浙江省杭州高级中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2026-01-31 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $M = \{x \in Z |0 \leq x < 4\}, N = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2\}$

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2. 在下列区间中，函数 $f (x) = \ln x + x - 3$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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3. 已知实数 $x, y \in (0, \frac{π}{2})$ ，则“ $x > y$ ”是“ $\sin x > \sin y$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则 $g (x) = a^{x - m} + 1 (a > 0, a \neq 1)$ 的图象过定点（）

A、 $(2, 1)$ B、 $(2, 2)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- 1, 2)$

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5. 下列坐标所表示的点不是函数 $y = \tan (3 x - \frac{π}{4})$ 图象的对称中心的是（）

A、 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ B、 $(\frac{3 π}{12}, 0)$ C、 $(\frac{π}{6}, 0)$ D、 $(\frac{π}{12}, 0)$

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6. 已知扇形的周长为 $8 cm$ ，则该扇形的面积S最大时，圆心角的大小为（）．

A、4弧度 B、3弧度 C、2弧度 D、1弧度

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7. 若实数x，y满足 $2025^{x} + 2026^{y} < 2025^{- y} + 2026^{- x}$ ，则（）

A、 $x - y > 0$ B、 $x - y < 0$ C、 $x + y > 0$ D、 $x + y < 0$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{3 x - 1}{x}$ ，定义域为 $R$ 的函数 $g (x)$ 满足 $g (- x) + g (x) = 6$ ，若函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象有四个交点，分别为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $(x_{3}, y_{3})$ ， $(x_{4}, y_{4})$ ，则所有交点的横坐标与纵坐标之和为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 在 $△ A B C$ 中，下列结论正确的是（）

A、 $\sin (A + B) = - \sin C$ B、 $\cos (A + B) = - \cos C$ C、 $\tan (A + B) = - \tan C (C \neq \frac{π}{2})$ D、 $\sin \frac{B + C}{2} = \cos \frac{A}{2}$

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10. 下列命题中，正确的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $a - c > b - c$ B、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a > b > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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11. 设函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（）

A、在 $(0, π)$ 上存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 4$ B、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有2个最大值点 C、 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{13}{6}, \frac{19}{6})$ D、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递增

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $\sin α - \cos α = \frac{1}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ ．

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13. $\frac{\sin 5 ° + 2 \cos 35 °}{\cos 5 °}$ 的值为．

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14. 已知 $0 < a < 1$ 且 $2 \log_{a} 8 - \log_{2} a = - 5$ ，则 $a =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\sin (α + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ．

(1)、求 $\sin α$ 的值；

(2)、求 $\cos (2 α + \frac{π}{6})$ 的值．

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 1 - a \cdot 2^{x}$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) - k \cdot 2^{x}$ 在 $[0, + \infty)$ 上存在零点，求实数k的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1} (x \in R)$ ．

(1)、若方程 $f (x) = k$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个不同的实数根，求实数k的取值范围；

(2)、令 $g (x) = x^{2} + x^{- 2} - \frac{2 t}{f (x)} (t < 0)$ ，若对 $\forall x_{1}, x_{2} \in [\frac{1}{2}, 2]$ ， $|g (x_{1}) - g (x_{2})| \leq \frac{17}{4}$ 恒成立，求实数t的取值范围．

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18. 已知直线 $x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{2 π}{3}$ 是函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 图象的两条相邻对称轴．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $h (x) = f (\frac{π}{2} - x)$ 的单调增区间；

(3)、设 $0 < θ < π$ ，记 $f (x)$ 在区间 $[0, θ]$ 上的最小值为 $g (θ)$ ，求 $g (θ)$ ．

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19. 设函数 $f (x)$ 在非空数集M上的取值集合为N，即 $N = \{f (x) |x \in M\}$ ，若 $N \subseteq M$ ，则称 $f (x)$ 为M上的“集中函数”．

(1)、分别判断 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $g (x) = x^{2}$ 是否为 $[0, 4]$ 上的“集中函数”，并说明理由；

(2)、设 $a \geq 0$ ，若存在实数b，使得 $f (x) = {(x - a)}^{2} + b$ 为 $[0, 1]$ 上的“集中函数”，求实数a的取值范围；

(3)、若 $f (x) = \log_{2} (\frac{9}{1 + 2^{x}} - 1)$ 为 $[a, b]$ 上的“集中函数”，求证： $a + b < 2$ ．

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