广东仲元中学2026届高三年级1月月考数学学科试题

试卷更新日期：2026-02-05 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集 $U = {x \in Z ∣ (x + 4) (x - 3) < 0}$ ，集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ，则集合 $∁_{U} A$ 为（）

A、 $\{- 4, - 3, - 2, - 1\}$ B、 $\{- 3, - 2, - 1\}$ C、 $\{- 3, - 2, - 1, 3\}$ D、 $\emptyset$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ， $\vec{c} = (1, - 1)$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 1$ C、1 D、5

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3. 设 $z = \frac{3}{2 - i^{3}}$ ，则其共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项的和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 6$ ， $4 a_{1} + a_{3} = 24$ ，则 $S_{3} =$ （）

A、 $- 9$ B、 $14$ C、 $21$ D、 $26$

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5. 中国载人航天技术发展日新月异.目前，世界上只有3个国家能够独立开展载人航天活动.从神话“嫦娥奔月”到古代“万户飞天”，从诗词“九天揽月”到壁画“仕女飞天”……千百年来，中国人以不同的方式表达着对未知领域的探索与创新.如图，可视为类似火箭整流罩的一个容器，其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2，圆柱的高为6，圆锥的高为4.若将其内部注入液体，已知液面高度为7，则该容器中液体的体积为（）

A、 $\frac{325 π}{12}$ B、 $\frac{76 π}{3}$ C、 $\frac{215 π}{9}$ D、 $\frac{325 π}{16}$

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6. 已知直线 $l : m x + y - m - 1 = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $|A B|$ 为整数，则这样的直线 $l$ 有（）条.

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{7 π}{12})$ 单调递减，且 $(\frac{5 π}{6}, 0)$ 和 $(\frac{4π}{3}, 0)$ 是 $f (x)$ 两个对称中心，则 $f (\frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{|x - 1|} - 1, 0 < x \leq 2 \\ \frac{1}{2} f (x - 2), x > 2 \end{array}$ ，则函数 $g (x) = x f (x) - 1$ 在 $[- 6, + \infty)$ 上的所有零点之和为（）

A、－32 B、32 C、16 D、8

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m // n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m // n$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α // β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m // β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m // n$ ， $n // β$ ，则 $α ⊥ β$

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10. 为研究光照时长 $x$ （小时）和种子发芽数量 $y$ （颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点 $P$ 后，下列说法正确的是（）

A、相关系数 $r$ 变小 B、经验回归方程斜率变大 C、残差平方和变小 D、决定系数 $R^{2}$ 变小

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11. 已知离散型随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，其中 $n \in N^{*}, 0 < p < 1$ ，记 $X$ 为奇数的概率为 $a$ ， $X$ 为偶数的概率为 $b$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $a + b = 1$ B、 $p = \frac{1}{2}$ 时， $a = b$ C、 $0 < p < \frac{1}{2}$ 时， $a$ 随着 $n$ 的增大而增大 D、 $\frac{1}{2} < p < 1$ 时， $a$ 随着 $n$ 的增大而减小

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $(3 x + \frac{a}{x}) {(2 x - \frac{1}{x})}^{7}$ 的展开式中各项系数的和为4，则实数 $a$ 的值为.

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13. 设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ 为 $C$ 的左顶点， $P$ ， $Q$ 为双曲线一条渐近线上的两点，四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 为矩形，且 $\sin ∠ P A Q = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则双曲线的离心率为．

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14. 已知函数 $f (t) = (\frac{1}{t - 1} + m) ln t$ ，当 $t \in (1, 2]$ 时， $f (t) \leq 2$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5道小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $P A = A C = 2$ ，点 $D, E$ 分别是棱 $P B, P C$ 的中点．

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、若二面角 $B - A E - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $A B$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边长分别为 $a, b, c$ ， $2 (b - c) sin \frac{A + C}{2} cos \frac{π - B}{2} = a sin A - c sin C$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $B = \frac{π}{3}$ ，在 $△ A B C$ 边 $A C$ 的外侧取一点 $D$ （点 $D$ 在 $△ A B C$ 外部），使得 $D C = 1$ ， $D A = 2$ ，且四边形 $A B C D$ 的面积为 $\frac{5}{4} \sqrt{3} + 2$ ，求 $∠ A D C$ 的大小.

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17. 为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现 $F$ 症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现 $F$ 症状的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，且每次给药后是否出现 $F$ 症状与上次给药无关．
（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现 $2$ 次 $F$ 症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；
（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现 $3$ 次 $F$ 症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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18. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (2, \sqrt{2})$ ，短轴长为4.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $H (m, 0)$ 且 $m \geq \sqrt{2}$ ，若椭圆 $C$ 上的点到 $H$ 的距离的最小值是 $\sqrt{3}$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、椭圆 $C$ 与 $y$ 轴的交点为 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 位于点 $B$ 的上方），直线 $l$ ： $y = k x + 4$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ 、 $N$ .设直线 $A N$ 与直线 $B M$ 相交于点 $G$ ，求 $|G A| + |G P|$ 的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = - cos x$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{2} - 1$ ， $x \in [0, + \infty)$ .

(1)、判断 $g (x) \geq f (x)$ 是否对 $\forall x \in [0, + \infty)$ 恒成立，并给出理由；

(2)、证明：
①当 $0 < m < n < \frac{π}{2}$ 时， $\frac{sin m - sin n}{m - n} > cos n$ ；
②当 $a_{i} = \frac{1}{2^{i}} (i \in N^{*})$ ， $k_{i} = \frac{f^{'} (a_{i + 1}) - f^{'} (a_{i})}{a_{i + 1} - a_{i}} (i = 1 ， 2 ， \dots ， n - 1)$ 时， $\sum_{i = 1}^{n - 1} k_{i} > \frac{6 n - 7}{6}$ .

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