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相关试卷

1、设全集 $U = {x \in Z ∣ (x + 4) (x - 3) < 0}$ ，集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ，则集合 $∁_{U} A$ 为（）

A、 $\{- 4, - 3, - 2, - 1\}$ B、 $\{- 3, - 2, - 1\}$ C、 $\{- 3, - 2, - 1, 3\}$ D、 $\emptyset$

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2、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A C = 2$ ， $B C = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A D ⊥ D C$ ，且二面角 $A - C P - D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ， E为PC中点．
①求AD的长度；
②求直线BE与平面 $C P D$ 所成角的正弦值．

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3、已知点 $P_{1} (t + 1, t)$ 在抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上，按照如下方法依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, 4, \dots \dots)$ ，过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为 $- 1$ 的直线与抛物线C交于另一个点 $Q_{n - 1}$ ，令 $P_{n}$ 为 $Q_{n - 1}$ 关于y轴对称的点，记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求t的值；

(2)、求证：数列 $\{x_{n}\}$ 是等差数列，并求 $x_{n}$ ；

(3)、记 $a_{n} = 2^{n - 1} x_{n}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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4、如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不正常工作的概率分别为 $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{3}$ ，各个部件是否正常工作相互独立．

(1)、求该电子元件第①条路是正常工作的概率；

(2)、求该电子元件能正常工作的概率．

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = 5$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} + 2^{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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6、已知斜率为 $1$ ，经过点 $Q (2, 1)$ 的直线l，交圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 于 $A, B$ 两点．

(1)、求直线l的方程；

(2)、求AB的长度．

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7、如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，则CD的长为．

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8、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 a_{n} (n \geq 2)$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、若 $a_{n} = 2^{n - 1}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 C、若 $a_{n + 1} - a_{n} = - 4$ ，则 $S_{n}$ 有最小值 D、若 $a_{1} = 16$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = - 4 n$ ，则 $a_{n} = - 2 n^{2} + 2 n + 16$

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9、如图，设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，点P是以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $P F_{2}$ 与椭圆交于点Q，若 $|P F_{1}| = 4 |Q F_{2}|$ ，则直线 $P F_{2}$ 的斜率为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{5}{3}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- 1$

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10、数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ ，若 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{k + 10} = \frac{1}{2} (3^{19} - 3^{9})$ ，则 $k =$ （）

A、11 B、10 C、9 D、8

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11、椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的长轴长为（）

A、12 B、10 C、8 D、6

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12、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，右顶点为 $A$ ， $|F A| = \sqrt{5} - 2.$

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、已知直线 $l$ 交该椭圆于 $M$ 、 $N$ 两点，且 $∠ M A N = 90^{°}$ ， $O$ 为坐标原点，当 $△ M O N$ 的面积最大时，求 $l$ 的方程.

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13、已知点 $A (- 2, 4)$ ， $B (- 1, - 3)$ ，若直线 $y = k x$ 与线段 $A B$ 有公共点，则 $k$ 的取值范围是.

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14、从1，2，4，5这4个数字中任取2个，则这2个数字之差的绝对值大于2的概率为.

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15、函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{3}) (|ω| \leq 1)$ 的图象如图所示，则下列说法中正确的有（）

A、 $ω = 1$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、若方程 $f (2 x) = m$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有2个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是 $[\sqrt{3}, 2]$ D、将 $y = f (x)$ 向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x) = 2 cos (x + \frac{π}{6})$

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16、已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$ ，则（）

A、 $f (\log_{2} 3) = \frac{4}{3}$ B、 $f (x)$ 的最小值为2 C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增

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17、为了解2025年贵州省青少年科普知识挑战赛，现将1000名学生科普竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）

A、a的值为0.005 B、估计这组数据的众数为75 C、估计成绩低于60分的有250人 D、估计这组数据的第85百分位数为85

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18、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 $| C D | = \sqrt{2} | A B |$ ．则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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19、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上， $O M = 2 M A$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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20、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90 °, D_{1}, F_{1}$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点， $B C = C A = C C_{1}$ ，则 $B D_{1}$ 与 $A F_{1}$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{70}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{15}$

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