【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学试卷

试卷更新日期：2025-06-16 类型：高考真卷

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一、选择题。共10小题，每题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 集合 $M = {x | 2 x - 1 > 5}$ ， $N = {1, 2, 3}$ ，则 $M ∩ N$ =（）

A、{1，2，3} B、{2，3} C、{3} D、 $ϕ$

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2. 已知复数z满足 $i \cdot z + 2 = 2 i$ ，则|z|=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、4 D、8

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3. 双曲线 $x^{2} - 4 y^{2} = 4$ 的离心率为（）。

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 为得到函数y=9^x的图象，只需把函数y=3^x的图象上的所有点（）

A、横坐标变成原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变 B、横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C、纵坐标变成原来的 $\frac{1}{3}$ 倍，横坐标不变 D、纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变

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5. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列，a₁=-2，若a₃ ， a₄ ， a₆成等比数列，则a₁₀=（）

A、-20 B、-18 C、16 D、18

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6. 已知a>0，b>0，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{1}{a b}$ C、 $a + b > \sqrt{a b}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq \frac{2}{\sqrt{a b}}$

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7. 已知函数f（x）的定义域为D，则“函数f（x）的值域为R”是“对任意 $M \in R$ ，存在 $x_{0} \in D$ ，使得|f（x₀）|＞M”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 设函数 $f (x) = s i n (ω x) + c o s (ω x) (ω > 0)$ ，若 $f (x + π) = f (x)$ 恒成立，且f（x）在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上存在零点，则 $ω$ 的最小值为（）。

A、8 B、6 C、4 D、3

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9. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间 $T = k l o g_{2} N$ （单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从10⁶个单位增加到1.024×10⁹个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×10⁹个单位增加到4.096×10⁹个单位时，训练时间增加（单位：小时）（）

A、2 B、4 C、20 D、40

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10. 已知平面直角坐标系 xOy 中， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{A B} | = 2$ ，设 C（3，4），则 $2 \vec{C A} + \vec{A B}$ 的取值范围是（）。

A、[6，14] B、[6，12] C、[8，14] D、[8，12]

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二、填空题。共5小题，每小题5分,共25分。

11. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的顶点到焦点的距离为3，则p=.

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12. 已知 $(1 - 2 x)^{4} = a_{0} - 2 a_{1} x + 4 a_{2} x^{2} - 8 a_{3} x^{3} + 16 a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ .

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13. 已知 $α, β \in [0, 2 π]$ ，且 $s i n (α + β) = s i n (α - β)$ ， $c o s (α + β) \neq c o s (α - β)$
写出满足条件的一组α= ， β=.

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14. 某科技兴趣小组使用3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形，平面 $A F R ⊥$ 平面ABC，平面 $C D T ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ B C$ ， $A B ∥ E F ∥ R S ∥ C D$ ， $B C ∥ D E ∥ S T ∥ A F$ ，若 $A B = B C = 8$ ， AF=CD=4，RA=RF=TC=TD= $\frac{5}{2}$ ，则该多面体的体积为.

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15. 关于定义域为R的函数f（x），以下说法正确的有.
①存在在R上单调递增的函数f（x）使得f（x）+f（2x）=-x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f（x）使得f（x）+f（2x）=-x恒成立；
③使得f（x）+f（-x）=cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个；
④使得f（x）-f（-x）=cosx恒成立的函数f（x）存在且有无穷多个.

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三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16. 在△ABC中， $c o s A = - \frac{1}{3}$ ， $a s i n C = 4 \sqrt{2}$

(1)、求c；

(2)、在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高.
① $a = 6$ ， ② $b s i n C = \frac{10 \sqrt{2}}{3}$ ， ③ $Δ A B C$ 面积为 $10 \sqrt{2}$

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17. 四棱锥P—ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90° ，E为BC的中点.

(1)、F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥面PAB；

(2)、若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求AB与面PCD所成角的正弦值.

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18. 某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.

(1)、估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率ρ；

(2)、从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；

(3)、假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100％，乙校学生选择正确的概率为85％.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小（结论不要求证明）.

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19. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.

(1)、求椭圆方程；

(2)、设O为原点， $M (x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq 0)$ 为椭圆上一点，直线 $x_{0} x + 2 y_{0} y - 4 = 0$ 与 $y = 2$ 和y=-2分别相交于A、B两点，设△OMA和△OMB的面积分别为S₁和S₂ ，比较 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 和 $\frac{| O A |}{| O B |}$ 的大小.

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20. 函数f（x）定义域为 $(- 1, + \infty)$ ，且f（0）=0， $f^{'} (x) = \frac{l n (x + 1)}{x + 1}$ ， f（x）在A（a，f（a））（a≠0）
处的切线为l₁.

(1)、求 $f^{'} (x)$ 的最大值；

(2)、证明：当 $- 1 < a < 0$ ，除切点 $A$ 外， $y = f (x)$ 均在 $l_{1}$ 上方；

(3)、当 $a > 0$ 时，直线 $l_{2}$ 过点 $A$ 且与 $l_{1}$ 垂直， $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与 x 轴的交点横坐标分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $\frac{2 a - x_{2} - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 的取值范围.

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21. A={1，2，3，4，5，6，7，8}， $M = {(x_{i}, y_{i}) | x_{i} \in A, y_{i} \in A}$ ，从 $M$ 中选出 $n$ 构成一列： $(x_{1}, y_{1}), ⋯, (x_{n}, y_{n})$ .相邻两项 $(x_{i}, y_{i}), (x_{i + 1}, y_{i + 1})$ 满足： $\{\begin{cases} | x_{i + 1} - x_{i} | = 3 \\ | y_{i + 1} - y_{i} | = 4 \end{cases}$ 或 $\{\begin{cases} | x_{i + 1} - x_{i} | = 4 \\ | y_{i + 1} - y_{i} | = 3 \end{cases}$ ，称为K列.

(1)、若K列的第一项为（3，3），求第二项；

(2)、若 $τ$ 为K列，且满足i为奇数时， $x_{i} \in {1, 2, 7, 8}$ ；i为偶数时， $x_{i} \in {3, 4, 5, 6}$ ；判断：（3，2）与（4，4）能否同时在 $τ$ 中，并说明理由；

(3)、证明：M中所有元素都不构成K列.

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【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学试卷

一、选择题。共10小题，每题4分，共40分。 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

二、填空题。共5小题，每小题5分,共25分。

三、解答题。共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

一、选择题。共10小题，每题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。