甘肃省靖远县第二中学2025届高三下学期高考模拟测试数学试题

试卷更新日期：2025-04-24 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $a \in R, i$ 是虚数单位， $(a + 2 i) (a - 2 i) = 4$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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2. 已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x < 2\}, B = \{y \in N ∣ y = x^{3}, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $[0, 2)$ C、 $\{1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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4. 已知两个不同的平面 $α, β$ ，一条直线 $m$ ，下列命题是假命题的是（）

A、若 $α$ $∥$ $β, m$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $β$ B、若 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ C、若 $α$ $∥$ $β, m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α, m$ $∥$ $β$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 已知动点 $P$ 的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（）

A、 $16 - 4 π$ B、 $4 + π$ C、 $4 + 2 π$ D、 $12 - 2 π$

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6. 已知 $0 < a < 1 < b$ ，则（）

A、 $b^{a} < a^{b} < a^{a} < b^{b}$ B、 $a^{b} < a^{a} < b^{a} < b^{b}$ C、 $b^{b} < a^{b} < a^{a} < b^{a}$ D、 $a^{b} < b^{a} < a^{a} < b^{b}$

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7. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $E : \frac{y^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{x^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相等的焦距，离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则 $e_{2} - e_{1}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x + cos x - \sqrt{\frac{x}{2}}$ ，则 $f (x)$ 的零点个数为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 某汽车公司为了宣传 $A, B$ 两款新能源汽车，邀请8名业内人士试驾，就新款汽车的驾乘感受进行评分，最高分数为10分.试驾结束后，评分如下表：
A
9.9
9.5
9.6
9.4
9.7
9.8
9.9
9.7
B
9.7
9.5
9.8
9.7
9.7
9.9
9.8
9.6
下列说法正确的是（）

A、A，B两款汽车评分数据的众数相同 B、A，B两款汽车评分数据的中位数相同 C、若将评分数据乘以10，则新数据的方差为原数据的方差的10倍 D、A款汽车评分数据去掉一个最低分和一个最高分后所得数据的极差小于原数据的极差

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - 3 x (a > 0)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的图象上不存在关于 $(0, - 1)$ 对称的两点 D、当 $f (x)$ 的极小值大于 $- 7$ 时， $a$ 的取值范围为 $(0, \frac{9}{4})$

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11. 某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 的距离的倒数之和等于1的点 $P$ 的轨迹，如图所示，则（）

A、 $\sqrt{2} \leq |P F_{1}| \leq 2 + \sqrt{2}$ B、 $|P O|$ 的最小值为2 C、当点 $P$ 不在坐标轴上时，点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的外部 D、当点 $P$ 的坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ 时， $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 随着 $|x_{0}|$ 的增大而增大

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知圆台 $O_{1} O_{2}$ ，其上底面圆 $O_{1}$ 的直径为2，下底面圆 $O_{2}$ 的直径为8，母线长为5，则该圆台的体积为.

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13. 某公司有5名员工要去参加 $A, B, C$ 三项工作，每项工作都至少需要一人参加，且每人的精力只够参加一项工作，一共有种不同的安排方案.

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14. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 满足 $f (x) + g (x) = 2 + cos x + sin x$ ，且 $sin α + cos β = \sqrt{3}, cos α + sin β = 0$ ，则 $f (α + β) =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、求证： $A_{1} E ⊥ B_{1} D_{1}$ .

(2)、求直线 $A_{1} E$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值.

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16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = 2 b, c = 3, cos A = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $sin B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求 $cos (C - B)$ 的值.

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17. 已知抛物线 $E : y^{2} = a x (a > 0), P$ 为 $E$ 上一动点，且点 $P$ 与点 $A (1, 0)$ 之间的最小距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、连接 $P, A$ 并延长交抛物线 $E$ 于另一点 $Q$ ，若 $|P Q| = 2 |O Q|$ （ $O$ 是原点），求点 $P$ 的横坐标.

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18. 已知函数 $f (x) = a^{2} e^{x} - 3 a x + 2 sin x, a \neq 0$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $a > \sqrt{2}$ ，且 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明：当 $a \in [1, + \infty)$ 时， $f (x) \geq cos x$ .

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19. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若存在实数 $R > 0$ ，使得点 $(a_{n}, S_{n})$ 位于平面直角坐标系上以原点为圆心，半径为 $R$ 的圆内（含边界），则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有“ $R$ 圆性质”.

(1)、设数列 $\{a_{n}\}$ 是首项与公比均为 $- 1$ 的等比数列，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 具有“ $\sqrt{2}$ 圆性质”.

(2)、若各项均为非负整数的数列 $\{a_{n}\}$ 具有“ $R$ 圆性质”，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 中非零的项数不超过 $R$ .

(3)、设随机变量 $X_{n}$ 等可能地取 $- 1, 0, 1 (n = 1, 2, \dots)$ ，且不同的 $X_{n}$ 的取值是相互独立的.对于正整数 $m$ ，定义数列 $\{A_{m}\}$ ：前 $m$ 项为 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{m}$ ，从第 $m + 1$ 项起各项均为0.记数列 $\{A_{m}\}$ 具有“ $\sqrt{2}$ 圆性质”的概率为 $p_{m}$ ，证明：对任意正整数 $m, p_{m} \geq {(\frac{2}{3})}^{m - 1}$ .

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A	9.9	9.5	9.6	9.4	9.7	9.8	9.9	9.7
B	9.7	9.5	9.8	9.7	9.7	9.9	9.8	9.6