字节精准教育联盟·AI赋能2025-2026学年高三上学期期末综合能力调查数学试题

试卷更新日期：2026-02-04 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.

1. 已知集合 $A = \{x |\frac{x - 1}{2} \in Z\}$ ， $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 4\}$ B、 $\{3, 5\}$ C、 $\{1, 3, 5\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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2. 若复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{|z|} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$

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3. 设函数 $f (x) = x \sin x + \cos x$ 的图象在点 $(t, f (t))$ 处切线的斜率为 $k$ ，则函数 $k = g (t)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍，容积为28mL，厚度忽略不计.当倒入14mL茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（）

A、 $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt[3]{\frac{9}{2}} - \frac{1}{2}$ D、 $\sqrt[3]{\frac{9}{2}} - 1$

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5. 函数 $f (x) = \log_{2} (2 x^{2} - 7 x - 4)$ 的单调减区间为（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty, \frac{7}{4})$ C、 $(\frac{7}{4}, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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6. 某寝室安排3人打扫下一周5天的寝室卫生，每天只安排1人，每人至少打扫1天，则有多少种不同的安排方法（）

A、120 B、150 C、240 D、300

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7. 已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相同的焦点 $F_{1}, F_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的离心率为 $e_{1}$ $(e_{1} > \frac{3}{5})$ ，双曲线 $C_{2}$ 的离心率为 $e_{2}$ ，点P为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的交点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，若 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}} = \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{3}$ ，则 $e_{1} e_{2} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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8. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x - \cos ω x (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有3个极值点 B、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有2个最大值点 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{13}{6}, \frac{19}{6})$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9. 民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）

A、样本数据落在区间 $[300, 500)$ 内的频率为0.45 B、若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有 $55 %$ 的当地中小型民营企业能享受到减免税政策 C、若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家 D、根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元

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10. 下列说法正确的是（）

A、若幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(4, 2)$ ，则 $f (2) = \sqrt{2}$ B、若函数 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[- 1, 2]$ ，则函数 $f (x + 2)$ 的定义域为 $[2, 5]$ C、若函数 $f (x) = x^{2} - a x + 4$ 在 $(1, 2)$ 上只有一个零点，则实数a的范围为 $(4, 5)$ D、函数 $f (x) = \cos x + \frac{1}{2} x, x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 的单调增区间为 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$

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11. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列判断中正确的是（）

A、平面 $P B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ B、 $A_{1} P / /$ 平面 $A C D_{1}$ C、异面直线 $A_{1} P$ 与 $A D_{1}$ 所成角的取值范围是 $(0, \frac{π}{3}]$ D、若 $E$ 点为棱 $C C_{1}$ 的中点，则由 $A$ ， $B_{1}$ ， $E$ 三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 $\sqrt{5} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 在边长为1的正方形 $A B C D$ 中， $\vec{C E} = \frac{1}{2} \vec{E D}$ ， $F$ 为线段 $B E$ 上的动点， $G$ 为 $A F$ 中点，则 $\vec{A F} \cdot \vec{D G}$ 的最小值为．

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13. 设 $F$ 为抛物线 $C : x^{2} = 2 y$ 的焦点，过 $F$ 的直线与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 作 $C$ 的切线，与 $x$ 轴交于点 $D$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，则 $\vec{D E} \cdot \vec{O B}$ (其中 $O$ 为坐标原点) 的值为

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14. 如图，在 $Rt △ A C B$ 中，斜边 $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，在以 $A B$ 为直径的半圆上有一点 $D$ （不含端点）， $∠ D A B = θ$ ，设 $△ A B D$ 的面积 $S_{1}$ ， $△ A C D$ 的面积 $S_{2}$ .

（1）若 $S_{1} = S_{2}$ ，求 $θ =$ ；（2）令 $S = S_{1} - S_{2}$ 则 $S$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = e^{x} (2 x - 1) - a (x - 1)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq e$ ，求实数 $a$ 的值.

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16. 中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、载人航天、深空探测等多个领域.某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各100人进行调查，调查结果如下表：

关注
不关注
合计
男生
75
25
100
女生
55
45
100
合计
130
70
200

(1)、根据小概率值 $a = 0.005$ 的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？

(2)、从这200人中随机选出了3名男生和5名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生关注航天工程.现从这8名代表中任选2名男生和3名女生进一步交流，求这5人中恰有2人关注航天工程的概率.
参考公式及参考数据：
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$α$
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{α}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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17. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 是 $A D$ 的中点， $N$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $M N$ $/ /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $C M ⊥ A D$ ，且平面 $P B C$ 与平面 $P C D$ 的夹角余弦值为 $\frac{5}{8}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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18. 已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 发出的光线，经过两次反射之后回到点 $F_{1}$ ，光线经过的路程为8，其离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $A (0, 1)$ ， $B (0, - 1)$ ，过点 $T (0, 2)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ （异于 $A$ ， $B$ ），直线 $B M$ ， $A N$ 的交点为 $G$ .
（ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线 $l$ ，相应产生了多个不同 $G$ 点，他感觉这些 $G$ 点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明；
（ⅱ）设直线 $A M$ ， $B N$ 交点为 $H$ ，试问： $△ G A B$ 与 $△ H A B$ 的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

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19. 正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n}^{2} = a_{n + 1} \cdot a_{n - 1} (n \geq 2)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} \cdot a_{4} = 64$ ， $5 S_{2} = S_{4}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $6 n^{2} - (t + 3 b_{n}) n + 2 b_{n} = 0$ （ $t \in R$ ， $n \in N^{*}$ ）.
①试确定实数 $t$ 的值，使得数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数 $k$ ，在 $a_{k}$ 与 $a_{k + 1}$ 之间插入 $b_{k}$ 个2，得到一个数列 $\{c_{n}\}$ ．设 $T_{n}$ 是数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，试求满足 $T_{m} = 2 c_{m + 1}$ 的所有正整数 $m$ .

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	关注	不关注	合计
男生	75	25	100
女生	55	45	100
合计	130	70	200

$α$	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{α}$	3.841	6.635	7.879	10.828