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相关试卷

1、已知点 $A (- 2, 0), B (2, 0), N (0, - \sqrt{2})$ 动点 $M$ 满足直线 $A M$ 和 $B M$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，过坐标原点的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，点 $P$ 在第一象限， $P E ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，连接 $Q E$ 并延长交 $C$ 于点 $G$ ，则（）

A、曲线 $C$ 的方程为： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $△ P Q G$ 为直角三角形 C、 $△ P A N$ 面积最大值为 $2$ D、 $△ P Q G$ 面积最大值为 $\frac{16}{9}$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}, S_{7} = S_{9}$ ，则（）

A、 $S_{16} = 0$ B、数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{S_{n}\}$ 中的最大项为 $S_{8}$ D、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列

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3、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 的一条直线与C交于A，B两点，且 $A F_{1} ⊥ A B$ ， $|B F_{2}| = 1$ ，则椭圆长轴长的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、6 D、 $4 + 2 \sqrt{2}$

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4、已知 $1 + 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根， $i$ 为虚数单位，则 $p + q i =$ （）

A、 $- 2 - 3 i$ B、 $5 + 2 i$ C、 $- 2 + 5 i$ D、 $2 + 5 i$

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5、已知函数 $f (x) = e^{a x} - x - 1$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若函数 $f (x)$ 有2个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $|x_{2} - x_{1}| < 1$ ，求a的取值范围．

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6、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > b > 0)$ 的短轴长为2，且过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，设点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为椭圆在第一象限内一点.

(1)、求椭圆 $C$ 方程；

(2)、点 $P$ 关于原点的对称点为 $Q$ ，点 $R (x_{0}, 0)$ ，点 $T$ 为 $P R$ 中点， $Q T$ 的延长线交椭圆于点 $S$ .记直线 $O P$ 的斜率为 $k$ ，直线 $P S$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $Q S$ 的斜率为 $k_{2}$ ，
（ⅰ）求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值；
（ⅱ）当 $∠ Q P S$ 最大时，求直线 $P Q$ 方程.

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D = 2 B C = 2 \sqrt{3}$ ， $A D ⊥ B D$ ， $∠ B A D = 30 °$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点， $P E = \sqrt{3}$ ．

(1)、设平面 $P A D \cap$ 平面 $P B C = l$ ，求证： $B C / / l$ ；

(2)、若 $P E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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8、已知函数 $f (x) = ln (a x + \frac{1}{3} b) - \sqrt{x^{2} + \frac{1}{9}}$ 有零点，当 $a^{2} + b^{2}$ 取最小值时， $\frac{b}{a}$ 的值为．

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9、如图所示，设港口 $C$ 在灯塔 $A$ 南偏西20°方向上，两地相距24海里；灯塔 $B$ 在灯塔 $A$ 南偏东40°方向上，与港口 $C$ 相距31海里.货船从港口 $C$ 出发，行驶到达两灯塔连线段上的 $D$ 处时，若此时货船恰与灯塔 $B$ 相距20海里，则此时货船与港口 $C$ 相距海里.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为1，公差为d的等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是首项为2的等比数列，且 $a_{2} = b_{2}$ ， $a_{5} = b_{3} + 5$ ，则（）

A、 $d = 3$ B、 $\exists m \in N^{*}$ ，使得 $a_{m} = b_{5}$ C、数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前20项和为 $10 + 55 \times 2^{21}$ D、数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前n项和为 $\frac{3 n^{2} - n - 4}{2} + 2^{n + 1}$

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11、若不等式 $\sqrt{{(a - b)}^{2} + {(a - \ln b)}^{2}} \geq m$ 对任意 $a \in R$ ， $b \in (0, + \infty)$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $(- \infty, \sqrt{2}]$ D、 $(- \infty, 2]$

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12、现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）

A、720种 B、1440种 C、2880种 D、4320种

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若 $|A E| = |E F| = |F B|$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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14、某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，若 $A B = 30 cm$ ， $A_{1} B_{1} = 10 cm$ ，且侧面与上底面 $A B C D$ 的夹角为 $60 °$ ，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗的侧面所需材料的面积为（）

A、 $1600 {cm}^{2}$ B、 $200 \sqrt{3} {cm}^{2}$ C、 $400 {cm}^{2}$ D、 $800 \sqrt{3} {cm}^{2}$

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15、已知数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 是公比大于0的等比数列，则 $\frac{2 a_{1} + a_{7}}{a_{4}}$ 的最小值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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16、复数 $z = \frac{1 + 2 i^{2023}}{1 - i^{2023}}$ （i为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - 1 (a \in R)$ 有唯一的极值点 $x_{0}$ ．

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是 $f (x)$ 的两个零点，记 $A (x_{1}, 0)$ ， $B (x_{2}, 0)$ ， $C (x_{0}, f (x_{0}))$ ．
（i）证明： $x_{0} < f (x_{0})$ ；
（ii）判断 $△ A B C$ 是否可能为直角三角形，并说明理由．

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18、甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投篮的命中率均为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率；

(2)、若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记 $X$ 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 $X$ 的分布列与数学期望；

(3)、若甲单独投篮，规定：首次出现连续 $n (n \in N^{*})$ 次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为 $Y_{n}$ ，随机变量 $Y_{n}$ 的数学期望为 $E (Y_{n})$ ，记 $a_{n} = E (Y_{n})$ ．写出 $a_{n}$ 与 $a_{n - 1} (n \geq 2)$ 的递推关系，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- 2, 0)$ ， $F_{2} (2, 0)$ 、动点 $P$ 满足 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2$ ， $\vec{O Q} = 2 \vec{O P}$ ，记点 $Q$ 的轨迹为曲线 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程：

(2)、已知点 $M (4, 0)$ ， $N (t, 0)$ ，过点 $M$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，设直线 $N A$ ， $N B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $\frac{1}{k_{1}}$ ， $- \frac{1}{k}$ ， $\frac{1}{k_{2}}$ 成等差数列，求 $t$ ．

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20、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $3 b cos C + 3 c cos B - 5 a cos A = 0$ ．

(1)、求 $cos 2 A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 的内切圆半径为1，求 $△ A B C$ 的面积．

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