广东省佛山市顺德区郑裕彤中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2026-01-12 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1, - 1)$ ， $\vec{b} = (2, m, 0)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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2. 已知平行四边形 $A B C D$ 的顶点 $A, C$ 在椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上，顶点 $B, D$ 分别为 $E$ 的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、8

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3. 已知 $F$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点， $A, B$ 是该抛物线上的两点，且 $|A F| + |B F| = 6$ ，则线段 $A B$ 的中点到 $x$ 轴的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知双曲线 $C$ 的虚轴长为 $8$ ，两个顶点分别为椭圆 $E : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的两个焦点，则 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

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5. 长为 $2$ 的线段 $A B$ 的两个端点 $A$ 和 $B$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上滑动，则点 $B$ 关于点 $A$ 的对称点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{4} = 1$

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6. 在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，点 $E$ 是 $C C^{'}$ 的中点．设 $\vec{A E}$ 在 $\vec{A^{'} D}$ 上的投影向量为 $\vec{a}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 已知甲、乙两人射击的命中率分别是 $0.4$ 和 $0.7$ ．现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是（）

A、 $2 : 7$ B、 $3 : 7$ C、 $4 : 7$ D、 $5 : 7$

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8. 设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 且倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线分别交 $C$ 的左、右两支于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $|A F_{2}| = |B F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $3$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）.

9. 已知三条直线 $l_{1} : x - 2 y + 4 a = 0$ ， $l_{2} : x - y - 6 a = 0$ ， $l_{3} : 2 x - y - 4 a = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、 $l_{1} ⊥ l_{3}$ B、三条直线的斜率之积为1 C、三条直线的倾斜角之和为 $135^{\circ}$ D、三条直线在 $y$ 轴上的截距之和为12a

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10. 有 $5$ 个相同的球，分别标有数字 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ ，从中有放回的随机取两次，每次取 $1$ 个球．记事件 $A$ 为“第一次取出的球的数字是奇数”，事件 $B$ 为“两次取出的球的数字相同”，事件 $C$ 为“两次取出的球的数字之和是 $6$ ”，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 相互独立 B、 $A$ 与 $C$ 相互独立 C、 $B$ 与 $C$ 相互独立 D、 $A B$ 与 $C$ 相互独立

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11. 已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、存在 $a_{1}$ ，使得 $S_{2} = 2$ B、 $\{a_{n}\}$ 可能是常数列 C、 $\{a_{n}\}$ 可能是递增数列 D、 $\{a_{n}\}$ 可能是递减数列

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.

12. 曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是．

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13. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 1$ ， $S_{8} = 4$ ，则 $a_{17} + a_{18} + a_{19} + a_{20} =$ .

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14. 点 $P$ 在 $△ A B C$ 所在的平面 $α$ 外，且 $P A ⊥ α$ ， $P B = P C = \sqrt{17}$ ， $t a n ∠ B P C = \frac{8}{15}$ ，当 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离最大时， $△ A B C$ 的面积为.

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四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

15. 在平面直角坐标系中，圆 $M$ 的圆心为 $(1, 2)$ ，半径为 $2$ .

(1)、过点 $P (0, 4)$ 作圆 $M$ 的两条切线，求这两条切线的斜率之和；

(2)、若过点 $(0, - 1)$ 的直线与圆 $M$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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16. 甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.

(1)、用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由；

(2)、若选择方案一，求甲获胜的概率.

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17. 记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 4 ， S_{8} = 4$

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 的最大值以及取得最大值时的 $n$ 的值；

(3)、求 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C, ∠ A B C = 90^{\circ}, A B = 1, B C = 2, P B = P C = \sqrt{5}$ ．

(1)、在线段 $P B$ 上是否存在点 $Q$ 使得 $C Q ⊥$ 平面 $A B P$ ？并说明理由．

(2)、设线段 $P A$ 和 $P C$ 的中点分别为 $M$ 和 $N$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $B M N$ 夹角的余弦值．

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19. 已知椭圆 $E : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (0, - 3), F_{2} (0, 3)$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交手 $A, B$ 两点.当 $l$ 平行 $x$ 轴时， $|A B| = \frac{7}{2}$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、当 $△ A B F_{1}$ 的内切圆面积取得最大值时，求 $l$ 的方程.

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