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相关试卷

1、 ${(2 x + y - 1)}^{6}$ 的展开式中，含 $x y^{4}$ 的项的系数是（）

A、 $- 60$ B、 $- 30$ C、30 D、60

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2、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的方差 $s^{2} = 0$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x_{1})}^{2} =$ （）

A、 $n^{2}$ B、 $n$ C、1 D、0

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3、复数 $z$ 满足 $|z - 1| - |z + 1| = 1$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点的轨迹为（）

A、圆 B、双曲线的一支 C、椭圆 D、抛物线

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4、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}, B = \{x ∣ {log}_{2} x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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5、已知 $△ A B C$ 且 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = {\vec{B A}}^{2}$ ，点 $P$ 为线段 $B C$ 上的动点， $B C = 2 A B = 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ B = \frac{π}{3}$ B、若 $P$ 为线段 $B C$ 的中点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 4$ C、 $\vec{A C} \cdot \vec{C B} = - 12$ D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围为 $[- \frac{1}{2}, 12]$

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6、计算： $sin 30 ° cos 15 ° + sin 60 ° sin 15 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{c}| = |\vec{b} - \vec{c}| = 3$ ， $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ （ $λ > 0$ ， $μ > 0$ ）.当 $λ + μ = 4$ 时， $|c| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{58}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{62}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{66}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{70}}{2}$

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8、已知 $A (1, 2)$ ， $B (- 1, 0)$ ，则 $\vec{A B} =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(- 2, - 2)$ D、 $(0, - 2)$

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9、已知 $\{a_{n}\}$ 是无穷正整数数列，且对任意的 $n \geq 3, a_{n + 1} = card \{k ∣ a_{k} = a_{n}, k \in {1, 2, \dots, n}\}$ ，其中 $card S$ 表示有穷集合S的元素个数．

(1)、若 $a_{1} = 2, a_{2} = 3, a_{4} = 2$ ，求 $a_{5}$ 的所有可能取值；

(2)、求证：数列 $\{a_{n}\}$ 中存在等于1的项；

(3)、求证：存在 $t \in N^{*}$ ，使得集合 $\{k \in N^{*} ∣ a_{k} = t\}$ 为无穷集合．

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10、已知函数 $f (x) = \frac{a \ln x + 1}{e^{x - 1}} (a \geq 0)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在单调递减区间，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = 1$ ，求 $a$ 的值．

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11、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $(0, \sqrt{3})$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设直线 $y = k x + 2 (k < 0)$ 与椭圆E交于不同的两点A，B，直线 $y = x$ 与直线 $A B$ 交于点N，若 $∠ A O N = ∠ B O N$ （O是坐标原点），求k的值．

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12、某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ 分组整理得到如下频率分布直方图：

(1)、从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；

(2)、从B地区评分为 $[80, 100]$ 的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)、根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为 $μ_{1}$ ， A，B两地区评分的平均值估计为 $μ$ ，比较 $μ_{1}$ 与 $μ$ 的大小关系．（直接写出结论）

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13、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C ⊥$ 侧面 $A C C_{1} A_{1}$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是边长为4的菱形， $∠ A_{1} A C = 120 °, B C_{1} = 5, A B = 3$ ．

(1)、求证：侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 为矩形；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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14、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、设函数 $g (x) = f (x - φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ ，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $g (x)$ 存在且唯一，求 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{2 π}{3}]$ 上的最大值和最小值．
条件①： $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增；
条件②： $g (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ ；
条件③： $g (x)$ 为偶函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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15、设 $a > 0$ ，过原点 $O$ 的直线（不与 $x$ 轴重合）与圆 $A : x^{2} + {(y - a)}^{2} = a^{2}$ 交于点P与直线 $y = 2 a$ 交于点 $Q$ ．过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，这两条直线交于点 $M (x, y)$ ，称 $y$ 为 $x$ 的箕舌线函数，记作 $y = f (x)$ ，给出下列四个结论：
①函数 $y = f (x)$ 的图象关于y轴对称；
②若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ；
③设函数 $h (x) = x f (x)$ ，则 $h (x)$ 的最大值为 $2 a^{2}$ ；
④设函数 $g (x) = f (x) + x^{2}$ ，则 $g (x)$ 的最小值为 $2 a$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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16、若直线 $y = \frac{1}{3} x$ 与双曲线 $C : y^{2} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为．

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17、在 $△ A B C$ 中， $a + c = 2 \sqrt{5}$ ，且 $\tan B = 2$ ，则 $\sin B =$ ； $△ A B C$ 面积的最大值为．

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18、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = - 8, a_{5} + a_{6} = 8$ ，则 $a_{3} + a_{4} =$ ；设 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则使 $S_{n} > 0$ 的 $n$ 的最小值为．

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19、若复数z满足 $z \cdot i = 2 + i$ ，则 $| z | =$ ．

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20、设无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，定义 $σ_{k} = \frac{S_{1} + S_{2} + \dots + S_{k}}{k} (k = 1, 2, 3, \dots)$ ，则（）

A、当 $a_{n} = 1$ 时， $\frac{σ_{2025}}{S_{2025}} < \frac{1}{2}$ B、当 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1}$ 时， $\frac{σ_{2025}}{S_{2025}} < \frac{1}{2}$ C、当 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ 时，则 $σ_{2025} - S_{2025} > 0$ D、当 $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ 时， $σ_{2025} - S_{2025} > - \frac{1}{2025}$

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