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相关试卷

1、高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示， $B, E, F$ 为山的两侧共线的三点，且与山脚 $C D$ 处于同一水平线上，在山顶 $A$ 处测得 $B, E, F$ 三点的俯角分别为 $30 °, 60 °, 45 °$ ，计划沿直线 $B F$ 开通穿山遂道，现已测得 $B C, D E, E F$ 三条线段的长度分别为 $4, 2, 3$ ，则隧道 $C D$ 的长度为.

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2、 $sin (- 2040^{\circ})$ 的值为．

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3、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ).

A、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $b = 2$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，这样的三角形有两解，则 $a$ 的取值范围为 $(\sqrt{3}, 2)$

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4、已知复数 $z = 5 - 4 i$ ，以下说法正确的是（）

A、 $z$ 的实部是5 B、 $|z| = \sqrt{41}$ C、 $\bar{z} = 5 + 4 i$ D、 $z$ 在复平面内对应的点在第一象限

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5、（多选）下列说法正确的是（）

A、加速度是向量 B、两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C、零向量的方向是任意的 D、向量就是有向线段

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 中点， $E$ 在线段 $A D$ 上，且 $A E = 2 E D$ ，则 $\overset{⃑}{B E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{A C} + \frac{2}{3} \overset{⃑}{A B}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{A C} - \frac{2}{3} \overset{⃑}{A B}$ C、 $\frac{2}{3} \overset{⃑}{A C} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{A B}$ D、 $\frac{2}{3} \overset{⃑}{A C} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A B}$

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7、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{b}| = 3 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{b}$

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8、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-1 B、-2 C、1 D、0

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9、若 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\}$ 是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（）

A、 $\{\vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}, 2 \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}\}$ B、 $\{2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}, 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}\}$ C、 $\{2 \vec{e_{2}} + 3 \vec{e_{1}}, 6 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}\}$ D、 $\{\vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}, \vec{e_{2}} - \frac{1}{2} \vec{e_{1}}\}$

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10、已知向量 $\vec{A B} = (- 2, 1), \vec{A C} = (3, 4)$ ，则 $\vec{B C} =$ （）

A、 $(1, 5)$ B、 $(- 1, - 5)$ C、 $(- 5, - 3)$ D、 $(5, 3)$

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11、如图，在梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2 C D$ ， $A D = C D = 1$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在直线 $D C$ 和 $B C$ 上，且 $\vec{B F} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{D E} = λ \vec{D C}$ ，连接 $B D$ 交 $A F$ 于点 $P$ ．

(1)、设 $\vec{A P} = t \vec{A F}$ ，用 $\vec{A B}$ 和 $\vec{A D}$ 表示 $\vec{A F}$ ，并求实数 $t$ 的值；

(2)、若 $A E ⊥ A F$ ，求实数 $λ$ 的值；

(3)、求 $|\vec{A E} + \frac{1}{2} \vec{A F}|$ 的取值范围．

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12、已知向量 $\overset{⇀}{m} = (1, 1)$ ，向量 $\overset{⇀}{n}$ 与向量 $\overset{⇀}{m}$ 的夹角为 $\frac{3 π}{4}$ ，且 $\overset{⇀}{m} • \overset{⇀}{n} = - 1$ .
（1）求向量 $\overset{⇀}{n}$ ；
（2）设向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 0)$ ，向量 $\overset{⇀}{b} = (\cos x, \cos^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{2}))$ ，其中 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，若 $\overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{a} = 0$ ，试求 $|\overset{⇀}{n} + \overset{⇀}{b}|$ 的取值范围.

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13、在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是BC，CC₁ ， C₁D₁ ， A₁A的中点．求证：
（1）BF $//$ HD₁；
（2）EG $//$ 平面BB₁D₁D．

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14、如图，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = A D = 1, C B = C D = \sqrt{3}, A C = 2$ ，点 $P$ 在边 $C D$ 上，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B P}$ 的最小值为.

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15、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A A_{1} = 2$ ， $N$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $M$ 为线段 $A A_{1}$ 上的点.则 $|M N| + |M B|$ 的最小值为

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $A = 60 °$ ， $a = 2$ ， $b = x$ ，若三角形有两解，则实数 $x$ 的取值范围是.

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17、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b sin B = (a + c) sin A$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $B = 2 A$ B、 $B$ 的取值范围为 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$ C、 $\frac{1}{tan A} - \frac{1}{tan B} + 2 sin B$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{b - a}{c}$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{3} - 1}{2}, \sqrt{2} - 1)$

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18、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别为棱 $C_{1} D_{1}, C_{1} C$ 的中点，则以下四个结论中，正确的有（）

A、直线 $A M$ 与 $C C_{1}$ 是相交直线 B、直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线 C、 $A M$ 与 $B N$ 平行 D、直线 $A_{1} M$ 与 $B N$ 共面

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19、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $B = \frac{π}{3}$ ，且 $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{16}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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20、已知圆锥的顶点为点 $S$ ，高是底面半径的 $\sqrt{2}$ 倍，点 $A$ ， $B$ 是底面圆周上的两点，当 $△ S A B$ 是等边三角形时面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则圆锥的侧面积为（）

A、 $\sqrt{3} π$ B、 $2 \sqrt{3} π$ C、 $3 \sqrt{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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