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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, 2 a_{n + 1} - a_{n} a_{n + 1} = 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n} - 1}\}$ 为等差数列，并求 $a_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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2、已知角 $A, B, C$ 是 $△ A B C$ 的内角， $a, b, c$ 分别是其对边长，向量 $\vec{m} = (\sin \frac{A}{2}, \cos \frac{A}{2})$ ， $\vec{n} = (2 \sqrt{3} \cos \frac{A}{2}, - 2 \cos \frac{A}{2})$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、）若 $a = 2, \cos B = \frac{1}{3}$ ，求 $b$ 的长和 $△ A B C$ 的面积．

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3、已知在大小为 $\frac{π}{3}$ 的二面角 $α - l - β$ 中， $A \in α ， B \in β ， A C ⊥ l$ 于点 $C ， B D ⊥ l$ 于点 $D$ ，且 $C D = D B = 2 A C = 2$ ，则直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为．

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4、 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (x + 2) + f (x) = 0$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (\log_{\frac{1}{8}} 125)$ = ．

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5、若 $x + 2$ 是多项式 $f (x)$ 的因式，且 $x + 3$ 除 $f (x)$ 的余式为5，则 $f (x)$ 除以 $x^{2} + 5 x + 6$ 的余式是．

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6、在 ${(\frac{1}{x} - x^{2})}^{6}$ 的展开式中，常数项是（用数字作答）．

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7、已知正三棱锥 $A - B C D$ 的底面 $△ B C D$ 的边长为6，直线 $A B$ 与底面 $B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则正三棱锥 $A - B C D$ 的体积为（）

A、 $27 \sqrt{2}$ B、 $18 \sqrt{2}$ C、 $12 \sqrt{2}$ D、 $9 \sqrt{2}$

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数， $a_{5}, a_{6}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + e x + 1$ 的极值点，则 $\ln a_{1} + \ln a_{2} + \dots + \ln a_{10} =$ （）

A、5 B、6 C、10 D、15

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9、已知圆 $C_{1} : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 及圆 $C_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8$ ，则与圆 $C_{1}, C_{2}$ 都相切的直线的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、函数 $f (x) = \sqrt{2 - |x - 1|}$ 的定义域为（　　）

A、 $[- 3, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1]\cup[3, + \infty)$ C、 $[- 1, 3]$ D、 $(- \infty, - 3]\cup[1, + \infty)$

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11、已知角 $θ$ 的始边为x轴的非负半轴，终边经过点 $P (1, \sqrt{2})$ ，则 $\tan θ$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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12、已知复数 $z$ 满足 $(2 - 3 i) z = 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则在复平面内复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、已知集合 $A = \{x \in Z | - 2 \leq x < 1\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0\}$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{- 1, 0, 1\}$

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14、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）为奇函数，且 $f (x)$ 图象的相邻两对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{4}]$ 时，求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，
①当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{12}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域；
②记方程 $g (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 在 $x \in [0, π]$ 上的根从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，试确定n的值，并求 $x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n}$ 的值．

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15、设二次函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3 (a, b \in R)$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $\{x ∣ x \neq 1\}$ ，求 $a, b$ 的值；

(2)、若 $f (1) = 3$ ，
① $a > 0, b > 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{2 a}{b}$ 的最小值，并指出取最小值时 $a, b$ 的值；
②求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上的最小值.

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16、已知集合 $A = \{x | 2 - a \leq x \leq 2 + a\}$ ， $B = \{x |x \leq 0$ 或 $x \geq 3\}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $a > 0$ ，且 $x \in A$ 是 $x \in ∁_{R} B$ 的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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17、定义 $f (x) = [x]$ （其中 $[x]$ 表示不小于 $x$ 的最小整数）为“向上取整函数”．例如 $[- 1.1] = - 1, [2.1]$ $= 3, [4] = 4$ ．以下描述正确的是（）

A、若 $f (x) = 2025$ ，则 $x \in (2024, 2025]$ B、若 ${[x]}^{2} - 5 [x] + 6 \leq 0$ ，则 $x \in (1, 3]$ C、 $f (x) = [x]$ 是 $R$ 上的奇函数 D、若 $f (x) = f (y)$ ，则 $|x - y| < 1$

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18、如图，这是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $φ \in (0, \frac{π}{2})$ ）的部分图象，则（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 图象的一个对称中心为点 $(- \frac{4}{3}, 0)$ C、 $f (x)$ 图象的一条对称轴为直线 $x = \frac{2}{3}$ D、 $f (x)$ 在 $(- 1, \frac{1}{2})$ 上单调递增

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19、下列四个命题中正确的是（）

A、已知集合 $A = \{1, a^{2}\}$ ，若 $a \in A$ ，则 $a = 0$ B、函数 $y = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 C、设 $a, b, c \in R$ ，若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、不等式 $\frac{x - 3}{2 x + 1} \geq 0$ 成立的一个充分不必要条件是 $x < - 1$ 或 $x > 4$

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20、若 $a > b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ C、 $a + \frac{a}{b} > b + \frac{b}{a}$ D、 $\frac{2 a + b}{a + 2 b} > \frac{a}{b}$

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