【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷

试卷更新日期：2025-06-11 类型：高考真卷

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一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）

1. 已知全集 $U = {x ∣ 2 \leq x \leq 5, x \in R}$ ，集合 $A = {x ∣ 2 \leq x < 4, x \in R}$ ，则 $\bar{A} =$ ．

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2. 不等式 $\frac{x - 1}{x - 3} < 0$ 的解集为．

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = - 3$ ，公差 $d = 2$ ，则该数列的前6项和为．

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4. 在二项式 $(2 x - 1)^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为．

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5. 函数 $y = c o s x$ 在 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{4}]$ 上的值域为．

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6. 已知随机变量X的分布为 $(\begin{array}{l} 5 & 6 & 7 \\ 0.2 & 0.3 & 0.5 \end{array})$ ，则期望 $E [X] =$ ．

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7. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B D = 4 \sqrt{2}, D B_{1} = 9$ ，则该正四棱柱的体积为．

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8. 设 $a, b > 0, a + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $b + \frac{1}{a}$ 的最小值为．

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9. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有种．

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10. 已知复数z满足 $z^{2} = (\bar{z})^{2}, | z | \leq 1$ ，则 $| z - 2 - 3 i |$ 的最小值是．

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11. 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B ，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角 $θ =$ ．（结果用角度制表示，精确到 $0 ． 01 °$ ）

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12. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ - 1, & x < 0 \end{array}$ ， $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 是平面内三个不同的单位向量．若 $f (\vec{a} \cdot \vec{b}) + f (\vec{b} \cdot \vec{c}) + f (\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |$ 可的取值范围是．

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二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.）

13. 已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为 $P (A) = \frac{1}{2}$ ，事件B发生的概率为 $P (B) = \frac{1}{2}$ ，则事件 $A \cap B$ 发生的概率 $P (A \cap B)$ 为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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14. 设 $a > 0, s \in R$ ．下列各项中，能推出 $a^{s} > a$ 的一项是（）

A、 $a > 1$ ，且 $s > 0$ B、 $a > 1$ ，且 $s < 0$ C、 $0 < a < 1$ ，且 $s > 0$ D、 $0 < a < 1$ ，且 $s < 0$

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15. 已知 $A (0, 1), B (1, 2)$ ， C在 $Γ : x^{2} - y^{2} = 1 (x \geq 1, y \geq 0)$ 上，则 $△ A B C$ 的面积（）

A、有最大值，但没有最小值 B、没有最大值，但有最小值 C、既有最大值，也有最小值 D、既没有最大值，也没有最小值

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 、 ${c_{n}}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 10 n - 9$ ， $b_{n} = 2^{n}$ 、， $c_{n} = λ a_{n} + (1 - λ) b_{n}$ .若对任意的 $λ \in [0, 1]$ ， $a_{n}$ 、 $b_{n}$ 、 $c_{n}$ 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数 $n$ 有（）

A、4个 B、3个 C、1个 D、无数个

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三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.）

17. 2024年东京奥运会，中国获得了男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子 $4 \times 100$ 米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78
207.46
207.95
209.34
209.35
210.68
213.73
214.84
216.93
216.93

(1)、求这组数据的极差与中位数；

(2)、从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

(3)、若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 $y = - 0.311 x + \hat{b}$ ，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．

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18. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且 $A B = 2$ ．

(1)、若直线PA与圆锥底面的所成角为 $\frac{π}{3}$ ，求圆锥的侧面积；

(2)、已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为 $\frac{π}{3}$ ， $C D ∥ A B$ ．设点M在线段OC上，证明：直线 $Q M ∥$ 平面PBD ．

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19. 已知 $f (x) = x^{2} - (m + 2) x + m l n x, m \in R$ ．

(1)、若 $f (1) = 0$ ，求不等式 $f (x) \leq x^{2} - 1$ 的解集；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 满足在 $(0, + \infty)$ 上存在极大值，求m的取值范围；

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20. 已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{5} = 1 (a > \sqrt{5})$ ， $M (0, m) (m > 0)$ ， A是 $Γ$ 的右顶点．

(1)、若 $Γ$ 的焦点 $(2, 0)$ ，求离心率e；

(2)、若 $a = 4$ ，且 $Γ$ 上存在一点P ，满足 $\vec{P A} = 2 \vec{M P}$ ，求m；

(3)、已知AM的中垂线l的斜率为2，l与 $Γ$ 交于C、D两点， $∠ C M D$ 为钝角，求a的取值范围．

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21. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ．对于正实数a ，定义集合 $M_{a} = {x ∣ f (x + a) = f (x)}$ ．

(1)、若 $f (x) = s i n x$ ，判断 $\frac{π}{3}$ 是否是 $M_{π}$ 中的元素，请说明理由；

(2)、若 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2, & x < 0 \\ \sqrt{x}, & x \geq 0 \end{array}, M_{a} \neq \emptyset$ ，求a的取值范围；

(3)、若 $y = f (x)$ 是偶函数，当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = 1 - x$ ，且对任意 $a \in (0, 2)$ ，均有 $M_{a} \subseteq M_{2}$ ．写出 $y = f (x)$ ， $x \in (1, 2)$ 解析式，并证明：对任意实数c ，函数 $y = f (x) - c$ 在 $[- 3, 3]$ 上至多有9个零点．

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206.78	207.46	207.95	209.34	209.35
210.68	213.73	214.84	216.93	216.93