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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D ⊥ B C$ ，且 $A D = 2$ ， $P D = 3$ ，点 $E$ ， $G$ 分别在 $P A$ ， $P C$ 上，且 $\vec{P E} = \frac{3}{4} \vec{P A}$ ， $\vec{P G} = \vec{G C}$ .

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(2)、证明： $A P / /$ 平面 $G D B$ .

(3)、求直线 $B D$ 与平面 $D E G$ 夹角的正弦值.

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2、已知圆 $C$ 的圆心在 $x - y = 0$ 上，点 $A (- 3, 3)$ ， $B (- 1, 5)$ 在圆 $C$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $N (4, 3)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $|P Q| = 2 \sqrt{11}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{2} = 5$ ， $S_{4} = 24$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{4}$ .

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4、抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点（点 $M$ 在 $y$ 轴的左侧），若 $2 \vec{M F} = \vec{F N}$ ，则 $M N$ 的斜率为.

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5、若双曲线 $x^{2} - 2 y^{2} = 1$ 的弦被点 $(3, 1)$ 平分，则此弦所在直线的方程为.

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6、在空间四边形 $O A B C$ 中，已知空间内一点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{5} \vec{O B} + λ \vec{O C} (λ \in R)$ ，若 $\vec{P A}$ ， $\vec{P B}$ ， $\vec{P C}$ 共面，则 $λ =$ .

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7、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : k x - y + 4 - 4 k = 0$ 恒过定点 $M$ ，则下列结论正确的是（）

A、若直线 $l$ 与圆 $O$ 相切，则 $k = \frac{1}{3}$ 或 $k = 3$ B、若直线 $M A$ ， $M B$ 为圆 $O$ 的两条切线，且 $A$ ， $B$ 为切点，则直线 $A B$ 的方程为 $x + y = 1$ C、若直线 $l$ 与圆 $O$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的最小值为 $- 4$ D、若直线 $l$ 与圆 $O$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，则当 $S_{△ O P Q}$ 取最大值时， $k = \frac{8 \pm \sqrt{15}}{7}$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \{\begin{cases} 4 n - 2, n 为奇数 \\ {(- 3)}^{n}, n 为偶数 \end{cases}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{6} = 729$ B、 $a_{4} > a_{5}$ C、 $S_{6} < S_{5}$ D、若 $b_{n} = a_{2 n}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前100项和为 $- \frac{9}{8} + \frac{9^{101}}{8}$

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9、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 2, 1)$ ， $\vec{b} = (3, - 2, 1)$ ， $\vec{c} = (- 6, 4, - 2)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{6}$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 28$ D、 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 能构成空间的一个基底

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10、已知公差为 $d (d \neq 0)$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ ， $S_{12} = 3 (a_{1} + a_{4} + a_{6} + a_{k})$ ，且 $S_{n} \leq S_{k}$ ，则 $d$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{2}{15} \leq d \leq \frac{1}{14}$ B、 $- \frac{1}{7} \leq d \leq - \frac{1}{15}$ C、 $- \frac{1}{7} \leq d \leq - \frac{2}{15}$ D、 $- \frac{2}{15} \leq d \leq - \frac{1}{8}$

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11、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上， $∠ F_{1} P F_{2} = 30 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， $E$ 为线段 $B C_{1}$ 上一点，且 $B E = \frac{1}{3} B C_{1}$ ，则 $\vec{D_{1} E} =$ （）

A、 $\vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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13、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 2$ ， $S_{6} = 8$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9} =$ （）

A、40 B、32 C、24 D、18

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14、已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1, 2, 2)$ ， $A (1, 0, - 1)$ 是平面 $α$ 内一点， $P (3, 1, - 2)$ 是平面 $α$ 外一点，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、2 C、 $\frac{2}{3}$ D、3

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15、点 $P$ 在抛物线 $x^{2} = 8 y$ 上，若点 $P$ 到点 $(0, 2)$ 的距离为5，则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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16、已知空间中三点 $A (1, 0, 2)$ ， $B (2, 3, 1)$ ， $C (3, 4, 2)$ ，则 $\vec{B C} - 3 \vec{A C} =$ （）

A、 $(1, 3, - 1)$ B、 $(- 1, - 3, 1)$ C、 $(5, 11, - 1)$ D、 $(- 5, - 11, 1)$

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，已知 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{3} + a_{6} = a_{10}$ ，则 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、 $\frac{1}{2}$

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18、已知函数 $f (x) = ln (2 - x) + ln (2 + x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断 $f (x)$ 奇偶性，并加以证明；

(3)、若 $f (2 m + 1) < \ln 3$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、若函数 $f (x)$ 满足下列条件：在定义域内存在 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0} + 1) = f (x_{0}) + f (1)$ 成立，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $M$ ；反之，若 $x_{0}$ 不存在，则称函数 $f (x)$ 不具有性质 $M$ .

(1)、判断函数 $f (x) = 2^{x}$ 是否具有性质 $M$ ，若具有性质 $M$ ，求出对应的 $x_{0}$ 的值；若不具有性质 $M$ ，说明理由.

(2)、已知函数 $h (x) = \lg \frac{a}{x^{2} + 2}$ 具有性质 $M$ ，求 $a$ 的取值范围.

(3)、证明函数 $g (x) = 3^{x} + x^{2}$ 具有性质 $M$ .

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α (α \in (0, \frac{π}{2}))$ 和角 $β (β \in (\frac{π}{2}, π))$ 的顶点均与坐标原点 $O$ 重合，始边均为 $x$ 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于 $P, Q$ 两点，且 $P, Q$ 两点关于 $y$ 轴对称.

(1)、若点 $P$ 的纵坐标为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} - α) - \sin (- α)}{\sin α + \cos (π + α)}$ 的值；

(2)、若 $\sin (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3}$ ，求 $\sin (\frac{π}{6} + α)$ 的值；

(3)、若 $α \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos (β - \frac{π}{6})$ 的最小值及取得最小值时相应的 $β$ 值.

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