2025-2026学年高一上学期期末学科素养检测数学试卷

试卷更新日期：2026-02-07 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}, B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x > 1}$ B、 ${x | x > - 1}$ C、 ${x | 1 < x < 3}$ D、 ${x | - 1 < x < 3}$

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2. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$

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3. 若已知条件 $p : x \leq 1$ ，条件 $q : x^{2} - 6 x + 5 \geq 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(2, e)$ D、 $(e, 3)$

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5. 设 $a = lg 2$ ， $b = 2^{0.2}$ ， $c = cos 2$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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6. 已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（）

A、10 B、15 C、20 D、25

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7. 某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数 $x$ （每单位代表 $30$ 公里）与剩余电量 $f (x)$ 在某阶段（剩余电量 $\geq 20 %$ ）近似满足如下函数关系式： $f (x) = 0.95 \times {0.9}^{x} + 0.05$ ．当剩余电量为 $25%$ 时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（）
（参考数据： $lg2≈0.30$ ， $lg3≈0.48$ ， $lg19≈1.28$ ）

A、 $450$ 公里 B、 $510$ 公里 C、 $570$ 公里 D、 $600$ 公里

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8. 若定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，且 $f (- 2) = 0$ ，则满足 $x f (x - 1) \geq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 1] \cup [3, + \infty)$ B、 $[- 3, - 1] \cup [0, 1]$ C、 $[- 1, 0] \cup [1, + \infty)$ D、 $[- 1, 0] \cup [1, 3]$

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二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 设 $a, b, c \in R$ ，则下列选项中正确的是（）

A、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ，则 $a - c > b - c$ C、若 $a > b$ ，则 $a^{3} > b^{3}$ D、若 $a > b$ ， $c > d > 0$ ，则 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$

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10. 下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x) = (a - 1) x^{2}$ 是幂函数，则 $a = 2$ B、函数 $f (x) = a^{x - 1} - 2 (a > 0 且 a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $(1, - 2)$ C、函数 $y = x + \frac{5}{x + 1} (x \geq 2)$ 取得最小值为 $2 \sqrt{5} - 1$ D、“ $m < 0$ ”是“关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有一正根和一负根”的充要条件

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11. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、将函数 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图象 D、若方程 $f (x) = m$ 在 $x \in [- \frac{π}{2}, 0]$ 上有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是 $(- 2, - \sqrt{3}]$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{x + 3}$ 的定义域为．

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13. 已知 $tan (α + β) = \frac{3}{5},tan (\frac{π}{3} - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $tan (α + \frac{π}{3}) =$ .

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $\forall x \in R$ ，恒有 $f (x) + f (x + 2) = 0$ ，且当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = 1 + 2^{x}$ ，则 $f (1) + f (2) + \dots + f (2024) + f (2025) =$

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 1, 2)$

(1)、求sinα和tanα的值

(2)、若 $f (α) = \frac{\sin (\frac{π}{2} + α) \tan (π + α) + 2 \cos (π - α)}{\sin α + \cos (- α)}$ ，化简并求值

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16. 已知定义域为R的函数 $f (x) = \frac{2^{x} - b}{2^{x} + a}$ 是奇函数.

(1)、求a，b的值；

(2)、直接写出该函数在定义域中的单调性（不需要证明），若对于任意 $x \in (- 1, 1)$ ，求使 $f (x)$ 满足不等式 $f (1 - m) + f (1 - m^{2}) < 0$ 的实数m的取值范围.

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17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{5 π}{12}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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18. 某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 $x (x \in N^{*})$ 年的支出成本为 $(10 x^{2} - 2 x)$ 万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额（注： $年平均盈利额 = \frac{总盈利额}{年数}$ ）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.

(1)、设前 $x$ 年的总盈利额为 $y$ （不含设备处理收益），写出方案一中 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、结合总利润（总利润＝总盈利额＋设备处理时获得的收入）判断哪种方案较为合理？并说明理由.

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19. 现定义一种新运算“ $\oplus$ ”：对于任意实数 $x, y$ ，都有 $x \oplus y = {log}_{a} (a^{x} + a^{y}) (a > 0, a \neq 1)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，计算 $3 \oplus 3$ ；

(2)、证明： $\forall x, y, z \in R$ 都有 $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z);$

(3)、设 $f (x) = x \oplus (x - 1)$ ，若不等式 $f (x) \geq 2$ 对任意 $x \in [1, 4]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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