北京市朝阳区2024-2025学年高三下学期质量检测二数学试题

试卷更新日期：2025-05-14 类型：高考模拟

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} + x < 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ 2^{x} \leq 1\}$ ，则集合 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- 1, 0]$

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2. 若抛物线 $C : x^{2} = m y (m \neq 0)$ 的焦点坐标为 $(0, - 1)$ ，则抛物线C的准线方程为（）

A、 $x = 2$ B、 $x = 1$ C、 $y = 2$ D、 $y = 1$

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3. 已知 $a = \log_{0.5} 0.2, b = {0.5}^{0.5}, c = 2^{0.5}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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4. 已知 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则 $n =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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5. 已知函数 $f (x) = | x | - | x - 2 | + 1$ ，则对任意实数x，有（）

A、 $f (1 - x) = 2 - f (1 + x)$ B、 $f (- x) = - f (x) - 2$ C、 $f (2 - x) = 2 + f (x)$ D、 $f (2 + x) = f (2 - x)$

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6. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D, A D = 2, A B = \sqrt{2}$ ，点E为线段 $A D$ 的中点， $B E$ 与 $A C$ 交于点F．设 $\vec{A F} = k_{1} \vec{e_{1}} + k_{2} \vec{e_{2}} (k_{1}, k_{2} \in R)$ ，其中 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别是与 $\vec{A B}, \vec{A D}$ 方向相同的单位向量，则（）

A、 $k_{1} = \frac{2}{3}, k_{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $k_{1} = \frac{\sqrt{2}}{3}, k_{2} = \frac{2}{3}$ C、 $k_{1} = \frac{1}{3}, k_{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $k_{1} = \frac{1}{3}, k_{2} = \frac{2}{3}$

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7. 设 $α \in R$ ，则“ $\sin 2 α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”是“ $\tan α = \sqrt{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知函数 $f (x) = x - x^{3}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (t, f (t)) (t \in (0, 1))$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ，设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，则（）

A、当 $x > 0$ 时， $h (x) > h (0)$ B、当 $x < 0$ 时， $h (x) < h (0)$ C、当 $x > 0$ 时， $h (x) \leq 0$ D、当 $x < 0$ 时， $h (x) \geq 0$

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9. 金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设 $A B = a$ ，则E到平面 $A B D$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6} a$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{9} a$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{12} a$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{9} a$

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10. 设无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，定义 $σ_{k} = \frac{S_{1} + S_{2} + \dots + S_{k}}{k} (k = 1, 2, 3, \dots)$ ，则（）

A、当 $a_{n} = 1$ 时， $\frac{σ_{2025}}{S_{2025}} < \frac{1}{2}$ B、当 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1}$ 时， $\frac{σ_{2025}}{S_{2025}} < \frac{1}{2}$ C、当 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ 时，则 $σ_{2025} - S_{2025} > 0$ D、当 $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ 时， $σ_{2025} - S_{2025} > - \frac{1}{2025}$

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 若复数z满足 $z \cdot i = 2 + i$ ，则 $| z | =$ ．

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12. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = - 8, a_{5} + a_{6} = 8$ ，则 $a_{3} + a_{4} =$ ；设 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则使 $S_{n} > 0$ 的 $n$ 的最小值为．

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13. 在 $△ A B C$ 中， $a + c = 2 \sqrt{5}$ ，且 $\tan B = 2$ ，则 $\sin B =$ ； $△ A B C$ 面积的最大值为．

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14. 若直线 $y = \frac{1}{3} x$ 与双曲线 $C : y^{2} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为．

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15. 设 $a > 0$ ，过原点 $O$ 的直线（不与 $x$ 轴重合）与圆 $A : x^{2} + {(y - a)}^{2} = a^{2}$ 交于点P与直线 $y = 2 a$ 交于点 $Q$ ．过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，这两条直线交于点 $M (x, y)$ ，称 $y$ 为 $x$ 的箕舌线函数，记作 $y = f (x)$ ，给出下列四个结论：
①函数 $y = f (x)$ 的图象关于y轴对称；
②若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ；
③设函数 $h (x) = x f (x)$ ，则 $h (x)$ 的最大值为 $2 a^{2}$ ；
④设函数 $g (x) = f (x) + x^{2}$ ，则 $g (x)$ 的最小值为 $2 a$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、设函数 $g (x) = f (x - φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ ，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $g (x)$ 存在且唯一，求 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{2 π}{3}]$ 上的最大值和最小值．
条件①： $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增；
条件②： $g (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ ；
条件③： $g (x)$ 为偶函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C ⊥$ 侧面 $A C C_{1} A_{1}$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是边长为4的菱形， $∠ A_{1} A C = 120 °, B C_{1} = 5, A B = 3$ ．

(1)、求证：侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 为矩形；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值．

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18. 某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ 分组整理得到如下频率分布直方图：

(1)、从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；

(2)、从B地区评分为 $[80, 100]$ 的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)、根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为 $μ_{1}$ ， A，B两地区评分的平均值估计为 $μ$ ，比较 $μ_{1}$ 与 $μ$ 的大小关系．（直接写出结论）

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19. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $(0, \sqrt{3})$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设直线 $y = k x + 2 (k < 0)$ 与椭圆E交于不同的两点A，B，直线 $y = x$ 与直线 $A B$ 交于点N，若 $∠ A O N = ∠ B O N$ （O是坐标原点），求k的值．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a \ln x + 1}{e^{x - 1}} (a \geq 0)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在单调递减区间，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = 1$ ，求 $a$ 的值．

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21. 已知 $\{a_{n}\}$ 是无穷正整数数列，且对任意的 $n \geq 3, a_{n + 1} = card \{k ∣ a_{k} = a_{n}, k \in {1, 2, \dots, n}\}$ ，其中 $card S$ 表示有穷集合S的元素个数．

(1)、若 $a_{1} = 2, a_{2} = 3, a_{4} = 2$ ，求 $a_{5}$ 的所有可能取值；

(2)、求证：数列 $\{a_{n}\}$ 中存在等于1的项；

(3)、求证：存在 $t \in N^{*}$ ，使得集合 $\{k \in N^{*} ∣ a_{k} = t\}$ 为无穷集合．

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