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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧棱长均为 $2 \sqrt{17}$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形， $B C = 8, C D = 12$ .

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A B$ .

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的正弦值.

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2、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 实轴端点分别为 $A_{1} (- a, 0)$ 、 $A_{2} (a, 0)$ ，右焦点为 $F$ ，离心率为 $2$ ，过 $A_{1}$ 点的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于另一点 $B (x, 3)$ ，已知 $△ A_{1} B F$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ ．

(1)、求双曲线的方程；

(2)、若过点 $F$ 的直线 $l^{'}$ 与双曲线 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点，试探究直线 $A_{1} M$ 与直线 $A_{2} N$ 的交点 $Q$ 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．

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3、函数 $f (x) = [a x^{2} - (4 a + 1) x + 4 a + 3] e^{x}$ 在 $x = 2$ 处取得极大值，则实数 $a$ 的取值范围为．

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4、如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中， $A_{1} A_{2} B_{1} B_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的四个顶点， $F$ 为其右焦点，直线 $B_{1} F$ 与直线 $A_{1} B_{2}$ 相交于点T，线段 $O T$ 与椭圆的交点 $M$ 恰为线段 $O T$ 的中点，则该椭圆的离心率为.

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5、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，点P为C上任意一点，若点 $M (1, 3)$ ，下列结论错误的是（）

A、 $|P F|$ 的最小值为2 B、抛物线C关于x轴对称 C、过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D、点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4

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6、已知函数 $f (x) = \frac{2 e^{x} - 3}{e^{x} + 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) = - \frac{5}{2}$ B、函数 $f (x)$ 的图象是一个中心对称图形 C、曲线 $y = f (x)$ 有且只有一条斜率为 $\sqrt{3}$ 的切线 D、存在实数 $a$ ， $b$ ，使得函数 $f (x)$ 的定义域 $[a, b]$ ，值域为 $[\frac{1}{2} a, \frac{1}{2} b]$

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7、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} G_{1} D_{1}$ 中， $P 、 Q 、 R 、 S$ 分别为棱 $A_{1} D_{1} 、 A A_{1}$ 、 $C_{1} D_{1} 、 A B$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $P 、 Q 、 R 、 S$ 四点共面 B、 $R S$ 与 $B C_{1}$ 异面 C、 $P Q ⊥ B_{1} D$ D、RS与 $A_{1} B$ 所成角为 $45^{°}$

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8、若函数 $f (x) = \frac{x^{3} - 2 e x^{2} + m x - \ln x}{x}$ 至少存在一个零点，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, e^{2} + \frac{1}{e}]$ B、 $[e^{2} + \frac{1}{e}, + \infty)$ C、 $(- \infty, e + \frac{1}{e}]$ D、 $[e + \frac{1}{e}, + \infty)$

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9、已知 $i$ 为虚数单位，则 $|\frac{\sqrt{5}}{3 - 4 i}| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{25}$

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10、已知二次函数 $y = x^{2} + a x + a (a \in R)$ .

(1)、若 $y > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $0 \leq x \leq 1$ 时，函数y的最小值为 $\frac{9 a - 1}{8}$ ，求实数a的值；

(3)、若 $a \in R$ ， $\exists x \in \{x |1 \leq x \leq 2\}$ ，使得关于x的方程 $x^{2} + a x + a = 0$ 有解，求实数a的取值范围.

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11、已知直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D = C D$ ， $A B + B C = 12 (B C > A B)$ ，过点 $A$ 作 $C D$ 延长线的垂线，垂足为E，连接 $A E$ .

(1)、设 $B C = x$ ， $A D = a$ ，请写出x与a的关系式（用x表示a）；

(2)、在（1）的条件下，记 $△ A E D$ 的面积为S，求S的最大值及此时x的值.

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12、若 $a, b > 0$ 且 $a b = a + b + 3$ .

(1)、求 $a b$ 的最小值；

(2)、求 $a + b$ 的取值范围.

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13、已知集合 $A = \{x |m x - 1 = 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 3 x + 2 = 0\}$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $A \cup B$ 和 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的值.

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14、将下列各式分解因式.

(1)、 $a b^{2} - a^{3}$ ；

(2)、 $5 x^{2} + 6 x - 8$ ；

(3)、 $x^{3} - 3 x - 2$ .

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15、已知实数 $x, y (x y \neq 1)$ 满足 $2025 x^{2} + 2026 x + 1 = 0$ ， $y^{2} + 2026 y + 2025 = 0$ ，则 $\frac{y}{x y + 3 x + 1}$ 的值为.

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16、若集合 $A = \{x \in N^{*} |x^{2} - 2 x + a < 0\}$ 有且只有两个元素，则实数a的取值范围是.

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17、已知方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ .

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18、已知关于 $x$ 的不等式 $(x - 1) (x + 3) + 2 a < 0$ 的解集是 $\{x |x_{1} < x < x_{2}\}$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} + 2 = 0$ B、 $- 3 < x_{1} < x_{2} < 1$ C、 $|x_{1} - x_{2}| > 4$ D、 $x_{1} x_{2} - 1 < 0$

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19、设正实数a，b满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b$ 的最小值是 $\frac{1}{4}$ B、 $a b$ 的最大值是 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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20、已知集合 $M = \{1, 2\}$ ，集合 $M \subseteq N$ $\underset{\neq}{\subset}$ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则集合N可以是（）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{1, 2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

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