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相关试卷

1、 ${(\frac{1}{27})}^{\frac{2}{3}} + \log_{8} 5 \cdot \log_{\frac{1}{5}} 4 + 10^{2 \lg 2 - \lg 3} =$ .

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2、若定义在 $R$ 上的偶函数 $y = f (x)$ ，对任意两个不相等的实数 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) < x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ ，则称 $y = f (x)$ 为“ $β$ 函数”.下列函数为“ $β$ 函数”的是（）

A、 $f (x) = 4 - x^{2}$ B、 $f (x) = \ln (4 + x^{2})$ C、 $f (x) = 1 - 2 x^{3}$ D、 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{- x} - e^{x}, x > 0 \\ e^{x} - e^{- x}, x \leq 0 \end{array}$

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2, x \leq 0 \\ |\log_{2} x|, x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有四个不同的实数解 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{3} x_{4}^{2} + \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{4}}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3, + \infty)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $[- 3, 3)$ D、 $(- 3, 3]$

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4、已知 $f (x) = 2^{|x - 1|}$ ，且其在区间 $[a, b]$ 上的值域为 $[1, 2]$ ，记满足该条件的实数 $a$ 、 $b$ 所形成的实数对为点 $P (a, b)$ ，则由点P构成的点集组成的图形为（）

A、线段AD B、线段AB C、线段AD与线段CD D、线段AB与线段BC

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5、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{4}{x} - {log}_{2} x - 1$ ，则不等式 $(x - 1) f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 0) \cup (1, 2)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (1, 2)$ D、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$

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6、已知幂函数 $y = x^{α}$ ，当 $α$ 取不同的正数时，在区间 $[0, 1]$ 上它们的图象是一族曲线（如图）.设点 $A (1, 0)$ ， $B (0, 1)$ ，连接 $A B$ ，线段 $A B$ 恰好被其中的两个幂函数 $y = x^{α}$ ， $y = x^{β}$ 的图象三等分，即有 $|B M| = |M N| = |N A|$ ，那么 $α β =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、3

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7、已知函数 $f (x) = \frac{1}{1 + 3^{x}}$ ，则 $f (\lg 3) + f (\lg \frac{1}{3})$ 的值等于（）

A、1 B、2 C、3 D、9

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8、若 $a = \log_{π} e$ ， $b = {(\sqrt{π})}^{\frac{2}{3}}$ ， $c = {(\frac{1}{e})}^{- \frac{1}{3}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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9、已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} - x + 3$ 的一个零点，则 $x_{0}$ 所在区间为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 5)$

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10、正数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y = 2$ ，则 $\frac{x + 8 y}{x y}$ 的最小值为（）．

A、4 B、7 C、8 D、9

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11、在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ；且 $P D = C D$ ，在 $P A, P B, P C$ 的中点中选择一个记为点 $E$ ，使得四面体 $E - B C D$ 为鳖臑．

(1)、确定点 $E$ 的位置，并证明四面体 $E - B C D$ 为鳖臑；

(2)、若底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，求平面 $P A B$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值．

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12、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y = x$ 上，且过点 $A (3, 0)$ ， $B (2, - 1)$

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : 4 x - 3 y + 9 = 0$ 与圆 $C$ 交于 $E$ 、 $F$ 两点，求线段 $E F$ 的长度.

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13、如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = A B = A C = 2$ ，直线 $P A, A B, A C$ 两两垂直，点 $D, E$ 分别为棱 $P B, P C$ 的中点．

(1)、证明： $B C / /$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $A D E$ 所成角的余弦值．

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14、直线 $l$ 的方程为 $(a + 1) x - y - 3 a - 1 = 0$ ， $a \in R$ .

(1)、若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴于点 $A$ 、 $B$ ，点 $O$ 是坐标原点．若 $△ A O B$ 的面积为 $16$ ，求 $a$ 的值.

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15、已知点 $P (x, y)$ 为直线 $l : 2 x + y + 4 = 0$ 上的动点，过 $P$ 点作圆 $C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，则 $△ P A B$ 周长的最小值为．

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16、已知实数 $x$ 、 $y$ 满足方程 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $y = x$ 被圆截得的弦长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值 $\sqrt{5} + 1$ C、 $\frac{y}{x}$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$ D、 $y + x$ 的最大值为 $3 + \sqrt{2}$

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17、下列说法一定正确的是（）

A、过点 $(0, 1)$ 的直线方程为 $y = k x + 1$ B、直线 $x sin α - y cos α + 1 = 0$ 的倾斜角为 $α$ C、若 $a b > 0$ ， $b c < 0$ ，则直线 $a x + b y + c = 0$ 不经过第三象限 D、过 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ 两点的直线方程为 $(y - y_{1}) (x_{2} - x_{1}) = (x - x_{1}) (y_{2} - y_{1})$

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18、已知平面 $α$ 与平面 $β$ 平行，若 $\vec{n} = (2, - 4, 8)$ 是平面 $β$ 的一个法向量，则平面 $α$ 的法向量可能为（）

A、 $(- 1, 2, - 4)$ B、 $(- 1, 2, 4)$ C、 $(2, 4, - 8)$ D、 $(- 2, 4, - 8)$

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 1), \vec{b} = (2, 1, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $120 °$

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20、若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点坐标是 $(1, 0)$ ，长轴长是 $4$ ，则椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{15} = 1$

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