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相关试卷

1、已知定义在 $R$ 上的运算“ $\otimes$ ”： $x \otimes y = x (1 - y)$ ，若 $a < \frac{1}{2}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $(x - a) \otimes (x + a) > 0$ 的解集为.

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2、已知函数 $y = x^{2} - 4 x + 6$ ，当 $x \in [1, 4]$ 时，则函数的值域为， $\frac{y}{x + 1}$ 的最小值是.

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3、已知集合 $A = {x | a x + 1 = 0, a \in R}, B = \{x |x^{2} - x - 56 = 0\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数a的值可以是（）．

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、0 D、 $- \frac{1}{8}$

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4、已知 $a > b > c > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a - b > b - c$ C、 $\frac{b}{a - b} > \frac{c}{a - c}$ D、 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$

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5、某中学高中学生运动会，一班46名学生中有15名学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（）.

A、7 B、8 C、10 D、12

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6、下列四组函数，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}} ， g (x) = x$ B、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}, g (x) = x$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}, g (x) = \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 2}$ D、 $f (x) = \sqrt[3]{x^{3}}, g (x) = x$

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7、已知定点 $A (3, 1)$ 和直线 $l : x + y = 0$ ，动圆 $C$ 和直线 $l$ 相切，且过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切线长等于动圆 $C$ 的半径．

(1)、求圆 $C$ 的圆心的轨迹方程．

(2)、当圆 $C$ 的面积最小时，求圆 $C$ 的方程．

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8、在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $B C = 3$ ， $A C = 6$ ， $D, E$ 分别是 $A C, A B$ 上的点，满足 $D E / / B C$ 且 $D E$ 经过 $△ A B C$ 的重心，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C ⊥ C D$ ， $M$ 是 $A_{1} D$ 的中点，如图所示．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、在线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $N$ ，使平面 $C B M$ 与平面 $B M N$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，若存在，求出 $C N$ 的长度；若不存在，请说明理由．

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9、如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = 3$ ， $B P = 3$ ， $C F = \frac{1}{3} C P$ ， $D E = \frac{1}{3} D A$ ．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B P$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $A D F$ 所成角的余弦值．

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10、我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年我校进行一次数学考试，从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组 $[40, 50)$ ，第2组 $[50, 60)$ ，第3组 $[60, 70)$ ，第4组 $[70, 80)$ ，第5组 $[80, 90)$ ，第6组 $[90, 100]$ ，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)、利用组中值估计本次考试成绩的平均数；

(2)、已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．

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11、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $b^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} b c \sin A + c^{2} = a^{2}$

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求 $a$ 和 $\sin (2 B)$ 的值．

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12、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是梭 $B C$ 、 $C C_{1}$ 的中点， $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的动点，且 $P C_{1} //$ 平面 $A E F$ ，则点 $P$ 的轨迹长为，点 $P$ 到直线 $A F$ 的距离的最小值为.

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13、已知平面上直线 $l$ 的方向向量 $\vec{e} = (- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ ，点 $O (0, 0)$ 和 $A (1, - 2)$ 在 $l$ 上的射影分别为 $O_{1}$ 和 $A_{1}$ ，则 $\overset{⃑}{O_{1} A_{1}} = λ \vec{e}$ ，其中 $λ =$ .

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14、两圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 2 = 0$ ， $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ 的公切线有且仅有条．

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15、已知O为坐标原点，过点 $P (- 5, 0)$ 的直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（）

A、直线l的斜率k的取值范围是 $(- \frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ B、点M的轨迹为圆的一部分 C、 $\vec{P O} \cdot \vec{P M}$ 为定值 D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 为定值

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16、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）

A、若 $sin A > sin B$ ，则 $a > b$ B、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则△ABC为等腰三角形 C、若 $B = 30 °$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，则符合条件的三角形有2个 D、若△ABC的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，则 $A = \frac{π}{3}$

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17、在区间 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 内，曲线 $f (x) = tanπ x$ 和 $y = 4 x$ 交点间的线段长的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{4}$ C、 $\sqrt{17}$ D、4

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18、在 $△ A B C$ 中，已知三个内角为 $A, B, C$ 满足 $sin A : sin B : sin C = 4 : 5 : 6$ ，则三角形的形状（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定

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19、四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}, \vec{O M} = \vec{M A}, \vec{B N} = \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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20、向量 $\overset{⃑}{a} = (1, - 2)$ 与 $\overset{⃑}{b} = (2, m)$ 垂直，则 $m =$ （）

A、－1 B、1 C、－4 D、4

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