四川省成都市第七中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2026-01-27 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题•5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合 $A = \{x |(x + 1) (x - 2) < 0\}$ ， $B = \{x |\ln x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$

A、 $\{x |1 < x < 2\}$ B、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ D、 $\{x |- 2 < x < 1\}$

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2. 已知命题p： $\forall x \in [- \frac{π}{6}, \frac{4 π}{3}]$ ， $\sin x \leq \frac{1}{2}$ ，则命题p的否定为（）

A、 $\forall x \in [- \frac{π}{6}, \frac{4 π}{3}]$ ， $\sin x > \frac{1}{2}$ B、 $\exists x \in [- \frac{π}{6}, \frac{4 π}{3}]$ ， $\sin x \leq \frac{1}{2}$ C、 $\exists x \in [- \frac{π}{6}, \frac{4 π}{3}]$ ， $\sin x > \frac{1}{2}$ D、 $\forall x \in (- \infty, - \frac{π}{6}) \cup (\frac{4 π}{3}, + \infty)$ ， $\sin x < \frac{1}{2}$

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以O为坐标原点， $O x$ 为始边，终边在直线 $y = x$ 上的角 $α$ 的集合为（）

A、 $\{α |α = 2 k π + \frac{π}{4}, k \in Z\}$ B、 $\{α |α = k π - \frac{π}{4}, k \in Z\}$ C、 $\{α |α = k π + \frac{π}{4}, k \in Z\}$ D、 $\{α |α = \frac{k π}{2} + \frac{π}{4}, k \in Z\}$

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4. 已知 $a = \ln \frac{1}{2}$ ， $b = \sin \frac{1}{2}$ ， $c = 2^{- \frac{1}{2}}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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5. 声音的强弱通常用声强级 $D$ （dB）和声强 $I (W / m^{2})$ 来描述，二者的数量关系为 $D = m \lg I + n$ （ $m, n$ 为常数）．一般人能感觉到的最低声强为 $10^{- 12} W / m^{2}$ ，此时声强级为0dB；能承受的最高声强为 $1 W / m^{2}$ ，此时声强级为120dB．若某人说话声音的声强级为60dB，则他说话声音的声强为（）

A、 $10^{- 6} W / m^{2}$ B、 $10^{- 7} W / m^{2}$ C、 $10^{- 8} W / m^{2}$ D、 $10^{- 9} W / m^{2}$

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6. 已知 $\sin (25 ° - α) = \frac{1}{5}$ ，且 $- 270 ° < α < - 90 °$ ，则 $\sin (65 ° + α)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

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7. 函数 $f (x) = \ln |\frac{2 + x}{2 - x}|$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的 $f (x)$ 是单调函数，且对任意 $x \in (0, + \infty)$ 恒有 $f (f (x) + \log_{\frac{1}{2}} x) = 3$ ，则函数 $f (x)$ 的零点为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分答对给部分分，有错选得0分．

9. 已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $x + y - x y = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x y$ 最小值为4 B、 $x + y$ 最大值为4 C、 $x^{2} + y^{2}$ 最小值为8 D、 $x + 4 y$ 最小值为16

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的函数，满足 $f (x + 2) = f (- x)$ ，且 $f (x + 2)$ 为奇函数，则下列说法一定正确的是（）

A、 $f (2026) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的一个周期为4 C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 0$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 0)$ 中心对称

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11. 已知函数 $f_{k} (x) = \cos^{2 k} x - \sin^{2 k} x$ ， $g_{k} (x) = \cos^{2 k} x + \sin^{2 k} x$ ， $k \in N^{*}$ ，则（）

A、函数 $f_{1} (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递减 B、函数 $g_{2} (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、函数 $g_{3} (x)$ 的值域为 $[\frac{1}{4}, 1]$ D、函数 $f_{4} (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知幂函数 $f (x) = (m - 3) x^{m}$ 的图象过点 $M (2, a)$ ，则 $a =$ ．

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13. $(\log_{4} 3 + \log_{8} 3) (\log_{3} 2 + \log_{9} 2) =$ ．

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14. 设 $\max \{x, y\} = \{\begin{array}{l} x, x \geq y \\ y, x < y \end{array}$ ．若正数m，n满足 $\frac{4}{m} + \frac{1}{2 n + 1} = 1$ ，那么 $\max \{m, 2 m n\}$ 的最小值为．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ （其中 $|φ| < \frac{π}{2}$ ）， $f (0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴方程；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + f (x - \frac{π}{6})$ ，求 $g (x)$ 的单调递增区间．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 1$ ， $g (x) = A \sin (x - \frac{π}{6}) (A > 0)$ ．

(1)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求 $y = f (\sin x)$ 的最大值；

(2)、已知集合 $M = \{y |y = f (x), 0 \leq x \leq 3\}$ ，集合 $N = \{y |y = g (x), 0 < x < π\}$ ，且满足 $M \cup N = N$ ，求实数A的取值范围．

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17. 学校知辛堂旁有一个矩形水池ABCD，如图所示， $|A B| = 70$ 米， $|B C| = 35 \sqrt{3}$ 米．为了便于同学们观赏水池中的锦鲤，学校计划在水池内铺设三条栈道OE，EF和OF．考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E，F分别在边BC，AD上（均含端点），且 $∠ E O F = 90 °$ ．设 $∠ B O E = x$ ．

(1)、求x的取值范围；

(2)、求证： $|E F| = \frac{35}{\sin x \cos x}$ ；

(3)、由于锦鲤在18℃-25℃的水温环境下，食欲旺盛，游动活跃，入冬后，学校决定在三条栈道的底部安装加温带．经核算，三条栈道安装加温带的费用为每米50元．试问如何设计才能使费用最低？并求出最低费用．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{10^{x} - 10^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{10^{x} + 10^{- x}}{2}$ ．

(1)、求 ${[g (x)]}^{2} - {[f (x)]}^{2}$ 的值；

(2)、已知 $F (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ．
①判断并证明 $F (x)$ 的奇偶性和单调性；
②设 $x_{0}$ 为 $h (x) = \sin π x$ 的零点，且满足 $F (|x_{0}|) + F (h (x_{0} + \frac{1}{2}) - 7) < 0$ ，求满足条件的 $x_{0}$ 的个数．

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19. 对于函数 $y = f (x)$ ，若满足 $\forall x \in (a, b)$ ， $f (x) > x$ ，则称 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上有 $M$ 性质．

(1)、函数 $y = - x^{2} + 2 x$ 在区间 $(0, 1)$ 上 $M$ 性质，函数 $y = \sin x$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上 $M$ 性质；（空格处填“有”或“没有”，无需说明理由）

(2)、若函数 $y = \ln (e^{2 x} + k) - ln (k + 1)$ 在 $(0, 1)$ 上有 $M$ 性质，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ．
①判断 $y = f (f (f (x)))$ 在 $(0, 1)$ 上是否有 $M$ 性质，并说明理由．
②设集合 $A, B$ 满足 $A \cup B = (0, 1)$ ，定义函数 $g (x) = \{\begin{cases} x, x \in A \\ f (x), x \in B \end{cases}$ 是定义域为 $(0, 1)$ 的单调增函数．若 $\frac{1}{2} \in B$ ，请判断 $1 - {(\frac{1}{2})}^{2026}$ 是否也属于 $B$ ，并说明理由．

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