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相关试卷

1、在三棱锥P-ABC中， $P A = P B = B C = 6, A C = 6 \sqrt{2}, A B ⊥ B C$ ，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（）

A、96π B、84π C、72π D、48π

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2、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 和侧面 $A_{1} A D D_{1}$ 都是正方形， $∠ B A A_{1} = \frac{2 π}{3}, A B = 2$ ，点 $P$ 是 $C_{1} D$ 与 $C D_{1}$ 的交点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B_{1}} =$ （）

A、 $4 - 2 \sqrt{3}$ B、2 C、4 D、6

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则 $C$ 渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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4、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (0, - 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
（1）求椭圆 $E$ 的方程；
（2）过点 $P (2, 1)$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同两点 $B$ 、 $C$ .求证：直线 $A B$ 和 $A C$ 的斜率之和为定值.

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5、某同学在研究函数 $f (x) = \frac{3 x}{|x| + 1} (x \in R)$ 时，给出下列结论：① $f (- x) + f (x) = 0$ 对任意 $x \in R$ 成立；②函数 $f (x)$ 的值域是 $(- 3, 3)$ ；③若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则一定有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ；④函数 $g (x) = f (x) - 3 x^{2}$ 在 $R$ 上有2个零点．则正确结论的序号是．

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6、记 $△ A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ ， $B = 60 °$ ， $a^{2} + c^{2} = 3 a c$ ，则 $b =$ .

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7、民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿也深受广大旅游爱好者的喜爱.对于民宿的改造，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为240平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的3倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为平方米.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{- 4}, x \in (- \infty, 0) \\ \log_{\frac{1}{4}} x, x \in (0, 1) \\ - x^{2} + 4 x - 3, x \in [1, + \infty) \end{cases}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 恰有两个零点，则实数m不可能是（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、0

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9、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过F₁的直线l₁与过F₂的直线l₂交于点M，设M的坐标为(x₀ ， y₀)，若l₁⊥l₂ ，则下列结论正确的有（）

A、 $\frac{x_{0}^{2}}{4} + \frac{y_{0}^{2}}{3} < 1$ B、 $\frac{x_{0}^{2}}{4} + \frac{y_{0}^{2}}{3} > 1$ C、 $4 x_{0}^{2} + 3 y_{0}^{2} < 1$ D、 $4 x_{0}^{2} + 3 y_{0}^{2} > 1$

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10、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x} + 2, x \leq 1 \\ \log_{2} (x - 1), x > 1 \end{matrix}$ 在 $(- \infty, a]$ 上的最大值为4，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 17]$ B、 $(- \infty, 17]$ C、 $[1, 17]$ D、 $[1, + \infty)$

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11、如图，在离地面高 $400 m$ 的热气球上，观测到山顶 $C$ 处的仰角为 $15^{\circ}$ ，山脚 $A$ 处的俯角为 $45^{\circ}$ ，已知 $∠ B A C = 60^{\circ}$ ，则山的高度 $B C$ 为（）

A、 $700 m$ B、 $640 m$ C、 $600 m$ D、 $560 m$

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12、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，过点F₁作圆x²+y²＝a²的切线交双曲线右支于点M，若tan∠F₁MF₂＝2，又e为双曲线的离心率，则e²的值为（）

A、 $\frac{5 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{5 + \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{5 + \sqrt{6}}{2}$

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13、红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长 $5.2 m$ ），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇 $1.2 m$ 宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料 $12 m$ ，则可围成该活动区的最大面积为（）

A、 $12 m^{2}$ B、 $15 m^{2}$ C、 $20.8 m^{2}$ D、 $24.2 m^{2}$

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14、等比数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = 512$ ，公比 $q = - \frac{1}{2}$ ，记 $Π_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots a_{n}$ （即 $Π_{n}$ 表示数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积）， $Π_{8}, Π_{9}, Π_{10}, Π_{11}$ 中值为正数的个数是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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15、圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (- 4, 1)$ ， $B (- 3, 2)$ ，且圆心 $C$ 在 $l : x - y - 2 = 0$ 上，
（1）求圆 $C$ 的标准方程；
（2）过点 $P (3, - 1)$ 作直线 $m$ 交圆 $C$ 于 $M N$ 且 $| M N | = 8$ ，求直线 $m$ 的方程.

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16、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，已知 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、求对角线 $A C_{1}$ 的长；

(2)、求 $\cos ⟨\vec{A_{1} B_{1}}, \vec{A C_{1}}⟩$ ．

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17、过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $M 、 N$ 两点（其中 $M$ 点在第一象限），若 $\overset{⃑}{M N} = 3 \overset{⃑}{F N}$ ，则直线 $l$ 的斜率为．

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18、已知点 $A (- 2, 0)$ ，动点 $B$ 的纵坐标小于等于零，且点 $B$ 的坐标满足方程 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则直线 $A B$ 的斜率的取值范围是．

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19、已知 $A (- 1, - 1)$ ， $B (- 2, 0)$ ， $C (6, - 2)$ ，点P是圆 $E : x^{2} + y^{2} = 1$ 上的一点，则 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} + {|P C|}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{2} + 37$ B、 $49 - 6 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3} + 37$ D、 $49 - 6 \sqrt{2}$

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20、已知 $x, y \in R$ 且 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则 $4 x - 3 y$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{23}$ D、5

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