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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x - 1}}$ ， $g (x) = \frac{1 + ln x}{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $0 < x < 1$ 时，证明： $f (x) > g (x)$ ；

(3)、当 $F (x) = (b e^{x - 1} - x) (1 + ln x - b x)$ 恰有四个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4} (0 < x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ 时，证明： $x_{1} x_{4} = x_{2} x_{3}$ ．

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，且过点 $(0, 1)$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $C$ 的右焦点 $F$ 的直线交 $⊙ O : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．
①证明：四边形 $A M B N$ 的面积为定值，并求出该定值；
②若直线 $A B$ 的斜率存在且不为0，设线段 $A B$ 的中点为 $E$ ，记 $△ A E N$ ， $△ B E M$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ．当 $S_{1} < S_{2}$ 时，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值．

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} a_{3} = 45$ ， $S_{3} = 15$ ．数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $2 b_{n} - b_{n + 1} - 15 = 0$ ， $b_{1} = 16$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明：数列 $\{b_{n} - 15\}$ 是等比数列；

(3)、求数列 $\{\frac{a_{n + 2}}{a_{n} a_{n + 1} (b_{n + 1} - 15)}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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4、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A C C_{1} = 60 °$ ， $A_{1} C ⊥ B C_{1}$ ， $P$ 为线段 $A A_{1}$ 上一点，且 $\vec{A P} = λ \vec{A A_{1}}$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、是否存在实数 $λ$ ，使得点 $C$ 到平面 $B P C_{1}$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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5、已知向量 $\vec{a} = (sin x, \sqrt{3} cos x)$ ， $\vec{b} = (sin x, sin x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $t^{2} - \frac{5}{2} t \leq f (x)$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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6、已知正六棱锥的高为 $\sqrt{3}$ ，它的外接球的表面积是 $\frac{16}{3} π$ ．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为．

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7、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ．若 $2 A = B + C$ ， $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{cos B}$ ，则 $sin C =$ ．

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8、 ${(3 x + 1)}^{n}$ 的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为 $1 : 128$ ，则 $n$ 的值为．

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9、设函数 $F (x)$ 的导函数为 $f (x)$ ，即 $F^{'} (x) = f (x)$ ．当 $f (x) \geq 0$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图象连续不断时，直线 $x = a$ ， $x = b$ ， $y = 0$ 和曲线 $y = f (x)$ 所围成的区域的面积为 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ，且 $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ ，则（）

A、 $\int_{1}^{2} x^{2} d x = 7$ B、当 $t > 1$ 时， $2 ln t < \int_{1}^{t} (1 + \frac{1}{x^{2}}) d x$ C、存在实数 $a > 1$ ，使得 $\int_{1}^{a} \frac{1}{x} d x$ 、 $\int_{1}^{a + 1} \frac{1}{x} d x$ 、 $\int_{1}^{a + 2} \frac{1}{x} d x$ 成等比数列 D、直线 $x = 0$ ， $x = π$ ， $y = 0$ 和曲线 $y = sin x$ 所围成的区域的面积为 $2$

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 的右支交于 $A$ 、 $B$ 两点，则（）

A、直线 $y = \frac{\sqrt{5}}{2} x - 1$ 与 $C$ 恰有两个公共点 B、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{3}{2}$ C、当 $∠ F_{1} A F_{2} = 60^{\circ}$ 时， $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $5 \sqrt{3}$ D、当直线 $A B$ 的斜率为 $k_{1}$ ，过线段 $A B$ 的中点和原点的直线的斜率为 $k_{2}$ 时， $k_{1} k_{2} = \frac{4}{5}$

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11、下列说法正确的是（）

A、一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11 B、若随机变量 $ξ$ ， $η$ 满足 $η = 3 ξ - 2$ ， $D (ξ) = 3$ ，则 $D (η) = 9$ C、一组数据 $(x_{i}, y_{i}) (1 \leq i \leq 15, i \in N^{*})$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 3 x + 2$ ，若 $\bar{x} = 2$ ，则 $\bar{y} = 8$ D、某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为 $X$ ，则 $X$ 服从超几何分布

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12、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{3} ，$ ， $|4 \vec{a} + \vec{b}| + |\vec{b}| = 8$ ，则 $|2 \vec{a} + \vec{b}|$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 4]$ B、 $[0, 8]$ C、 $[\sqrt{3}, 8]$ D、 $[4, 16]$

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13、有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为 $6 %$ 、 $5 %$ 、 $3 %$ ，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙 $3$ 台车床加工的零件数分别占总数的 $30 %$ 、 $40 %$ 、 $30 %$ ．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（）

A、 $\frac{21}{47}$ B、 $\frac{20}{47}$ C、 $\frac{18}{47}$ D、 $\frac{3}{10}$

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14、过抛物线 $x = 2 y^{2}$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点，交抛物线的准线于点 $C$ ．若 $\vec{A B} = 3 \vec{A F}$ ，则 $|\vec{B C}| =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $1$ C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{9}{2}$

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15、已知函数 $f (x) = 3 x^{3} - sin x + x$ ，则满足 $f (x) + f (4 - 3 x) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2)$

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16、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (2 - x) = 0$ ，且 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增，设 $a = f (- 9)$ ， $b = f (\frac{7}{4})$ ， $c = f ({log}_{4} 17)$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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17、命题“ $\forall x > 1$ ， $e^{x} - 2 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \leq 1$ ， $e^{x} - 2 > 0$ B、 $\forall x > 1$ ， $e^{x} - 2 \leq 0$ C、 $\exists x \leq 1$ ， $e^{x} - 2 > 0$ D、 $\exists x > 1$ ， $e^{x} - 2 \leq 0$

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18、已知复数 $z$ 在复平面内对应的点的坐标是 $(2, - 1)$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $1 - 2 i$

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19、已知集合 $A = \{x |x^{2} < 9\}$ ， $B = \{x |x - 1 > 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 3 < x < 1\}$ B、 $\{x |x > 1\}$ C、 $\{x |1 < x < 3\}$ D、 $\{x |x > - 3\}$

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20、定义正方形数阵 $\{a_{(i, j)}\}$ 满足 $a_{(i, j)} = i^{2} - j^{2}$ ，其中i， $j \in N^{*}$ .

(1)、若 $i + j = 100$ ，求数阵 $\{a_{(i, j)}\}$ 所有项的和T；

(2)、若m，n，p， $q \in N^{*}$ ，求证： $a_{(m, n)} a_{(p, q)}$ 也是数阵 $\{a_{(i, j)}\}$ 中的项；

(3)、若 $i$ ， $j \in \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ， $i \neq j$ 且 $n \geq 3$ ，求 $a_{(i, j)}$ 的值为奇数的概率 $P_{n}$ .

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