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相关试卷

1、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 3$ ，直线 $l$ 过点 $A (- \sqrt{3}, 1)$

(1)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相切时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、线段 $A B$ 的端点 $B$ 在圆 $C$ 上运动，求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $P - C D - A$ 的正弦值.

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3、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

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4、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为．

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5、如图，四边形 $A B C D$ 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = 4$ ， $C^{'} D^{'} = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A^{'} D^{'} = 2 \sqrt{2}$ B、 $A B = 4$ C、四边形 $A B C D$ 的面积为 $6 \sqrt{2}$ D、四边形 $A B C D$ 的周长为 $6 + \sqrt{6} + \sqrt{2}$

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6、若复数z满足 $z (3 + 4 i) = 25$ ，则z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、直线 $x \sin θ + \sqrt{3} y + 2 = 0$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ C、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{5 π}{6}, π)$ D、 $[0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{2 π}{3}, π)$

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8、已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ （ $a$ 为常数， $a \in R$ ）．

(1)、当 $a$ 取何值时，函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、当 $a = 1$ 时，若方程 $f (2 x) - k \cdot f (x) = 3$ 在 $x \in [0, 1]$ 上有实根，求实数 $k$ 的取值范围．

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9、函数 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10、已知函数 $f (x) = x \ln (x + a) - 2 x + 2 \ln (x + 1), g (x) = 2 \ln (x + a + 1) - 3 x$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $g (x)$ 在 $(1, g (1))$ 处的切线 $l$ 的方程；

(2)、判断 $x = 0$ 是否是函数 $f (x)$ 的极值点，并说明理由；

(3)、若不等式 $f (x) > g (x) + k (x - 2)$ 对任意的 $x \in (2, + \infty)$ ， $a \in [0, 2]$ 恒成立，求正整数 $k$ 的最大值．（参考数据： $e = 2.71828 \dots, e^{2} = 7.38906 \dots, e^{3} = 20.08554 \dots$ ）．

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11、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过点 $Q (2, 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点．当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时， $|A B| = 4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的解析式；

(2)、若 $\cos ∠ A O B = - \frac{\sqrt{13}}{13}$ ，过 $x$ 轴上一点 $P$ 作直线 $O A, O B, A B$ 的垂线，垂足分别为 $E, F, G$ ，且满足 $E,$ $F, G$ 三点共线．
（i）求直线 $l$ 的方程；
（ii）求 $P$ 点的坐标．

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12、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $S_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (1, 0)$ ，定义点 $A_{n} (1 + \frac{1}{a_{n}}, 1), B_{n} (n, 1)$ （其中 $n \in N_{+}$ ），记 $a_{n} = ∠ A_{n} O P, β_{n} = ∠ B_{n} O P$ ．
（i）求 $\tan (β_{2} + β_{3})$ 的值；
（ii）证明： $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} + β_{n + 1} = \frac{π}{4}$ ．

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // C D, B C ⊥ A B,$ $A B = 1 + \sqrt{3}, C D = \sqrt{3}, B C = P B = 2$ ，且四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3} + 1}{3}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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14、某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，

(1)、求图中 $a$ 的值和样本成绩的中位数；

(2)、已知学校用分层抽样的方法，从 $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在 $[90,100]$ 内的有 $X$ 人，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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15、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作直线交双曲线 $C$ 的右半支于 $P, Q$ 两点，满足 $P F_{1} ⊥ P Q$ ，且 $△ Q F_{1} F_{2}$ 面积是 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的两倍，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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16、用1，2，3， $12$ 四个数组成一个五位数（每个数仅用到1次），则能组成个不同的五位数．

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17、已知实数 $a, b$ 满足 $2^{a} = 3, 3^{b} = 2$ ，则 $a b =$ ．

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18、现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为 $A$ 队，丙、丁为 $B$ 队．已知甲、乙传给队友的概率为 $\frac{1}{3}$ ，丙、丁传给队友的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为 $n$ （ $n \in N_{+}$ 且 $n \geq 2$ ），则（）

A、传球 $n$ 次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B、 $n = 3$ 时，球在乙手中的概率为 $\frac{5}{27}$ C、传球 $n$ 次后，球在 $A$ 队成员手中的概率恒为一个常数 D、设球在乙手中的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{n} = \frac{1}{6} [1 + {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}] (n > 2)$

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19、已知 $△ A B C$ 的三个内角分别为 $A, B, C$ ， $B = C + \frac{π}{2}$ ， $A B = 2, A C = 3$ ， $D$ 在线段 $B C$ 上，且满足 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．则（）

A、 $\sin B = \frac{3}{2} \sin C$ B、 $\tan C = \frac{2}{3}$ C、 $B C = \frac{25}{13}$ D、 $A D = \frac{6 \sqrt{26}}{13}$

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20、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $M$ 是线段 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $A_{1} B_{1} //$ 平面 $B C_{1} M$ B、 $B_{1} D_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成夹角为 $60 °$ C、平面 $A_{1} B_{1} D ⊥$ 平面 $B C_{1} M$ D、三棱锥 $C - B C_{1} M$ 的体积为 $\frac{1}{12}$

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