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1、2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了“双减”政策，极大缓解了教育的“内卷”现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图所示.它的画法是这样的：取第一个正方形 $A B C D$ 各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形 $M N P Q$ ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形 $A B C D$ 边长为 $a_{1}$ ，后续各正方形边长依次为 $a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$ ；如图阴影部分，设直角三角形AEH面积为 $b_{1}$ ，后续各直角三角形面积依次为 $b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}, \dots$ ，若 $a_{1} = 8$ ，下列说法中正确的个数是（）
$①$ $a_{3} = 5;$
$②$ $b_{3} = \frac{75}{32};$
$③$ $\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} b_{i} = 16;$
$④$ $a_{n} \cdot b_{n}$ 是公比为 $\frac{5}{8}$ 的等比数列.

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、对于函数 $f (x)$ ，若存在区间 $A = [m, n]$ 使得 ${y | y = f (x), x \in A} = A$ 则称函数 $f (x)$ 为“同域函数”，区间A为函数 $f (x)$ 的一个“同城区间”.给出下列四个函数：
① $f (x) = \cos \frac{π}{2} x$ ；② $f (x) = x^{2} - 1$ ；③ $f (x) = | x^{2} - 1 |$ ；④ $f (x) = \log_{2} (x - 1)$ .
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是

A、①②③ B、①② C、②③ D、①②④

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3、已知函数 $f (x) = \frac{2}{π} \sin π x - f^{'} (1) x + 2$ ，则 $f (2) =$ （）

A、 $\frac{2}{π} + 2$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $0$

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4、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |3^{x} - 1|, x \leq 2 \\ x^{2} - 10 x + 24, x > 2 \end{array}$ ，函数 $g (x) = 3 f^{2} (x) - (m + 3) f (x) + m$ 有6个零点，则非零实数m的取值范围是（）

A、 $(2, 16)$ B、 $[2, 16)$ C、 $(3, 24)$ D、 $[3, 24)$

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5、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，其准线方程为 $x + 1 = 0$ ，直线 $l$ 过点 $T (t, 0) (t > 0)$ 且与抛物线交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、当 $t = 2$ 时，求证： $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值与直线 $l$ 的倾斜角的大小无关；

(3)、若 $P$ 为抛物线上的动点，记 $| P T |$ 的最小值为 $d (t)$ ，求函数 $y = d (t)$ 的解析式.

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6、四棱锥 $P - A B C D$ ， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ， $A D // B C$ ， $P A = 2$ ， $A B = 1$ ， $B C = 1$ ， $A D = 2$ ， M是PD中点.

(1)、求证： $C M //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A D$ ，
①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值；
②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为 $\sqrt{2}$ ？若存在，求出 $\frac{B Q}{B D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 3 a_{n}}$ .

(1)、求 $a_{2}, a_{3}$ 的值；

(2)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

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8、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n + 1} - 3 n$ （ $n \in N^{*}$ ），则 $a_{n} =$ .

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9、已知 $P, Q$ 两点分别在圆 $C_{1} : x^{2} + {(y - 12)}^{2} = 9$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 10 x + 21 = 0$ 上，则 $|P Q|$ 的最小值为.

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10、已知椭圆 $C : 3 x^{2} + 4 y^{2} = 48$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是 $C$ 上任意一点，则（）

A、 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $|P F_{1}|$ 的最小值为3 C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为12 D、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最大值为16

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11、下列说法正确的是（）

A、已知 $\vec{A B} = (1, 2, - 1)$ ， $\vec{B C} = (2, 4, - 3)$ ，则A，B，C三点共线. B、已知 $\vec{a} = (0, 1, 4)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \vec{b}$ ， C、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点P为平面 $A B C$ 上的一点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + m \vec{O B} + n \vec{O C} (n, m \in R)$ ，则 $m + n = \frac{1}{2}$ D、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (3, 0, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 9, 0, 3)$ ，则 $l / / α$

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12、“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 $P （ x, y ）$ 是阴影部分（包含边界）的动点，则 $\frac{y}{x - 2}$ 的最小值为（）

A、-1 B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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13、如图所示，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在 $O A$ 上，且 $\vec{O M} = \frac{2}{3} \vec{O A}$ ，点N为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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14、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点 $F$ 与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点 $A (m, - 2 \sqrt{3})$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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15、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点A在C上， $A F_{2} ⊥ x$ 轴，过点A作y轴垂线，垂足为B，直线 $B F_{2}$ 的方程为 $y = - 2 x + 2$ ，则 $|A F_{1}| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $2 \sqrt{5}$

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16、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 15$ ，则 $a_{2} + a_{8} =$ （）

A、5 B、6 C、10 D、15

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17、已知直线 $l : \sqrt{3} x + 3 y + 8 = 0$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150 °$

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18、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, m, 2)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、4 D、6

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $\vec{A D} = λ \vec{A C}$ ， $λ \in (0, 1)$ ，将点A沿BD折起到点P的位置，点E为PC的中点，点G为 $△ B C D$ 的重心．

(1)、求证：EG不平行于平面PBD；

(2)、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，平面 $P B D ⊥$ 平面BCD，求二面角B-PC-D的正弦值．

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20、欧拉函数 $φ (n)$ (n∈ $N^{*}$ )的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如： $φ (1) = 1$ ， $φ (3) = 2$ ， $φ (4) = 2$ ， $φ (5) = 4$ ，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的因数 1 和2，3 的因数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的.

(1)、求 $φ (3^{2})$ ， $φ (3^{3})$ ；

(2)、猜测 $φ (3^{n})$ 的值（不要求证明）；

(3)、令 $a_{n} = \frac{3}{2} φ (3^{n})$ ，求数列 $\{\frac{\log_{3} a_{n}}{a_{n}}\}$ 的前n项和．

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