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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} - 4 x + 4 (a \in R)$ 在 $x = - 2$ 处取得极值．

(1)、确定 $a$ 的值并求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = b$ 至多有两个根，求实数 $b$ 的取值范围．

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2、为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50

(1)、从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；

(2)、从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以 $X$ 表示这2人中团体赛获奖的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

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3、已知 ${(1 + m x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ，展开式中二项式系数的最大值为 $7 m$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7}$ 的值（结果可以保留指数形式）.

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4、2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为 $p (0 \leq p \leq 1)$ ，比赛局数的期望值记为 $f (p)$ ，则 $f (p)$ 的最大值是．

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5、中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为．

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6、已知函数 $f (x) = \frac{(x - 1) e^{x} + k}{x}$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (1) = 1$ ，记 $g (x) = x f (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f^{'} (x) > 0$ 恒成立 B、函数 $g (x)$ 的极小值为0 C、若函数 $y = g (x) - m$ 在其定义域内有两个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围是 $(0, 1)$ D、对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (2, + \infty)$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

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7、已知 $a = \sqrt[10]{9}$ ， $b = \sqrt[11]{10}$ ， $c = \sqrt[12]{11}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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8、从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为（）

A、236 B、328 C、462 D、2640

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9、已知随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{3}$
设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是（）

A、－ $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、－ $\frac{2}{3}$

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10、设数列 $\{b_{n}\}$ 是集合 $\{2^{t} + 2^{s} | 0 \leq s < t$ 且 $s, t \in Z\}$ 中的数从小到大排列而成，即 $a_{1} = 3$ ， $a_{2} = 5$ ， $a_{3} = 6$ ， $a_{4} = 9$ ， $a_{5} = 10$ ， …，现将各数按照上小下大、左小右大的原则排成如下三角形表：
（1）写出这个三角形的第四行和第五行的数；
（2）求 $a_{100}$ ；
（3）设 $\{b_{n}\}$ 是集合 $\{2^{t} + 2^{s} + 2^{r} | 0 \leq s < t < r$ 且 $s, t, r \in Z\}$ 中的数从小到大排列而成，已知 $b_{k} = 1160$ ，求 $k$ 的值.

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11、已知常数 $a > 0,$ 在矩形ABCD中，AB=4，BC=4 $a$ ， O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且 $\frac{B E}{B C} = \frac{C F}{C D} = \frac{D G}{D A}$ ， P为GE与OF的交点（如图）.

(1)、试求P的一个坐标，并计算出P的轨迹方程.

(2)、是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

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12、小杨上的高中食堂有3种套餐，小王第一次选择A，B，C三种套餐的概率相等，若某次选择A之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B套餐之后，下一次只会在B，C两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C套餐之后，以后只会选择C套餐，根据以上规则回答下列问题：

(1)、试写出第n次选择时，小王选A套餐的概率表达式，并求出第3次选择B套餐的概率.

(2)、试写出第n次选择时，小王选B套餐的概率表达式，并求出选A套餐的均值.

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13、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ，侧棱 $A A_{1} = 2$ ， D、E分别是 $C C_{1}$ 与 $A_{1} B$ 的中点，点E在平面ABD上的射影是 $△ A B D$ 的重心 $G$ .
(Ⅰ)求 $A_{1} B$ 与平面ABD所成角的余弦值
(Ⅱ)求点 $A_{1}$ 到平面 $A E D$ 的距离

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14、记锐角 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 $a sin B = \frac{c tan B}{1 + tan B}$ .

(1)、求 $sin A$ 的值.

(2)、若 $b = \sqrt{2}$ ，求 $a$ 边上的高的取值范围.

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15、已知 $c > 0.$ 设P：函数 $y = c^{x}$ 在R上单调递减.Q：不等式 $x + | x - 2 c | > 1$ 的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，则 $c$ 的取值范围为.

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16、 ${(x^{2} - \frac{1}{2 x})}^{9}$ 展开式中 $x^{9}$ 的系数是

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17、函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ，向右平移3个单位得到 $g (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的极小值点为 $(- 2, - e^{- 2})$ B、当 $f (x) = k$ 有两解时， $- \frac{1}{e^{2}} < k < 0$ C、若 $b = g (\frac{2}{3})$ ， $c = g (\frac{- 1}{e^{2}})$ ，则 $c > b$ D、若 $f (x) = g (x)$ ，那么 $x < 0$ ，且有且仅有一解

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18、如图所示，在四个正方体中， $l$ 是正方体的一条体对角线，点 $M, N, P$ 分别为其所在棱的中点，能得出 $l ⊥$ 平面 $M N P$ 的图形为（）

A、 B、 C、 D、

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19、我们知道一元二次方程 $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0$ 可以变形为 $a_{2} (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ，展开后对应项易得到韦达定理，那么类比推理过程，在一个一元三次方程 $- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x + a = 0$ ，则下列关于此一元三次方程的根的式子正确的是（）

A、 $x_{1}$ + $x_{2}$ + $x_{3}$ =2 B、 $x_{1} x_{2}$ + $x_{2} x_{3}$ + $x_{1} x_{3}$ = $\frac{3}{2}$ C、 $x_{1} x_{2} x_{3}$ = $\frac{a}{2}$ D、 $x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ + $x_{3}^{2}$ =7

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20、已知长方形的四个顶点 $A (0, 0) 、 B (2, 0) 、 C (2, 1) 、 D (0, 1)$ .一质点从 $A B$ 的中点 $P_{0}$ 沿与 $A B$ 夹角为 $θ$ 的方向射到 $B C$ 上的点 $P_{1}$ 后，依次反射到 $C D 、 D A 、 A B$ 上的点 $P_{2} 、 P_{3} 、 P_{4}$ （入射角等于反射角）.设 $P_{4}$ 的坐标为 $(x_{4}, 0)$ .若 $1 < x_{4} < 2$ ，则 $\tan θ$ 的取值范围是（）.

A、 $(\frac{1}{3}, 1)$ B、 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{2}{5}, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{2}{5}, \frac{2}{3})$

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奖项组别	个人赛			团体赛获奖
奖项组别	一等奖	二等奖	三等奖	团体赛获奖
高一	20	20	60	50
高二	16	29	105	50

X	－1	0	1
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$