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相关试卷

1、复数 $\frac{1 - 2 i}{1 + i}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2、将复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ ，表示成三角形式 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ ，其中 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ， $\cos θ = \frac{a}{r}$ ， $\sin θ = \frac{b}{r}$ ， $r$ 是复数 $z$ 的模， $θ$ 是复数 $z$ 的辐角.

(1)、求方程 $x^{3} + 1 = 0$ 的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根；

(2)、已知 $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ， $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ ，试推导复数 $z_{1} z_{2}$ 的三角形式；

(3)、在单位圆的内接六边形 $A B C D E F$ 中， $|A B| = |C D| = |E F| = 1$ ， P，Q，R分别为 $B C$ ， $D E$ ， $F A$ 的中点，判断 $△ P Q R$ 的形状并证明.

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $\vec{m} = (a, b + c)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \sin C + \cos C, 1)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 (b + c)$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{B M} = 2 \vec{M C}$ ， $A M = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若N是 $∠ B A C$ 的平分线与 $B C$ 的交点，且 $A N = \sqrt{3}$ ，则求 $b + 2 c$ 的最小值.

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4、圆锥 $P O$ 的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.

(1)、一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；

(2)、过 $P O$ 的中点 $O_{1}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.

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5、已知复数 $z = 1 + m i (m \in R)$ ，且 $\bar{z} (3 + i)$ 为纯虚数

(1)、求实数 $m$ 及 $|z|$ ；

(2)、若 $z$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，求 $2 p + q$ 的值.

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6、正六边形的边长为1，顶点依次为 $A_{1}, A_{2}, \cdot \cdot \cdot, A_{6}$ ，若存在点 $P$ 满足 $\vec{P A_{1}} \cdot \vec{P A_{2}} = 0$ ，则 $|\vec{P A_{1}} + \vec{P A_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \vec{P A_{6}}|$ 的最大值为.

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7、已知 $a, b \in R$ ，复数 $z_{1} = a + i$ ， $z_{2} = - b - i$ ，且 $z_{1} + z_{2} = 0$ ，若 $z = a + b i$ ，则 $|z - \sqrt{3} i|$ 的最小值.

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8、在 $△ A B C$ 中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，小明刚学习完三角形中的相关定理后自主推导出了三角形面积公式 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} ■ \frac{\sin B \sin C}{\sin A}$ ，则■处应该填写.（用三角形已知边角表示）

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9、数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中一个，所谓等腰四面体就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”下列说法正确的（）

A、“等腰四面体”各个面都是全等的锐角三角形 B、若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的体积是 $\sqrt{95}$ C、若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的内切球半径为 $\frac{\sqrt{570}}{24}$ D、若“等腰四面体”三组对棱长度分别为a，b，c，则四面体的外接球半径为 $\frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

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10、有下列说法，其中正确的说法为（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为 $△ A B C$ 的内心，若 $a cos B - b cos A = c - b$ ，且 $\vec{A I} = \frac{\sqrt{3}}{3} \vec{I B} + \frac{λ}{3} \vec{I C}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $3 - \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12、已知 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 2$ ，且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 夹角为 $\frac{π}{3}$ ，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的最小值为（）

A、-8 B、-4 C、-2 D、2

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13、用斜二测画法画水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .已知 $O^{'}$ 是斜边 $B^{'} C^{'}$ 的中点，且 $O^{'} A^{'} = 1$ ，则 $△ A B C$ 边 $B C$ 的高为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、4

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14、下列说法正确的是（）

A、有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B、如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 C、棱台的各侧棱延长后必交于一点 D、以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台

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15、若 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，其中i是虚数单位，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、i C、 $- 1$ D、 $- i$

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16、已知 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (x, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别 $F_{1}, F_{2}, M$ 为椭圆 $C$ 上任意一点， $|F_{1} F_{2}| = 2, |M F_{1}| + |M F_{2}| = 4$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $N$ 为圆 $C_{1} : {(x - 5)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 上任意一点，求 $|M N| + |M F_{2}|$ 的最小值；

(3)、已知直线 $l : y = k x + 1, (k \neq 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，且与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $E$ 为坐标平面内不在直线 $l$ 上的动点，若直线 $A E, D E, B E$ 斜率的倒数成等差数列，证明：动点 $E$ 在定直线 $L$ 上，并求直线 $L$ 的方程.

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18、已知函数 $f (x) = a x e^{x} + 1$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 0]$ 上的最大值和最小值；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq ln x + x + 2$ ；

(3)、若 $\forall x \in [\frac{1}{e}, + \infty), f (x) \leq x^{2} ln x - x^{3} + x^{2} + 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、2025年春节联欢晚会中的创意融合舞蹈《秧BOT》轰动全球，标志着中国的服务机器人技术达到世界一流水平.某人工智能企业的服务机器人研发部，自2018年至2024年投入巨资进行服务机器人技术研究开发，取得了巨大的成就.该企业试产了三类不同型号的服务机器人 $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ ，对其进行两次智能模仿成年人活动检测.

(1)、若 $H_{1}$ 型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功，则第二次检测成功的概率为 $\frac{9}{10}$ ；若第一次检测不成功，则第二次检测成功的概率为 $\frac{3}{4}$ .已知 $H_{1}$ 型服务机器人第一次检测成功的概率为 $\frac{4}{5}$ ，求 $H_{1}$ 型服务机器人第二次检测成功的概率；

(2)、试产 $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ 型服务机器人进行两次仿成年人综合试验检测，已知第一次检测时， $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ 型合格的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{3}{5}$ ，第二次检测时， $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ 型合格的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3}$ .两次检测相互独立，设经过两次检测后， $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ 型服务机器人合格的种类数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 4, a_{1} + a_{3} + a_{5} = 18$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} + b_{4} = 9, b_{2} + b_{5} = 18$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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