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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} - x$ ，设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = a$ 的三个交点的横坐标，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、存在实数 $a$ ，使得 $x_{2} - x_{1} > 1$ B、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{1} > 3$ C、存在实数 $a$ ，使得 $x_{3} - x_{2} > 3$ D、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{2} > 1$

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2、知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$

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3、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 8^{x}}{x \cdot a^{x}} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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4、已知向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，定义新运算： $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ .若函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则称 $f (x)$ 为向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的点积函数.例如：向量 $\vec{a} = (2, x)$ ， $\vec{b} = (\cos x, - 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的点积函数 $f (x) = 2 \cos x - x$ .

(1)、若向量 $\vec{m} = (1, - 1)$ ， $\vec{n} = (u \cos x, v \sin x)$ （ $u$ ， $v \in R$ ），且向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的点积函数 $f (x) = 2 \cos x + 2 \sin x$ ，求 $|\vec{n}|$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{m} = (\sin^{2} x, 4)$ ， $\vec{n} = (1, \cos x - 1)$ ，求向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的点积函数 $g (x)$ 的值域；

(3)、若向量 $\vec{m} = (sin (2 x - \frac{π}{6}), 4)$ ， $\vec{n} = (2, cos (2 x + \frac{π}{3}))$ 的点积函数为 $h (x)$ ，且存在 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ ，使得 $- 2 \leq h (x) + k \leq 3$ 成立，求 $k$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = m - |x - 2|$ ， $m \in R$ ，且 $f (x + 2) \geq 0$ 的解集为 $[- 1, 1]$
（1）求 $m$ 的值；
（2）若 $a, b, c \in R$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} = m$ ，求证 $a + 2 b + 3 c \geq 9$

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6、（1）已知 $x > 0$ ，求 $y = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 的最大值.
（2）已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + 3 y = 6$ ，求 $x y$ 的最大值.

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7、已知集合 $\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，将 $x_{i}$ 与 $x_{j}$ （其中 $i \in \{1, 2, 3\}$ ， $j \in \{4, 5, 6\}$ ）的乘积 $ x_{i} x_{j}$ 放入如图的 $3 \times 3$ 方格中，则方格中全部数之和的最大值为.
$x_{1} x_{4}$
$x_{1} x_{5}$
$x_{1} x_{6}$
$x_{2} x_{4}$
$x_{2} x_{5}$
$x_{2} x_{6}$
$x_{3} x_{4}$
$x_{3} x_{5}$
$x_{3} x_{6}$

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8、一个圆锥恰有三条母线两两夹角为 $60 °$ ，若该圆锥的侧面积为 $3 \sqrt{3} π$ ，则该圆锥的体积为.

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9、函数 $f (x) = {log}_{3} (a^{x} - 2^{- x})$ （ $a > 1$ ），若 $f (x) > 1$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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10、双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线的斜率为 $k$ ，若 $0 < k < 1$ ，则 $a$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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11、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} - a e^{x} + 1$ 有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $0 < a < \frac{2}{e}$ C、 $0 < a \leq \frac{2}{e}$ D、 $a \geq \frac{2}{e}$

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13、下列选项中正确的是（）

A、若 $a c > b c$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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14、设函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A ＞ 0 ， ω ＞ 0 ， |φ| ＜ \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则f（0）＝

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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15、在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为 $X_{n}$ ，其期望为 $E (X_{n})$ ．

(1)、求 $P (X_{2} = 4)$ 与 $P (X_{3} = 5)$ ；

(2)、求 $E (X_{2})$ ；

(3)、证明： $E (X_{n}) > n \ln (n + 1)$ ．
附：①若随机变量 $X$ 的可能取值为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, \cdot \cdot \cdot$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{+ \infty} (k \cdot P (X = k)) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} (k \cdot P (X = k))$
②若随机变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{n} E (ξ_{i})$ ．

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16、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF₂|，则双曲线的渐近线方程为．

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17、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = \frac{1}{4}, S_{3} = \frac{3}{4}$ ，则公比 $q =$ ．

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18、如图，直线 $l : y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象依次交于A，B，C三点，若 $| B C | = 2 | A B |$ ， $| A C | = 6$ ，则（）

A、 $m = 1$ B、 $ω = π$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、曲线 $y = f (x)$ 向右平移1个单位后关于原点对称

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19、设事件 $A, B$ 为两个随机事件， $P (A) \neq 0, P (B) \neq 0$ ，且 $P (\bar{A} | B) = P (B | A)$ ，则（）

A、 $P (B | \bar{A}) = P (\bar{B} | A)$ B、 $P (\bar{B} | A) = P (A | B)$ C、 $P (B | \bar{A}) = P (A | B)$ D、 $P (\bar{A} | B) = P (\bar{B} | \bar{A})$

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20、如图，在平行六面体 $A C_{1}$ 中， $E$ 是 $A B$ 的中点，过 $B_{1}, D_{1}, E$ 三点的截面 $D_{1} B_{1} E F$ 把平行六面体分成两个部分，则左右两部分体积之比为（）.

A、 $3 : 4$ B、 $5 : 7$ C、 $4 : 7$ D、 $7 : 17$

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$x_{1} x_{4}$	$x_{1} x_{5}$	$x_{1} x_{6}$
$x_{2} x_{4}$	$x_{2} x_{5}$	$x_{2} x_{6}$
$x_{3} x_{4}$	$x_{3} x_{5}$	$x_{3} x_{6}$