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相关试卷

1、以椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点和上、下顶点为顶点的四边形是正方形，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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2、若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线的夹角为 $60^{\circ}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、2或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 或 $\sqrt{3}$

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3、已知椭圆方程 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，过左焦点 $F_{1}_{}$ 的直线与椭圆交于A，B两点，连接 $A F_{2} ， B F_{2}$ ，则三角形 $A B F_{2}$ 的周长为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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4、已知双曲线 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{7} = 1$ ，则顶点到渐近线的距离为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$

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5、经过点 $(2, 2)$ ，圆心为 $C (1, 1)$ 的圆的方程是（）

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \sqrt{2}$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \sqrt{2}$

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6、已知圆 $M : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，点 $P (- 1, t)$ 为直线 $l : x = - 1$ 上一动点，过点 $P$ 引圆 $M$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$

(1)、当 $t = 2$ 时，求 $|A B|$ 的值；

(2)、若两条切线 $P A, P B$ 与 $y$ 轴分别交于 $S, T$ 两点，求 $△ P S T$ 的面积的最小值．

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7、已知圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l : (2 + a) x + (1 + a) y + a = 0$ .

(1)、求证：直线l恒过定点；

(2)、直线l被圆C截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a的值以及最短弦长．

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8、如果实数x、y满足 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 = 0$ ，那么 $\frac{y}{x + 2}$ 的最大值是．

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9、在平面直角坐标系中， $A (0, 3), B (0, - 1)$ ，点P满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，则 $△ P A B$ 面积的最大值是（）

A、2 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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10、等比数列 ${a_{n}}$ ， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{5} = 48, S_{10} = 60$ ，则 $S_{15}$ 为（）

A、63 B、108 C、75 D、83

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11、已知在平面直角坐标系中， $O$ 为原点，抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F (1, 0)$ ， $A$ 、 $B$ 是抛物线 $Γ$ 上两个不同的点.

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、若直线 $A B$ 斜率为1，且过点 $F$ ，求线段 $A B$ 的长度；

(3)、直线 $l$ 与拋物线 $Γ$ 交于不同于 $O$ 的 $A$ 、 $B$ 两点，若以 $A B$ 为直径的圆经过点 $O$ ，且 $O G ⊥ A B$ 于 $G$ ，证明：存在定点 $H$ ，使 $|G H|$ 为定值.

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12、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $P A C$

(2)、设 $P A = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，求二面角 $D - A E - C$ 的余弦值.

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13、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $a_{1} = 5$ ， $S_{3} = 12$ .

(1)、求 $a_{n}$ .

(2)、 $S_{n}$ 是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n的值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由

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14、已知 $M (- 3, 0)$ ， $N (0, 0)$ ，平面内一动点 $P$ 满足 $|P M| = \sqrt{2} |P N|$ ，设动点 $P$ 的轨迹为 $Ω$ .

(1)、求 $Ω$ 的方程；

(2)、若直线 $l : x + y - 1 = 0$ 与 $Ω$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|A B|$ 的值.

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15、已知过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上一点 $p (x_{0}, y_{0})$ 的切线方程 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ，若 $M (x_{0}, y_{0})$ 为双曲线 $x^{2} - y^{2} = 4$ 上的动点， $x_{0} > 0$ ， $y_{0} \geq 0$ ，直线 $l_{1} : x_{0} x - y_{0} y = 4$ 与双曲线的两条渐近线交于 $P$ ， $Q$ 两点（点 $P$ 在第一象限）， $R$ 与 $Q$ 在同一条渐近线上，则 $\vec{R P} \cdot \vec{R Q}$ 的最小值为.

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16、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $2 a_{3} - a_{4} = 4, 3 a_{2} + a_{5} = 25$ ，则 $S_{20} =$ .

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17、到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设 $F_{1} (- c, 0)$ 和 $F_{2} (c, 0)$ 且 $c > 0$ ，动点 $M$ 满足 $|M F_{1}| \cdot |M F_{2}| = a^{2} (a > 0)$ ，动点 $M$ 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线 $C$ ，则下列描述正确的是（）

A、曲线 $C$ 的方程是 $\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} \cdot \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = a^{2}$ B、曲线 $C$ 关于坐标轴对称 C、曲线 $C$ 与 $x$ 轴没有交点 D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积不大于 $\frac{1}{2} a^{2}$

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18、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ， $F$ 为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（）

A、拋物线的准线方程为 $x = - 1$ B、若直线 $A B$ 过 $F$ ，且 $A B ⊥ x$ 轴，则 $|A B| = 4$ C、若直线 $A B$ 过 $F$ ，则 $y_{1} y_{2} = - 1$ D、若 $|A B| = 6$ ，则 $A B$ 的中点到 $y$ 轴距离的最小值为2

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19、若数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（）

A、 $\{a_{n} + 3\}$ B、 $\{a_{n}^{2}\}$ C、 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ D、 $\{2 a_{n}\}$

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20、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作一条直线与双曲线右支交于 $A$ 、 $B$ 两点，坐标原点为 $O$ ，若 $|O A| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ， $|B F_{1}| = 5 a$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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