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相关试卷

1、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（）

A、当P在线段 $B C_{1}$ 上运动时，四面体 $D_{1} - A P E$ 的体积为定值 B、当P在正方体表面上运动时，若 $A P ⊥ B_{1} E$ ，则P的轨迹长度为 $3 \sqrt{2} + \sqrt{5}$ C、当P在线段AE上运动时，直线 $D_{1} P$ 与AD成角最小值为 $\frac{π}{4}$ D、当P在线段 $A_{1} C$ 上运动时，四面体 $P - A B C$ 的外接球半径的取值范围为 $[\sqrt{2}, \sqrt{6})$

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2、给出下列命题，不正确的有（）

A、两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ C、若 $\vec{a}$ 为非零向量，则 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ 与 $\vec{a}$ 同向 D、已知 $λ$ ， $μ$ 为实数，若 $λ \vec{a} = μ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 A D$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点.设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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4、已知复数 $z = 1 + i$ ，则 $|\frac{z}{z - 2 i}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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5、如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ ，其中 $A^{'} B^{'} = 1$ ，则原图形的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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6、复数 $m + (m^{2} - 1) i$ 是实数，则实数 $m =$ （）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 1$ 或 $1$

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7、化简： $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{B A} - \vec{B C}$ 等于（）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{C A}$ C、 $\vec{B A}$ D、 $\vec{A B}$

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8、设n个不同的元素1，2，3，…，n的一个排列中，若每个元素都不在原来的位置，则称该排列为一个错位排列（也叫“错排”），记 $D_{n}$ 为n个元素的错位排列的总数．

(1)、求 $D_{1} ， D_{2} ， D_{3} ；$

(2)、求证： $\{D_{n + 1} - (n + 1) D_{n}\}$ 是等比数列；

(3)、求证： $D_{n} = n! \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{{(- 1)}^{i + 1}}{(i + 1)!} (n \geq 2)$ .

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9、已知 ${(x + \frac{1}{2 x^{2}})}^{n}, (n \geq 4, n \in N^{*})$ 的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为 $15 : 2$ ．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中系数最大项．

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10、一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为3盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了盏灯．

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11、下列求导数的运算正确的是（）

A、 ${(x^{3} - \frac{1}{x})}^{'} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ B、 $(\ln 2)^{'} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x e^{x})}^{'} = (x + 1) e^{x}$ D、 $(x \cdot \cos x)^{'} = - \sin x$

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12、若函数 $f (x) = x - \frac{1}{3} \sin 2 x + a \sin x$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[- 1, \frac{1}{3}]$ C、 $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ D、 $[- 1, - \frac{1}{3}]$

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13、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} + a_{9} = 12$ ，则 $S_{11}$ 的值为（）

A、33 B、44 C、66 D、132

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14、已知实数 $m$ 是1，4的等比中项，则 $m =$ （）

A、 $\pm 4$ B、 $- 4$ C、 $\pm 2$ D、 $- 2$

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15、如图，从 $A \to C$ （图中不能折返回 $A$ ）不同的走法有（）

A、8种 B、6种 C、4种 D、2种

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16、某分布式存储系统中，数据块容量上限为 $N (N \in N^{*}, N \geq 2)$ ，数据块的初始数量为 $M (M \in N, M \leq N)$ .系统运行遵循以下规则：
①在每一时间步，系统以概率 $p (0 < p < 1)$ 执行清理操作（数据块的数量减 $1$ ），以概率 $1 - p$ 执行写入操作（数据块的数量加 $1$ ）；
②当数据块的数量为 $0$ （成功复位）或为 $N$ （内存溢出）时，系统运行立即终止.
记当数据块的数量为 $k (0 \leq k \leq N, k \in N)$ 时，系统最终以“成功复位”状态终止的概率为 $a_{k}$ .

(1)、直接写出 $a_{0}$ 、 $a_{N}$ 的数值，并写出 $a_{k - 1}$ 、 $a_{k}$ 、 $a_{k + 1} (1 \leq k \leq N - 1)$ 的关系式；

(2)、当 $p = \frac{1}{2}$ 时，比较系统最终以“成功复位”与“内存溢出”状态终止的概率大小关系；

(3)、已知：若随机变量 $X$ 的取值不会影响随机变量 $Y$ 的概率分布列，则称 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且满足 $E (X Y) = E (X) \cdot E (Y)$ .记 $X_{n}$ 为系统运行 $n$ 步后的数据块的数量（假设系统在此期间未终止）.当 $p \neq \frac{1}{2}$ 时，若 $E (λ^{x_{n}})$ 与 $n$ 无关，求正实数 $λ (λ \neq 1)$ 的值.

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17、如图，在圆柱 $O O_{1}$ 中， $A B$ 是圆 $O$ 的一条直径， $C D$ 是圆柱 $O O_{1}$ 的母线，其中点 $C$ 与 $A$ ， $B$ 不重合， $\vec{B M} = \vec{M N} = \vec{N D}$ ， $A B = 2$ ， $C D = 3$ .

(1)、若平面 $C O M$ 和平面 $C A N$ 的交线为 $l$ ，证明： $l //$ 平面 $A B D$ ；

(2)、设平面 $C O M$ 、平面 $C A N$ 和底面圆 $O$ 所成的锐二面角分别为 $α$ 和 $β$ ，若 $α = β$ ，求平面 $A B D$ 和底面圆 $O$ 所成的锐二面角 $γ$ 的正切值.

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ .

(1)、若 $a = 3$ ，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) - f (- x) \geq 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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19、已知动圆 $Q$ 过定点 $P (4, 0)$ ，且在 $y$ 轴上截得的弦长为8，设动圆圆心 $Q$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $F (2, 0)$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在点 $N$ ，使得 $△ A B N$ 为等边三角形？若存在，求出相应直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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20、在 $△ A B C$ 中，设内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 $c \cos B + (2 a + b) \cos C = 0$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $a + b = 4$ ，求 $\sin A \sin B$ 的值.

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