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相关试卷

1、给定正整数 $k \geq 2$ ，设集合 $A_{(n, k)} = \{(a_{1}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) |a_{1}, \cdot \cdot \cdot, a_{n} \in \{1, \cdot \cdot \cdot, k\}\}$ ，若集合 $T \subseteq A_{(n, k)}$ ，且T中存在元素 $(a_{1}^{(1)}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}^{(1)}), \cdot \cdot \cdot, (a_{1}^{(n + 1)}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}^{(n + 1)})$ （ $(1), \cdot \cdot \cdot, (n + 1)$ 是为了区分元素而设置的角标），对任意的 $i \in \{1, \cdot \cdot \cdot, n\}$ 满足 $a_{i}^{(1)} = \cdot \cdot \cdot = a_{i}^{(i)} < a_{i}^{(i + 1)} = \dots = a_{i}^{(n + 1)} (n \geq 1)$ ，则称集合T为集合 $A_{(n, k)}$ 的“典范子集”．

(1)、写出集合 $A_{(2, 2)}$ 的所有“典范子集”；

(2)、设集合 $A_{(2, 3)}$ 的子集 $T_{1}, \cdot \cdot \cdot, T_{s}$ 均不是集合 $A_{(2, 3)}$ 的“典范子集”，且 $T_{1} \cup \cdot \cdot \cdot \cup T_{s} = A_{(2, 3)}$ ，求s的最小值；

(3)、若集合 $A_{(n, k)}$ 的任意元素个数为m的子集都是集合 $A_{(n, k)}$ 的“典范子集”，求m的最小值（用含有n、k的式子表示）．

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2、设三角形 $A B C$ 满足 $b (1 - \cos C) = c \cos B$ ，其中 $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 的对边．

(1)、证明： $A C = B C$ ；

(2)、设三角形 $A B C$ 中， $D$ 为边 $A B$ 靠近 $A$ 的三等分点，且 $A B = 3$ ， $∠ A C B = \frac{2 π}{3}$ ，将三角形 $A B C$ 向上翻折（如图），若平面 $A C D ⊥$ 平面 $A C B$ ，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值．

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3、已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} (x - b) (a, b \in R, a < b)$ .

(1)、当 $a = 1, b = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个极值点， $x_{3}$ 是 $f (x)$ 的一个零点，且 $x_{3} \neq x_{1}, x_{3} \neq x_{2}$ .是否存在实数 $x_{4}$ ，使得 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 按某种顺序排列后构成等差数列？若存在，求 $x_{4}$ ；若不存在，说明理由.

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4、小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从 $A_{1}$ ， $A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8}$ （如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.

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5、小张同学在罚球线投篮4次，每次投进的概率相同，若投进次数恰好为3的概率取得了最大值，则他恰好投进1次的概率是．

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6、在一个大球内放入4个完全相同的小球，任意两个小球都彼此相切，且它们都和大球相切，若每个小球的半径都是1，则大球的表面积为．

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7、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 的图象为双曲线，则其焦点坐标为．

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8、设集合 $S = \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, 10\}$ ， A是S的一个子集．若对任意 $a_{i}$ ， $a_{j} \in A (a_{i} \neq a_{j})$ 总有 $|a_{i} - a_{j}| \notin A$ ，则A中元素个数的最大值是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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9、设函数 $f (x) = \log_{x} (x + 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $(0, + \infty)$ B、 $f (x)$ 在定义域上单调递减 C、 $f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为 $- \frac{1}{2}$ D、 $\sum_{n = 100}^{9999} \log_{2} f (n) = 1$

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10、下表反映了12月份（共21个工作日）中，李华同学在每天的数学课上携带教材的情况，以及数学课上坐在李华同桌位置的同学，只有梓晴、陈伟和刘瑞可以作为李华的同桌．

日期	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
教材	无	有	有	无	有	有	无	有	有	无	无
同桌	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	梓晴	梓晴	陈伟
日期（续）		12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
教材（续）		有	有	有	无	无	有	有	无	无	有
同桌（续）		刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞	梓晴	陈伟	刘瑞

从表格信息，我们可以推断（）：（附： $χ^{2} = \frac{N {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ）

A、有不小于95%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 B、有不小于99%的把握认为李华与梓晴同桌时上数学课有更大的概率携带教材 C、有不小于95%的把握认为李华与刘瑞、陈伟同桌时上数学课有相等的概率携带教材 D、若强制刘瑞或陈伟与李华同桌，可能一定程度上提升李华上数学课携带教材的概率

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11、《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（）

A、 $\frac{100}{3}$ B、 $\frac{140}{3}$ C、100 D、140

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12、设 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 3)$ ，则 $\tan 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ 的值为（）．

A、2 B、3 C、 $4 \sqrt{2}$ D、7

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13、圆 $C : x^{2} + y^{2} = 25$ 在点 $(4, 3)$ 处的切线斜率是（）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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14、已知函数 $f (x) = \sqrt{1 - x} sin x + \sqrt{1 + x} cos x$ ， $x \in [0, 1]$ ，此时设 $sin φ = \sqrt{\frac{1 + x}{2}}$ .

(1)、求 $f (0)$ ， $f (1)$ 及 $\sin φ$ 的取值范围；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值；

(3)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{1} + x_{2} < \frac{π}{3}$ .

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15、设 $a \in R$ ， $A = [a, + \infty)$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x (x - a), x \in A \\ x (a - x), x \notin A \end{array}$ ，对于集合 $P \subseteq R$ ，记 $f [P] = {f (x) | x \in P}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f [A]$ 和 $f [∁_{R} A]$ ；

(2)、已知 $a > 0$ ，设 $B = [b, + \infty)$ ，若 $f [A] = f [B]$ ，求 $b$ 的最小值；

(3)、若 $\forall P \subseteq R$ ，都有 $∁_{R} f [P] = f [∁_{R} P]$ ，求 $a$ .

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16、已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ 满足 $f (0) = f (2)$ .

(1)、证明： $\forall x \in R$ ， $f (x) = f (2 - x)$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间（不要求证明）；

(3)、若 $f (x + 1) \geq f (\frac{3}{2})$ ，求 $x$ 的取值范围.

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17、对于实数 $a < b$ ，规定区间 $(a, b)$ ， $[a, b)$ ， $(a, b]$ ， $[a, b]$ 的长度均等于 $b - a$ .

(1)、若集合 $A = {x | | x + 1 ∣\leq 2}$ ， $B = \{x ∣ \frac{x - 2}{x} < 0\}$ ，求 $A \cup B$ 的区间长度；

(2)、若函数 $f (x) = \sqrt{{log}_{0.5} (4 x - 3)}$ 的定义域为区间 $C$ ，求 $C$ 的区间长度.

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18、已知函数 $f (x) = sin x cos x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间.

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19、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (x - a) (x - 2 a), x < 1, \\ {log}_{2} (x + 1) + a, x \geq 1 \end{array}$ 恰有2个零点，则 $a$ 的取值范围为.

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20、已知 $sin (\frac{π}{6} + θ) = \frac{3}{5}$ ， $\frac{π}{3} < θ < \frac{5 π}{6}$ ，则 $cos θ =$ .

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