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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x \ln x - k (x - 1) ， k \in R$

(1)、当 $k = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上有1个零点，求实数k的取值范围；

(3)、若 $f (x) + x > 0$ 在 $x \in (1, + \infty)$ 上恒成立，求出正整数k的最大值；

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2、如图所示，在四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $M$ 是 $A D$ 的中点， $P, Q$ 分别在线段 $B M, A C$ 上，且 $B P = 2 P M$ ， $A Q = 2 Q C$ ．

(1)、求证： $P Q / /$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $A D = B D = 2 C D = 6$ ， $B C = 3 \sqrt{3}$ ，求直线 $A P$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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3、在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中第3项的二项式系数是21；
条件②：展开式中第2项与第7项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有偶数项的二项式系数之和等于64．
【选择多个条件解答，则按第一个条件计分】
问题：已知二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ ，若________，求：

(1)、 $n$ 的值；

(2)、展开式中二项式系数最大的项．

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4、将9个互不相同的向量 ${\vec{a}}_{i} = (x_{i}, y_{i}), x_{i}, y_{i} \in \{- 1, 0, 1\}, i = 1, 2, \dots, 9$ ，填入 $3 \times 3$ 的方格中，使得每行、每列的三个向量的和都相等，则不同的填法种数是.

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5、已知函数 $f (x) = 2 a x - 2 \ln x$ ，函数 $g (x) = x - 2$ ，若恒有 $g (x) \leq f (x)$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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6、设等差数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{n + 1}{2 n + 4}$ ，则 $\frac{a_{9}}{b_{9}} =$ .

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7、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ （ $a > 0$ ）存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），且 $f (x_{1}) = x_{1}$ ， $f (x_{2}) = - x_{2}$ .设 $f (x)$ 的零点个数为m，方程 $3 a {(f (x))}^{2} + 2 b f (x) + c = 0$ 的实根个数为n，则（）

A、 $x_{2} > 0$ B、n的取值为2、3、4 C、 $m n = m + n + 2$ D、mn的取值为3、6、9

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8、树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（）

A、36 B、48 C、54 D、56

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9、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $N$ 在对角线 $A_{1} C$ 上，点 $M$ 在对角线 $A_{1} B$ 上， $\vec{A_{1} N} = \frac{1}{3} \vec{N C}$ ， $\vec{A_{1} M} = \frac{1}{2} \vec{M B}$ ，以下命题正确的是（）

A、 $\vec{M N}$ $/ / \vec{B C}$ B、 $D_{1}$ 、 $N$ 、 $M$ 三点共线 C、 $D_{1} M$ 与 $A_{1} C$ 是异面直线 D、 $\vec{D_{1} N} = \frac{1}{2} \vec{N M}$

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10、曲线 $f (x) = e^{x} - 3 x$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A、1 B、3 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11、已知数列 $1, - 3, 5, - 7, 9, \dots$ ，则该数列的第99项为（）

A、 $- 197$ B、197 C、 $- 199$ D、199

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12、在 ${(1 + 3 x)}^{5}$ 展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、15 B、90 C、270 D、405

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13、已知向量 $\vec{a} = (x, 1, 1), \vec{b} = (- 2, 2, y)$ ，满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $2 x - y =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} cos x$ ， $g (x) = x - cos x$ ．

(1)、对任意的 $x \in [- \frac{π}{2}, 0]$ ， $t f (x) - g^{'} (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、设方程 $f (x) = g^{'} (x)$ 在区间 $(2 n π + \frac{π}{3}, 2 n π + \frac{π}{2}) (n \in N^{*})$ 内的根从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ， …，求证： $x_{n + 1} - x_{n} > 2 π$ ．

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $A (2, 0)$ ，且其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形．过点 $T (t, 0) (- 2 < t < 2)$ 且与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）试判断是否存在实数 $t$ ，使得 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A Q}$ 为定值．若存在，求出 $t$ 的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

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16、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, 0 < ω < 3, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、若不等式 $f (x) \geq m$ 在 $[- \frac{π}{24}, \frac{5 π}{24}]$ 上恒成立，求m的取值范围.

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17、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $P$ 为底面 $A B C D$ 内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）．

A、三棱锥 $B_{1} - C_{1} D_{1} P$ 的体积为定值 B、存在点 $P$ ，使得 $D_{1} P ⊥ A C_{1}$ C、若 $D_{1} P ⊥ B_{1} D$ ，则 $P$ 点在正方形底面 $A B C D$ 内的运动轨迹长为 $\sqrt{2}$ D、若点 $P$ 是 $A D$ 的中点，点 $Q$ 是 $B B_{1}$ 的中点，过 $P$ ， $Q$ 作平面 $α ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，则平面 $α$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面面积为 $3 \sqrt{3}$

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18、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + 4) - x - 1$ ，设 $a = f (\frac{19}{10})$ ， $b = f (tan \frac{1}{10})$ ， $c = f (ln \frac{11}{10})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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19、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C$ 的两个焦点， $P$ 为 $C$ 上除顶点外的一点， $|P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} > 60 °$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{7}}{2}, 2)$ B、 $(\frac{\sqrt{7}}{2}, 3)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(\sqrt{3}, 3)$

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20、已知圆锥的底面半径为1，高为 $\sqrt{3}$ ，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、下两部分，则上、下两部分的体积比为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{8}$

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