为 $\frac{π}{3}$ C、当点M在棱 $B B_{1}$ 上运动时， $| M D | + |M A_{1}|$ 最小值为 $2 \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}$ D、三棱锥 $A_{1} - A B C$ 外接球的表面积为 $\frac{28}{3} π$

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，下列说法不正确的是（）

A、若 $a = b = c = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 2$ B、若 $A = \frac{π}{6}$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，则 $b = \sqrt{3} \pm 1$ C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 D、若 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，满足 $△ A B C$ 有解，则 $0 < A \leq \frac{π}{4}$

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ， $\vec{c} = (3, 1)$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $|\vec{a}| = \sqrt{5}$ B、 $\vec{a}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影向量为 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 垂直 D、若 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为锐角，则 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, 1)$

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8、如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 $P$ 出发，绕圆锥面爬行一周后回到点 $P$ 处，若该小虫爬行的最短路程为 $2 \sqrt{3}$ ，则这个圆锥的体积为（）

A、 $\frac{16 \sqrt{2} π}{81}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{27}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15} π}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{5} π}{3}$

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9、如图是正方体在一个平面上的展开图，则在原正方体中，直线 $A C$ 与 $B D$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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10、已知向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{4}{3}$

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11、在复平面内，复数 $z = i^{3} + i^{2026}$ 所对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、已知函数 $y = f (x), x \in D$ ，若对于任意实数 $a, b, c \in D$ ， $f (a)$ ， $f (b)$ ， $f (c)$ 都能构成三角形的三条边长，则称函数 $y = f (x)$ 为 $D$ 上的“完美三角形函数”．

(1)、试判断函数 $f (x) = {sin}^{2} x + cos x + \frac{19}{4}$ 是否为 $R$ 上的“完美三角形函数”，并说明理由；

(2)、设向量 $\vec{m} = (2 k cos x, 2 cos x)$ ， $\vec{n} = (sin x, 3 k cos x)$ ，若函数 $g (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - 3 k + 1$ 为 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的“完美三角形函数”，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $h (x) = cos (2 x - \frac{π}{3})$ 为 $[\frac{π}{6}, θ]$ （ $θ$ 为常数）上的“完美三角形函数”．函数 $h (x)$ 的图象上，是否存在不同的三个点 $A_{i} (x_{i}, h (x_{i})) (i = 1, 2, 3)$ ，满足 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ ， $h (x_{1}) + h (x_{3}) = h (x_{2})$ ？若存在，求 $cos (x_{1} - x_{3})$ 的值；若不存在，说明理由．

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13、如图，在棱长为2的正四面体 $A - B C D$ 中， $P$ 为 $C D$ 上的动点， $M$ 为 $A B$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $N$ 为 $A P$ 的中点， $B N$ 与 $P M$ 交于点 $Q$ ．

(1)、用 $\vec{P A}$ ， $\vec{P B}$ 表示 $\vec{P M}$ ；

(2)、若点 $P$ 为 $C D$ 的中点，求 $\vec{P Q} \cdot \vec{P B}$ 的值；

(3)、若 $\vec{P Q} \cdot \vec{P B} = \frac{16}{15}$ ，求 $\frac{D P}{D C}$ 的值．

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14、已知函数 $f (x) = 2 \sin ω x \cos ω x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} ω x - \sqrt{3} (0 < ω \leq 3)$ ，且函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心为 $(- \frac{π}{6}, 0)$ .

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, m]$ 上的值域是 $[- \sqrt{3}, 2]$ ，求 $m$ 的取值范围．

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15、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C B = C C_{1} = 2$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $A C_{1} ∥$ 平面 $B_{1} C E$ ；

(2)、若 $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，求三棱锥 $E - C B B_{1}$ 的体积．

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16、已知复数 $z = (m^{2} - 3 m + 2) + (2 m^{2} - 3 m - 2) i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $m \in R$ ．

(1)、若 $z$ 是纯虚数，求 $m$ 的值；

(2)、若 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限，求 $m$ 的取值范围．

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17、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且若 $\sqrt{3} (tan A + tan B) = \frac{2 c^{2}}{a^{2} + c^{2} - b^{2}}$ ， $b = 2$ ，则 $c + tan B$ 的取值范围为．

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18、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为平行四边形，如图所示，点 $E$ 是棱 $P D$ 上一点， $P E = \frac{2}{3} P D$ ，若 $\vec{P F} = λ \vec{P C}$ 且满足 $B F //$ 平面 $A C E$ ，则 $λ =$ ．

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19、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 11), \vec{b} = (3, - 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标为．

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20、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $A B = A A_{1} = 2$ ， $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{D Q} = λ \vec{D C} + μ \vec{D D_{1}} (λ \in [0, 1], μ \in [0, 1])$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ + μ = \frac{1}{3}$ ，则四面体 $A_{1} B P Q$ 的体积为定值 B、若 $A_{1} Q = \sqrt{7}$ ，则点 $Q$ 的轨迹长度为 $\frac{2 π}{3}$ C、若 $μ = 1$ ，平面 $A P Q$ 截正方体所得截面为四边形 D、若 $λ = μ = \frac{1}{2}$ ，则存在点 $E$ 在线段 $A_{1} B$ 上，使得 $A E + E Q$ 的最小值为 $\sqrt{6 + 2 \sqrt{7}}$

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