四川省成都市某中学2025-2026学年高一上学期学业质量适应性考试数学试题

试卷更新日期：2026-01-21 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

1. 命题“ $\exists x \in R, x^{3} + x < x^{2}$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \notin R, x^{3} + x > x^{2}$ B、 $\exists x \in R, x^{3} + x > x^{2}$ C、 $\forall x \notin R, x^{3} + x \geq x^{2}$ D、 $\forall x \in R, x^{3} + x \geq x^{2}$

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2. 已知集合 $A = \{1, 2, 3, a^{2}\}, 4 \in A$ ，则 $a =$ （）

A、 $2$ B、 $\pm 2$ C、4 D、 $\pm 4$

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3. 函数 $f (x) = 2^{x} + x$ 的零点所在区间为（　　）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- 2, - 1)$

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4. 下列命题是真命题的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$ B、若 $a < b, c > d$ ，则 $a - c > b - d$ C、若 $a > b > 0, m > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$ D、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$

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5. 已知 $\sin (\frac{2 π}{5} - x) = \frac{1}{3},$ 则 $\cos (\frac{π}{10} + x) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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6. 已知函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (a > b)$ 的图象如图所示，则函数 $g (x) = a^{x} + b$ 的图象大致是（       ）


A、    B、    C、    D、

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7. 若 $a = 4^{0.2}, b = 3^{0.4}, c = {log}_{4} 3$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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8. 函数 $f (x) = \log_{\frac{3}{4}} (- x^{2} + x + 2)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ B、 $(- 2, - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- 1, \frac{1}{2})$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ）都有 $[x_{2}^{2} f (x_{1}) - x_{1}^{2} f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) < 0$ .记 $a = f (1)$ ， $b = \frac{f (2)}{4}$ ， $c = \frac{f (- 3)}{9}$ ，则（）

A、 $g (x) = \frac{f (x)}{x^{2}}$ 为奇函数 B、 $g (x) = \frac{f (x)}{x^{2}}$ 为偶函数 C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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10. 下列说法不正确的有（）

A、已知函数 $f (x) = a^{x - 3} + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过定点 $(3, 1)$ . B、若 $x \in (0, π),$ 则 $\sin x + \frac{4}{\sin x}$ 有最小值2 C、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c > 0$ 的解集为 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ ，则 $a + c = 2$ . D、函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$ 在定义域上是增函数.

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11. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |\log_{2} x|, 0 < x \leq 4 \\ \frac{8}{x}, x > 4 \end{matrix}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ 时， $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则（）

A、 $0 < x_{1} < 1 < x_{2} < 4 < x_{3}$ B、 $x_{1} x_{2} = 2$ C、 $x_{1} + x_{2} - x_{3}$ 的取值范围为 $(- \infty, \frac{1}{4})$ D、函数 $g (x) = f (x) + \sqrt{1 - f (x)}$ 的值域为 $[1, \frac{5}{4}]$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. $\sqrt[4]{{(- 3)}^{4}} + {(π - 3)}^{0} + \log_{2} 64 - 27^{\frac{2}{3}} =$ .

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13. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 1, - 3)$ ，则 $\frac{\sin (\frac{3 π}{2} + α) + \sin (π + α)}{\cos (3 π - α) + \sin (\frac{3 π}{2} - α)} =$ ．

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14. 若函数 $f (x)$ 的自变量取值范围为 $[a, b]$ 时，函数值的取值范围恰好是 $[\frac{2}{b}, \frac{2}{a}]$ ，就称区间 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的一个“和谐区间”.
（1）函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ “和谐区间”（填“有”或“没有”）
（2）当 $x \in (1, + \infty)$ 时， $f (x) = \frac{1}{{log}_{2} x}$ ，则 $f (x)$ 的“和谐区间”为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 若角 $α$ 满足 $\sin α + \cos α = - \frac{1}{5}, α \in (0, π)$

(1)、求 $\sin α - \cos α$ 的值；

(2)、求 $\frac{3 \sin α \cos α}{\sin^{2} α - 2 \cos^{2} α}$ 的值.

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16. 全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | x^{2} - 6 x + 5 \leq 0\}$ ，非空集合 $B = \{x | 2 - a \leq x \leq 1 + 2 a\}$ .

(1)、若 $a = 4$ ，求 $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求 $a$ 的取值范围.

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17. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数 $p$ 与听课时间 $t$ 之间的关系满足如图所示的曲线.当 $t \in (0, 14]$ 时，曲线是二次函数图象的一部分，当 $t \in (14, 45]$ 时，曲线是函数 $y = \log_{a} (t - 5) + 83$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数 $p$ 大于80时听课效果最佳.

(1)、试求 $p = f (t)$ 的函数关系式；

(2)、老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由.

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 5 m + 7) x^{m - 1}$ 为偶函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x) = f (x) - n x - 3$ 在区间 $[2, 3]$ 上不单调，求实数 $n$ 的取值范围.

(3)、若 $a \geq 0$ ，求不等式 $a f (x) - (2 a + 1) x + 2 < 0$ 的解集.

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19. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) - f (x) = 0$ 且 $f (x) = {log}_{2} (2^{x} + 1) + k x$ ， $g (x) = f (x) + x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $g (4^{x} - a \cdot 2^{x} + 1) > g (- 3)$ 恒成立，求实数a取值范围；

(3)、设 $h (x) = x^{2} - 2 m x + 1$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 3]$ ，存在 $x_{2} \in [1, 3]$ ，使得 $g (x_{1}) \geq h (x_{2})$ ，求实数m取值范围．

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