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相关试卷

1、已知 $sin α = - \frac{3}{5}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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2、如图，正方形 $A M N D$ 和正方形 $B M N C$ 有公共边，与向量 $\vec{A N}$ 相等的向量为（）

A、 $\vec{D M}$ B、 $\vec{M C}$ C、 $\vec{N B}$ D、 $\vec{A D}$

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3、 $cos 36 ° cos 6 ° + sin 36 ° sin 6 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4、法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下：如果函数 $y = f (x)$ 满足如下条件：①在闭区间 $[a, b]$ 上的图象是连续的；②在开区间 $(a, b)$ 上可导，则在开区间 $(a, b)$ 上至少存在一个实数 $ξ$ ，使得 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f^{'} (ξ)$ 成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.

(1)、已知 $f (x) = 2 x + \frac{1}{x} + m ln x, \forall a, b \in (1, 3)$ 且 $a < b$ ，
（i）若 $\frac{f (a) - f (b)}{a - b} > 1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；
（ii）当 $- 1 \leq m < 0$ 时，求证： $\frac{2 f (a) + f (b)}{3} > f (\frac{2 a + b}{3})$ .

(2)、已知函数 $g (x) = x ln \frac{a e^{x}}{x} + a e^{x} - x (a > 0)$ 有两个零点，记作 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $0 < 2 x_{1} < x_{2}$ ，证明： $e^{x_{1} + 2 x_{2}} > 32$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 3}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{9}{10}$ .

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6、 ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式中，常数项为.

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7、已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (Δ x - 2) - f (- 2)}{Δ x} < 0$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 有最大值

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8、已知 $A, B$ 分别为曲线 $y = e^{x} + x + 1$ 和直线 $y = 2 x - 3$ 上的点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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9、若 $C_{12}^{m} = C_{12}^{m - 2}$ ，则 $C_{m}^{1} + C_{m}^{2} + \dots + C_{m}^{m}$ 的值为（）

A、63 B、64 C、127 D、128

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10、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = x^{3} + 2 x f^{'} (1) - \ln x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、 $0$

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11、某物体的位移 $y$ (单位： $m$ )与时间 $t$ (单位： $S$ )满足函数关系式 $y = a \sin t - t$ ，其中 $a$ 为常数.若当 $t = 0$ 时，该物体的瞬时速度为 $1 m / s$ ，则当 $t = \frac{π}{2}$ 时，该物体的瞬时速度为（）

A、 $1 m / s$ B、 $- 1 m / s$ C、 $\sqrt{3} - 1 m / s$ D、 $\sqrt{3} + 1 m / s$

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12、已知函数 $f (x) = (x - m) 2^{x} + 2 x + 2 m - 4$ 有三个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $3 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ 的最小值为.

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13、某科技公司研发了5款不同功能的AI助手，其功能分别为：文字创作、图像生成、语音交互、数据计算、智能编程，现将这5款助手分配给甲、乙、丙三个小组进行测试，规定每个小组至少分到1款AI助手且智能编程功能的必须分配给甲组．符合条件的分配方案共有种．

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14、已知向量 $\vec{a}$ ＝（1，2）与向量 $\vec{b}$ ＝（m，3）满足 $\vec{a} ⫽ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ＝.

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15、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，已知正四面体 $S A B C$ 的四个顶点的坐标为 $A (0, 0, 0)$ ， $B (2 \sqrt{6}, 0, 0)$ ， $C (\sqrt{6}, 3 \sqrt{2}, 0)$ ， $S (m, n, t) (t > 0)$ ，点 $N (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 在四面体 $S A B C$ 外接球的球面上，且 $C N ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $H (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 在四面体 $S A B C$ 内切球的球面上，则下列结论正确的有（）

A、 $m n t = 8 \sqrt{3}$ B、 $|\vec{H N}|$ 的最大值是最小值的2倍 C、四面体 $S A B C$ 外接球的体积为 $108 π$ D、当 $|\vec{H N}|$ 取得最小值时，点 $H$ 的坐标为 $(\sqrt{6}, \frac{5 \sqrt{2}}{3}, \frac{4}{3})$

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16、已知函数 $f (x) = cos (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (\frac{3π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{3} + 3 x + a, x \leq 1 \\ - \ln x + 2, x > 1 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = b (b \in R)$ 恒有解，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(- \infty, 4]$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0]$

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18、若圆 $A ： {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上存在两点 $M ， N$ ，直线 $l ： x + y + a = 0$ 上存在点 $P$ ，使得 $∠ M P N = 90 °$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 10, 6]$ B、 $(- \infty, - 10]\cup[6, + \infty)$ C、 $[- 5, 3]$ D、 $(- \infty, - 5]\cup[3, + \infty)$

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19、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $a_{6} = 4$ ， $T_{6} = 512$ ，则 $a_{21} =$ （）

A、8 B、16 C、24 D、32

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20、圆锥的底面半径为 6 ，高为 6 ，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（）

A、 $4π$ B、 $8π$ C、 $16π$ D、 $32π$

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