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相关试卷

1、若 $a = {log}_{5} 3, b = {log}_{50} 18, c = lg 6$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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2、定义：二阶行列式 $|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}| = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ ，三阶行列式 $E = |\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}|$ ， $E$ 的某一元素 $a_{i j}$ 的余子式 $M_{i j}$ 指的是在 $E$ 中划去 $a_{i j}$ 所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式，称 ${(- 1)}^{i + j} M_{i j}$ 为元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，三阶行列式 $E$ 等于它的任一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和． $|\begin{array}{l} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}| =$ （）

A、0 B、 $- 24$ C、6 D、 $- 18$

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3、已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（）

A、 $\frac{16 π}{9}$ B、 $\frac{64 π}{9}$ C、 $\frac{32 π}{9}$ D、 $\frac{16 π}{3}$

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4、函数 $f (x) = {cos}^{2} 4 x - 3 {sin}^{2} 4 x$ 的最小值和最小正周期分别为（）

A、 $- 3, \frac{π}{8}$ B、 $- 1, \frac{π}{4}$ C、 $- 3, \frac{π}{4}$ D、 $- 1, \frac{π}{8}$

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5、若抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点也是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm 3 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{3} x$

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6、若向量 $\vec{a} = (m, 5), \vec{b} = (1, 2)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$ ，则实数 $m =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、18 D、 $- 18$

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7、若集合 $A = {x ∣ x < 0}, B = \{x ∣ x > 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $[0, 1]$ C、 $(- \infty, 0]\cup[1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

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8、1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数 $n = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2^{1} + a_{2} \cdot 2^{2} + \dots + a_{k} \cdot 2^{k}$ ， $k \in N$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\}$ ， $i = 0, 1, 2, \dots, k$ ，那么，十进制数 $n$ 可以用二进制表示为 $a_{k} \dots a_{2} a_{1} a_{0}$ ，记作 ${(n)}_{10} = {(a_{k} \dots a_{2} a_{1} a_{0})}_{2}$ ，此时，令 $S_{n} = a_{k} + \dots + a_{2} + a_{1} + a_{0}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \{\begin{array}{l} 0, S_{n} = 2 m \\ 1, S_{n} = 2 m + 1 \end{array}, m \in N$ ．

(1)、二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如震卦“”对应的二进制数为100．请写出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数．

(2)、证明： $S_{n} - S_{2 n + 1} + S_{2^{n} - 1} = n - 1$ ， $n \in N^{*}$ ．

(3)、是否存在正偶数 $p$ ，使得对任意 $i \in \{0, 1, 2, \dots, 2014\}$ ，满足 $b_{p + i} = b_{p + 2025 + i} = b_{p + 4050 + i}$ ．若存在，请写出符合要求的 $p$ ；若不存在，请说明理由．

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且经过点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、记圆 $O$ 的方程是 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ ．
①若与圆 $O$ 相切的直线 $l_{1}$ 经过 $C$ 的右焦点 $F$ ，且 $l_{1}$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $|A B|$ ；
②斜率为 $k_{1} (k_{1} \neq 0)$ 的直线 $l_{2}$ 经过坐标原点，与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $P$ 是 $C$ 的上顶点，直线 $P M$ 交圆 $O$ 于点 $G$ ，直线 $P N$ 交圆 $O$ 于点 $H$ ，记直线 $G H$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求值： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ ．

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10、已知函数 $f (x) = x {(x - a)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极大值，且函数 $g (x) = f (x) + b ln \frac{x}{4 - x}$ 在定义域内单调递增．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $b$ 的取值范围．

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11、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C = B D = \sqrt{2}$ ， $B C ⊥ B D$ ，平面 $A C D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A C = A D = \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ C D$ ；

(2)、若 $H$ 为 $△ A B C$ 的垂心，求 $D H$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值．

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12、中国春节档电影《哪吒之魔童闹海》票房突破百亿，是中国第一部冲入全球影史票房前5的作品．同学小华在某影院用简单随机抽样的方法调查了200位观影人观看该电影的次数，并对他们的观影次数作出统计，具体如下：
年龄（岁）
少年组（18及以下）
青年组（19-35）
中年组（36-60）
老年组（61及以上）
调查人数
70
80
30
20
少年组、青年组、中年组、老年组分别有 $\frac{2}{7}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{4}{15}$ ， $\frac{1}{5}$ 的人看了2次该电影，其余的人都只看了1次．

(1)、求这200位观众观看该电影的平均次数；

(2)、小华记少年组与青年组为“ $A$ 组”，记中年组和老年组为“ $B$ 组”．请完成以下列联表，依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为观影次数与年龄层次有关联？
观影次数
年龄层次
合计
$A$ 组
$B$ 组
1次

2次

合计

附表：
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

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13、已知曲线方程 $C : \frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 1 (x > 0)$ ， $A_{1} (- \sqrt{5}, 0)$ ， $A_{2} (\sqrt{5}, 0)$ ，点 $P$ 为曲线 $C$ 右支上一点，且 $P$ 与 $A_{2}$ 不重合，直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 分别与直线 $x = 2$ 交于 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 两点，则以 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 为直径的圆面积的最小值是．

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14、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = 2 A C = 2$ ，侧棱 $A A_{1} = 2$ ，若点 $M$ ， $N$ 分别是线段 $A_{1} B$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，则点 $N$ 到直线 $C M$ 的距离是．

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15、若 ${(x - 2)}^{6} = a_{0} x^{6} + a_{1} x^{5} + \dots + a_{5} x + a_{6}$ ，则 $|a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + |a_{4}| + |a_{5}| + |a_{6}| =$ ．（用数字作答）

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16、设函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) - f (x - y) = - 2 f (x - 1) f (y - 1)$ ， $x, y \in R$ ，且 $f (0) \neq 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (- 1) = 0$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $(0, 0)$ 中心对称 C、 $x = 2025$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴 D、 $f (1) + f (2) + \dots + f (2025) = 0$

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离是4，经过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，分别记 $C$ 在点 $A$ 、 $B$ 处的切线为 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ， $P = l_{1} \cap l_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $C$ 准线方程为 $x = - 1$ B、 $x_{1} x_{2} = 4$ C、 ${|P F|}_{min} = 4$ D、若 $x_{1} + x_{2} = 6$ ，则 $|A B| = 10$

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18、已知随机事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ， $P (B | A) = \frac{3}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P (\bar{B}) = \frac{1}{3}$ B、 $P (A B) = \frac{1}{3}$ C、 $P (A + B) = \frac{19}{24}$ D、 $P (A | \bar{B}) = \frac{5}{8}$

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19、对于任意的 $x \in R$ ，不等式 $(e^{x} + x - a - ln a) (x^{2} - e^{x} - a x + a) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $e$

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20、在锐角 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $M$ 是 $A B$ 的中点， $C M = \frac{\sqrt{5}}{4}$ ，过点 $C$ 做 $A B$ 的垂线，垂足是 $H$ ， $C H = \frac{1}{2}$ ，则 $A B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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年龄（岁）	少年组（18及以下）	青年组（19-35）	中年组（36-60）	老年组（61及以上）
调查人数	70	80	30	20

观影次数	年龄层次		合计
观影次数	$A$ 组	$B$ 组	合计
1次
2次
合计

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635