四川省凉山州2025-2026学年高二上学期期末学科素养检测数学试题

试卷更新日期：2026-01-31 类型：期末考试

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} = - 5$ ，则 $a_{3} + a_{7} =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- 10$ D、10

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的长轴长为（）

A、12 B、10 C、8 D、6

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3. 已知点 $P (- 1, 2)$ 到抛物线： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(0, - 3)$ C、 $(4, 0)$ D、 $(- 4, 0)$

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4. 设 $F_{1} (- 5, 0)$ ， $F_{2} (5, 0)$ 为平面上两个定点，动点 $P (x, y)$ 满足 $||P F_{1}| - |P F_{2}|| = 10$ ，则动点P的轨迹为（）

A、直线 B、两条射线 C、椭圆 D、双曲线

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5. 集合 $A = \{- 6, 2, 3\}$ ，集合 $B = \{- 7, 1, 2\}$ ，从A，B中各任意取一个数相加为 $a$ ，则直线 $l_{1} : 4 x + a y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} : a x + 4 y + 4 = 0$ 平行的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{9}$

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6. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A = B C$ ， E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$

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7. 数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ ，若 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{k + 10} = \frac{1}{2} (3^{19} - 3^{9})$ ，则 $k =$ （）

A、11 B、10 C、9 D、8

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8. 如图，设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，点P是以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $P F_{2}$ 与椭圆交于点Q，若 $|P F_{1}| = 4 |Q F_{2}|$ ，则直线 $P F_{2}$ 的斜率为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{5}{3}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- 1$

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分．

9. 记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 a_{n} (n \geq 2)$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、若 $a_{n} = 2^{n - 1}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 C、若 $a_{n + 1} - a_{n} = - 4$ ，则 $S_{n}$ 有最小值 D、若 $a_{1} = 16$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = - 4 n$ ，则 $a_{n} = - 2 n^{2} + 2 n + 16$

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10. 已知事件A，B满足 $P (A) = 0.6$ ， $P (B) = 0.2$ ，则下列说法正确的是（）

A、若A与B互斥，则 $P (A \cup B) = 0.8$ B、若 $B \subseteq A$ ，则 $P (A B) = 0.6$ C、若A与B相互独立，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.32$ D、若 $P (A \cup B) = 0.92$ ，则A与B相互独立

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，过原点 $O$ 的动直线 $l$ 交抛物线于另一点 $P$ ，交抛物线的准线于点 $Q$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $|P F| = 4$ ，则 $O$ 为线段 $P Q$ 中点 B、若 $|O P| = 4 \sqrt{3}$ ，则 $| P F | = 6$ C、存在直线 $l$ ，使得 $P F ⊥ Q F$ D、 $△ P F Q$ 面积的最小值为8

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 直线x+y+1=0的倾斜角是．

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13. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心， $2 a$ 为半径的圆截得的弦长为 $2 a$ ，则双曲线C的离心率为．

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14. 如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，则CD的长为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知斜率为 $1$ ，经过点 $Q (2, 1)$ 的直线l，交圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 于 $A, B$ 两点．

(1)、求直线l的方程；

(2)、求AB的长度．

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16. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = 5$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} + 2^{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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17. 如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不正常工作的概率分别为 $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{3}$ ，各个部件是否正常工作相互独立．

(1)、求该电子元件第①条路是正常工作的概率；

(2)、求该电子元件能正常工作的概率．

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五、

18. 已知点 $P_{1} (t + 1, t)$ 在抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上，按照如下方法依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, 4, \dots \dots)$ ，过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为 $- 1$ 的直线与抛物线C交于另一个点 $Q_{n - 1}$ ，令 $P_{n}$ 为 $Q_{n - 1}$ 关于y轴对称的点，记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求t的值；

(2)、求证：数列 $\{x_{n}\}$ 是等差数列，并求 $x_{n}$ ；

(3)、记 $a_{n} = 2^{n - 1} x_{n}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A C = 2$ ， $B C = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $A D ⊥ D C$ ，且二面角 $A - C P - D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ， E为PC中点．
①求AD的长度；
②求直线BE与平面 $C P D$ 所成角的正弦值．

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