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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且 $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{E C}$ ，则 $\vec{E D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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2、设复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 + 2 i) = 5$ ，则 $z =$ （）

A、2 B、 $1 + 2 i$ C、 $- 2$ D、 $1 - 2 i$

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3、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是 $△ O A B$ 的直观图，则 $△ O A B$ 是（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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4、已知 $\vec{m} = (1, x)$ ， $\vec{n} = (4, 2)$ ，若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、4 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.

(1)、如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；

(2)、求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度；

(3)、如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度 $H_{2}$ 的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1).
（参考公式： $\sin θ + \sin φ = 2 \sin \frac{θ + φ}{2} \cos \frac{θ - φ}{2}$ )

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6、已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c, (a - b + c) \sin B = (b - a) \sin A$ $+ c \sin C$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $c = 4, M$ 为 $△ A B C$ 外心，D为 $A C$ 中点， $D M = \sqrt{3} - 1$ ，求边a的大小.

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7、已知 $- 2 + i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0, (p, q \in R)$ 的一个根.

(1)、求p，q的值及方程的另一个根；

(2)、若实系数一元二次方程 $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{2} \neq 0)$ 在复数集C内的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，请猜想两根 $x_{1}, x_{2}$ 与实系数 $a_{0}, a_{1}, a_{2}$ 有怎样的结论?并用方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的根进行验证；

(3)、若 $z = x + y i (x, y \in R)$ ，则复平面内满足 $| z - (p + q i) | = 3$ 的动点 $Z (x, y)$ 的集合是什么图形?

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8、已知函数 $f (x) = \sin x \sin (x + \frac{π}{3}) - \sin^{2} x (x \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 上的最大值和最小值.

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9、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面的三个向量， $\vec{a} = (4, 3)$ .

(1)、若 $| \vec{b} | = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $| \vec{c} | = 5 \sqrt{3}$ ，且 $(\vec{a} + \vec{c}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 夹角 $θ$ 的余弦值.

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10、已知 $\tan (α + β) = \frac{1}{3}, \tan (α - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan 2 β =$ .

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11、若向量 $\vec{a} = (1, - \sqrt{3})$ ，则与 $\vec{a}$ 方向相同的单位向量是.

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12、已知函数 $f (x) = \sin^{n} x + \cos^{n} x, (n \in N^{*}, x \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $n = 1$ 时， $f (x)$ 在 $[- \frac{3}{4} π, \frac{1}{4} π]$ 上单调递增 B、当 $n = 2$ 时， $f (x) = 1$ C、当 $n = 4$ 时， $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{4}$ D、当 $n = 8$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[\frac{1}{8}, 1]$

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13、我们把由平面内夹角成 $30 °$ 的两条数轴 $O x, O y$ 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”. $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别为 $O x, O y$ 正方向上的单位向量.若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把实数对 ${x, y}$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 的“@未来坐标”，记 $\vec{O P} = {x, y}$ .若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的“@未来坐标”分别为 $\{x_{1}, y_{1}\}$ ， $\{x_{2}, y_{2}\}$ ，则（）

A、 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{1}{2}$ B、 $\vec{a} + \vec{b}$ 的“@未来坐标”为 $\{x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}\}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$ D、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的“@未来坐标”分别为 ${\sin x, 1}, {\cos x, 1}$ ，则 ${(\vec{a} \cdot \vec{b})}_{\max} = \frac{3 + \sqrt{6}}{2}$

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14、已知复数 $z_{1} = 1 - 2 i, z_{2} = i (2 - i), z_{3} = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则（）

A、 $\bar{z_{1} - z_{2}} = 4 i$ B、复数 $z_{2}$ 对应的平面向量的坐标为 $(2, 1)$ C、 $|z_{2}| = 5 |z_{3}|$ D、复数 $z_{3}$ 在复平面上对应的点在虚轴上

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15、已知 $θ \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}), \tan 2 θ = - 4 \tan (θ + \frac{π}{4})$ ，则 $\frac{1 - \sin 2 θ}{2 \cos^{2} θ - \sin 2 θ} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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16、若平面向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{t}$ 两两夹角相等，且 $|\vec{m}| = 2$ ， $|\vec{n}| = 1$ ， $|\vec{t}| = 4$ ，则 $|\vec{m} + \vec{n} + \vec{t}| =$ （）

A、49 B、7 C、49或7 D、7或 $\sqrt{7}$

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17、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $y = f (x + \frac{π}{3})$ 是奇函数 C、 $| A B | = \frac{π}{3}$ D、直线 $x = - \frac{π}{12}$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴

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18、已知向量 $\vec{a} = (0, - 2), \vec{b} = (1, t)$ ，若向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $2 \vec{a}$ ，则 $t =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 4$ C、 $- \frac{5}{2}$ D、 $- 2$

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19、为了得到函数 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，只需把函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象上所有的点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向左平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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20、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是不共线的向量，且 $\vec{A B} = 2 \vec{a} - 5 \vec{b}, \vec{B C} = \vec{a} - 3 \vec{b}, \vec{C D} = \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，则（）

A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线 C、B，C，D三点共线 D、A，C，D三点共线

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