【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅱ卷）数学试题

试卷更新日期：2025-06-10 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（）

A、8 B、9 C、12 D、18

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2. 已知z=1+i，则 $\frac{1}{z - 1} =$ （）

A、-i B、i C、-1 D、1

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3. 已知集合A={-4，0，1，2，8}，B={x|x³=x}，则A∩B= （）

A、{0，1，2} B、{1，2，8} C、{2，8} D、{0，1}

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4. 不等式 $\frac{x - 4}{x - 1} \geq$ 2的解集是（）

A、{x|-2≤x≤1} B、{x|x≤-2} C、{x|-2≤x＜1} D、{x|x＞1}

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5. 在△ABC中，BC=2，AC=1+ $\sqrt{3},$ AB= $\sqrt{6},$ 则A= （）

A、45° B、60° C、120° D、135°

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6. 设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若 $l_{B F} : y = - 2 x + 2$ ，则|AF|= （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 记S_n ，为等差数列{a_n}的前n项和，若 $S_{3} = 6, S_{5} = - 5,$ 则 $S_{6} =$ （）

A、-20 B、-15 C、-10 D、-5

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8. 已知 $0 ＜ α ＜ π, c o s \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5},$ 则 $s i n (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 记S_n为等比数列{a_n}的前n项和，q为{a_n}的公比，q＞0，若 $S_{3} = 7, a_{3} = 1,$ 则（）

A、 $q = \frac{1}{2}$ B、 $a_{5} = \frac{1}{9}$ C、 $S_{5} = 8$ D、 $a_{n} + S_{n} = 8$

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10. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时， $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x} + 2,$ 则（）

A、f(0)=0 B、当x＜0时， $f (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} - 2$ C、f(x)≥2当且仅当 $x \geq \sqrt{3}$ D、x=-1是f(x)的极大值点

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11. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）$ 的左、右焦点分别是F₁ ， F₂ ，左、右顶点分别为A₁ ， A₂ ，以F₁F₂为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且 $∠ N A_{1} M = \frac{5 π}{6},$ 则（）

A、 $∠ A_{1} M A_{2} = \frac{π}{6}$ B、 $∣ M A_{1} ∣ = 2 ∣ M A_{2} ∣$ C、C的离心率为 $\sqrt{13}$ D、当 $a = \sqrt{2}$ 时，四边形NA₁MA₂的面积为8 $\sqrt{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知平面向量 $\vec{a}$ =(x ， 1)， $\vec{b}$ =(x-1，2x)，若 $\vec{a}$ ⊥( $\vec{a}$ - $\vec{b}$ )，则| $\vec{a}$ |=。

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13. 若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-α)的极值点，则f(0)=。

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14. 一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x + φ) (0 \leq φ ＜ π), f (0) = \frac{1}{2},$

(1)、求φ；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + f (x - \frac{π}{6}),$ 求g(x)的值域和单调区间。

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16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2},$ 长轴长为4。

(1)、求C的方程；

(2)、过点(0，-2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为 $\sqrt{2},$ 求|AB|。

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17. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB=3AD，CD=2AD，将四边形EFDA沿EF翻折至四边形. $E F D^{'} A^{'},$ 使得面EFD^'A^'与面EFCB所成的二面角为60°。

(1)、证明：A^'B∥平面CD^'F；

(2)、求面BCD^'与面EFD^'A^'所成的二面角的正弦值。

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18. 已知函数 $f (x) = l n (1 + x) - x + \frac{1}{2} x^{2} - k x^{3},$ 其中 $0 ＜ k ＜ \frac{1}{3} 。$

(1)、证明：f(x)在区间(0，+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；

(2)、设x₁ ， x₂分别为f(x)在区间(0，+∞)的极值点和零点。
(i)设函数 $g (t) = f (x_{1} + t) - f (x_{1} - t),$
证明：g(t)在区间(0，x₁)单调递减；
(ii)比较2x₁与x₂的大小，并证明你的结论。

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19. 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜得1分，负者得0分。设每个球甲胜的概率为 $p (\frac{1}{2} ＜ p ＜ 1),$ 乙胜的概率为q ， p+q=1，且各球的胜负相互独立，对正整数 $k \geq 2,$ 记P_k为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，q_k为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率。

(1)、求P₃ ， P₄(用p表示)

(2)、若 $\frac{P_{4} - P_{3}}{q_{4} - q_{3}} = 4,$ 求p；

(3)、证明：对任意正整数m ， $p_{2 m + 1} - q_{2 m + 1} ＜ p_{2 m} - q_{2 m} ＜ p_{2 m + 2} - q_{2 m + 2}$

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