贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年高一下学期第三次月考（5月）数学试题

试卷更新日期：2025-06-03 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{- 3, - 2, - 1, 0\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, \frac{1}{2}\}$ ，则 $A \cap B$ 的非空子集个数为（）

A、7 B、8 C、15 D、16

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2. 已知 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\sin^{2} α + \cos 2 α}{\sin 2 α + \cos^{2} α}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 已知 $l, m$ 表示不同的直线， $α, β$ 表示不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $l // α$ ，且 $l // β$ ，则 $α // β$ B、若 $α ⊥ β, l ⊥ β, m // α$ ，则 $m // l$ C、若 $m ⊥ n, m ⊥ α$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β, l ⊥ β, l ⊄ α$ ，则 $l // α$

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4. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个单位向量，若向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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5. 在 $Δ A B C$ 中， $A ＝ 60 ° ， b ＝ 1$ ，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $\frac{a + b + c}{s i n A + s i n B + s i n C}$ 等于

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{39}}{2}$

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6. 已知在 $△ A B C$ 中， $A C = 3, B C = 4, ∠ C = 90^{\circ} . P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $P C = 1$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 4$ C、 $- 5$ D、 $- 6$

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7. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $P A = P B = 4$ ， $P C = P D = 2 \sqrt{2}$ ，该棱锥的高为（）.

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 如图所示，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = C D = 1$ ， $B D = \sqrt{2}$ ， $B D ⊥ C D$ ，将四边形 $A B C D$ 沿对角线BD折成四面体 $A^{'} - B C D$ ，使平面 $A^{'} B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $A^{'} C ⊥ B D$ B、 $∠ B A^{'} C = 90^{\circ}$ C、 $C A^{'}$ 与平面 $A^{'} B D$ 所成的角为 $30^{\circ}$ D、四面体 $A^{'} - B C D$ 的体积为 $\frac{1}{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9. 欧拉公式 $e^{x i} = \cos x + i \sin x$ （ $i$ 为虚数单位， $x \in R$ ）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A、 $e^{\frac{π}{2} i}$ 的虚部为1 B、 $e^{\frac{3 π}{4} i} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i$ C、 $|e^{x i}| = |\cos x| + |\sin x|$ D、 $e^{\frac{π}{3} i}$ 的共轭复数为 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E为 $B A_{1}$ 的中点，下列判断正确的是（）

A、 $B_{1} C_{1} //$ 平面 $A_{1} B C$ B、直线 $E C_{1}$ 与直线 $A D$ 是异面直线 C、在直线 $A_{1} C_{1}$ 上存在点F，使 $E F ⊥$ 平面 $A_{1} C D$ D、直线 $B A_{1}$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角是 $\frac{π}{3}$

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11. 如图是函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $x = \frac{5 π}{6}$ 是函数 $y = f (x)$ 的一条对称轴 C、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到的函数为奇函数 D、若函数 $y = f (t x) (t > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有两个零点，则 $t \in [\frac{5}{6}, \frac{4}{3})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角 $△ A B C$ 中，AD为斜边BC上的高， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，现将 $△ A B D$ 沿AD翻折成 $△ A' B D$ ，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为.

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13. 已知 $\sqrt{3} \sin x - \cos x = \frac{6}{5}$ ，则 $\sin (2 x + \frac{π}{6}) =$ .

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14. 如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = B C = \sqrt{3}$ ， $\cos ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ，点 $P$ 是线段 $A_{1} B$ 上的一动点，则线段 $A P + P C_{1}$ 的最小值为．

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四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $A = 60 °$ ，点D，E满足 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $\vec{A C} = 2 \vec{C E}$ ， AC边上的中线BM与DE交于点O.设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ .

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B M}$ ， $\vec{D E}$ ；

(2)、求 $∠ M O E$ .

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $A B / / C D$ ， $P C = A B = 2 C D = 2 A D = 2$ ， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 是 $P B$ 上一点．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $E$ 是 $P B$ 的中点，求平面 $P A C$ 与平面 $A C E$ 的夹角的正弦值．

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17. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2 \sqrt{3}$ 且 $cos C + (cos B - \sqrt{3} sin B) cos A = 0$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $b + c$ 的取值范围.

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1, E$ 为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、连接 $D B_{1}$ 交 $B D_{1}$ 于点 $G$ ，求三棱锥 $G - A E C$ 的体积；

(3)、已知点 $F$ 为 $C C_{1}$ 中点，点 $P$ 为平面 $B B_{1} D_{1} D$ 内的一个动点，若 $F P / /$ 平面 $E A C$ ，求 $F P$ 长度的最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = (m + 1) x^{2} - (m - 1) x + m - 1$ ．

(1)、若不等式 $f (x) < 1$ 的解集为R，求m的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) \geq (m + 1) x$ ；

(3)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 对一切 $x \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 恒成立，求m的取值范围．

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