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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |2 x > 4\}$ ， $B = \{x |4 x + 3 \leq 15\}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 $\{x |2 < x \leq 3\}$ B、 $\{x |2 \leq x < 3\}$ C、 $\{x |1 < x \leq 5\}$ D、 $\{x |1 \leq x < 5\}$

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2、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 3 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\sqrt{10}$ D、10

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3、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} {cos}^{2} x - \frac{1}{2} sin x cos x - \frac{\sqrt{3}}{4}, x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值；

(3)、将函数 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 在 $[0, 2 π]$ 上所有零点之和．

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4、已知 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则 $|z|$ =.

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5、已知 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（用坐标表示）

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6、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $y = f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，可以得到 $y = 2 sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{7 π}{12}, 0)$ 中心对称 D、若函数 $y = f (\frac{m}{2} x)$ 在 $[0, 2 π]$ 有且仅有4个零点，则 $m$ 的取值范围是 $[\frac{11}{6}, \frac{7}{3})$

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7、已知 $a, b, c$ 分别是 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，点 $O$ 是 $△ A B C$ 内部的一个点，下列四个命题中正确的是（）

A、若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} < 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ C、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} = 2$ D、若 $2 \vec{O A} + \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}, S_{△ A O C}, S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ A O C, △ A B C$ 的面积，则 $S_{△ A O C} : S_{△ A B C} = 1 : 6$

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8、下列有关复数 $z$ 的叙述正确的是（）

A、若 $z = i^{3}$ ，则 $\bar{z} = i$ B、若 $z = 1 + \frac{1}{i}$ ，则 $z$ 的虚部为 $- i$ C、若 $|z| = 1$ ，则 $|\frac{1}{z}| = 1$ D、若 $|z - i| = 1$ ，则 $0 \leq |z| \leq 2$

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9、如图， $△ A B C$ 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若 $A D = 2, B D = 1$ ，点M为线段 $C E$ 上的动点，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M C}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{25}{4}$ B、 $\frac{25}{16}$ C、 $- \frac{25}{16}$ D、 $\frac{25}{4}$

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10、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y = 2$ 与抛物线 $E$ 交于点 $R$ ，且 $|R F| = \frac{5}{2} p$ ．

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、过F作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，这两条直线与抛物线E分别交于点 $A$ ， $B$ 和 $C$ ， $D$ ，其中点 $A$ ， $C$ 在第一象限．
（ⅰ）设 $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 的中点，H为直线 $A C$ 与直线 $B D$ 的交点，求 $△ H M N$ 面积的最小值；
（ⅱ）过F作x轴的垂线，分别交 $A C$ ， $B D$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，判断是否存在以 $P Q$ 为直径的圆与y轴相切？如果存在，求出该圆的方程，如果不存在，说明理由．

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11、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a \ln x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有唯一零点，求a的取值范围；

(3)、若 $p, q > 0$ ，且 $q e^{\frac{1}{p}} = p e^{- \frac{1}{q}}$ ，证明： $p - q > 2$ ．

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12、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P B = P D = A B = A D = 2$ ， $B C = 1$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值．

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13、袋中装有4个红球和2个黑球，第一次随机取出1个小球，若是红球则放回，否则不放回.

(1)、第二次随机取出1个小球，求两次取出的球颜色相同的概率；

(2)、第二次随机取出2个小球，记两次取出红球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的概率分布列及数学期望.

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $(2 c - b) \cdot \cos A = a \cdot \cos B$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $b + c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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15、在 $4 \times 4$ 的方格表中填入1或2，每个方格中恰好填入一个数，若方格表中每行每列的数字之和均为6，则不同的填法种数为．

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16、设直线 $2 x - y = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 m y + 2 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $|A B| = 2$ ，则实数 $m$ 的值为．

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17、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{2} + a_{5} = 6$ ， $2 a_{3} + a_{4} = 8$ ，则 $S_{10} =$ ．

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点 $A (1, 1)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为6 B、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ 时， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{6}$ C、 $△ F_{1} P A$ 周长的最小值是 $3 + \sqrt{5}$ D、 $△ F_{1} P A$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$

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19、将函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论中正确的是（）

A、 $g (x)$ 的最小正周期为 $4 π$ B、 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上只有一个零点 C、 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、点 $(\frac{5 π}{2}, 0)$ 是 $g (x)$ 图象的一个对称中心

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20、若 $α$ ， $β$ ， $γ$ 表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出 $α ⊥ β$ 的是（）

A、 $l \subset β$ ， $l ⊥ α$ B、 $l ⊥ β$ ， $l / / α$ C、 $α / / γ$ ， $β ⊥ γ$ D、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$

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