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相关试卷

1、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为棱BC上靠近 $B$ 的三等分点， $N$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ 为（）

A、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{5}{6} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \vec{c}$

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2、“ $a = 2$ ”是“直线 $a x + y - 2 = 0$ 与直线 $(a - 1) x - 2 y - 3 = 0$ 互相垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上有一点 $P$ ，其横坐标为2，则该点到焦点 $F$ 的距离为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1, 2)$ ，向量 $\vec{b} = (1, 3, 2)$ ，则 $3 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(- 6, 1, 2)$ B、 $(- 7, 0, 2)$ C、 $(- 7, 0, - 4)$ D、 $(- 7, 0, 4)$

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5、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{ln x - 1} + \frac{1}{ln x + a}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，判断 $f (x)$ 在 $(e, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、若 $a = 1$ ，求 $y = f (x) (x \geq e^{2})$ 的值域；

(3)、若存在 $1 < x_{1} < e < x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，函数 $g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，其中 $e \approx 2.71828 \dots$ .

(1)、请探究 $g (2 x)$ 与 $f (x), g (x)$ 之间的等量关系（写出一个即可），并给出证明过程；

(2)、求函数 $h (x) = 3 g (2 x) + 4 g (x) - 7$ 的零点；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $f (2 x) + g (2 x) - a f (x) < 1 (a \in R)$ .

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7、如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心 $O$ 距离水面 $m$ 米.以圆心 $O$ 为坐标原点，平行于水面为 $x$ 轴，垂直于水面为 $y$ 轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点 $P$ 从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计算时间.

(1)、当 $m = \frac{1}{4}$ ，点 $P$ 在转动过程中第一次使得 $|P P_{0}| = \sqrt{3}$ 时，记水轮与 $x$ 轴交于点 $A, ∠ A O P = α$ ，求此时 $\cos (α - \frac{π}{6})$ 的值；

(2)、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 距离水面的高度 $y$ 米，表示为时间 $t$ 秒的函数，并求点 $P$ 第一次到达最高点所需要的时间.

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8、已知集合 $M = \{x | {log}_{3} (x^{2} - 1) \leq 1\}$ ， $N = \{x | 2 m + 1 \leq x \leq m\}$ .

(1)、求 $M$ ；

(2)、若 $M \cap N = N$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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9、计算：

(1)、 $\sqrt{{(1 - \sqrt{3})}^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{- \frac{1}{2}} + {(e - 1)}^{0} + {(0.125)}^{- \frac{2}{3}}$ ；

(2)、 $4 {log}_{2} 3 - {log}_{2} \frac{81}{4} - {log}_{8} 27 \cdot {log}_{3} 4 + 3^{1 - {log}_{3} 5}$ .

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x^{2} + x + 3, x < 1 \\ 2 x + \frac{2}{x}, x \geq 1 \end{array}$ ，设 $a \in R$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq |x + a|$ 在 $R$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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11、若 $a < 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $- \frac{b}{2 a} - \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ ，则 $g (x) = f (2 x - 1)$ 的定义域为.

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13、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，满足 $f (x - 2) = f (- x)$ ，当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2 k) = 0, k \in Z$ B、 $f (\frac{3 + 8 k}{2}) = ln \frac{\sqrt{5} - 1}{2}, k \in Z$ C、 $\exists x_{0} \in R, f (x_{0} + 2) - f (x_{0}) = 1$ D、方程 $|f (x)| = \frac{1}{4}$ 在 $[- 4, 1]$ 的各根之和为 $m$ ，则 $m > - \frac{15}{2}$

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14、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} sin x, sin x \geq sin (x - \frac{π}{4}) \\ sin (x - \frac{π}{4}), sin x < sin (x - \frac{π}{4}) \end{array}$ ，下列四个选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 是以 $π$ 为周期的函数 B、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{13 π}{8}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π], k \in Z$ 上单调递增 D、 $\exists x \in R$ ，使得 $f (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 有解

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15、下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = {log}_{a} (x + 1) + 2$ 恒过定点 $(1, 2)$ B、函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = {log}_{2} x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称 C、 $\exists x_{0} \in R$ ，当 $x > x_{0}$ 时，恒有 ${1.1}^{x} < 110 x$ D、若幂函数 $f (x) = x^{α}$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递减，则 $α < 0$

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16、已知函数 $f (x) = ln (2 x^{2} - 4 x + 3)$ ，记 $a = f (\frac{\sqrt{2}}{2}), b = f (\frac{\sqrt{3}}{2}), c = f (\frac{\sqrt{6}}{2})$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a - 2) x + 3 a, x \leq 2 \\ 2 a^{x - 1}, x > 2 \end{array}, (a > 0, a \neq 1)$ ，若 $f (x)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{4}{5}]$ B、 $(1, \frac{4}{3}]$ C、 $(0, 1) \cup (1, \frac{4}{3}]$ D、 $(0, \frac{4}{5}] \cup (1, \frac{4}{3}]$

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18、已知某种塑料经自然降解后残留量 $y$ 与时间 $x$ （单位：年）之间的关系式为 $y = y_{0} {(0.6)}^{\frac{x}{3}}$ ，其中 $y_{0}$ 为初始量，若这种塑料经自然降解，残留量不超过初始量的 $40 %$ ，则至少需要（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.3, lg 3 \approx 0.48$ ）

A、3年 B、4年 C、5年 D、6年

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19、如图，一个扇形纸片的圆心角为 $90 °$ ，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点 $A$ 与点 $O$ 恰好重合，折痕为 $C D$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} - \frac{π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3} - 2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3} - 4 π$

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20、已知实数 $x, y$ ，则“ ${(\frac{1}{2})}^{x} - {log}_{2} x > {(\frac{1}{2})}^{y} - {log}_{2} y$ ”是“ $y^{3} > x^{3} > 0$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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