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相关试卷

1、2025年江门市中小学数学建模大赛中，培英高中两个代表队参赛均获得一等奖，震惊全市．为此市政求助我校建模小组帮忙解决停车难问题．市区有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形 $A B C D$ ），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形 $A E F G$ ），为解决停车位不足问题，建模小组提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位．其中 $M E$ 长5.5米，停车位相对道路倾斜的角度 $∠ E^{'} A_{1} M = θ$ ，其中 $θ \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ ．

(1)、求 $\sin θ$ 和 $\cos θ$ 的值；

(2)、求 $A_{1} M$ 和 $A_{n} N$ 的长；

(3)、按照建模小组的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？

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2、已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的互生向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的互生函数．

(1)、若函数 $f (x) = \cos (\frac{π}{2} + x) + \cos (- x)$ ，试求 $f (x)$ 的互生向量 $\vec{O M}$ ；

(2)、若向量 $\vec{O N} = (\sqrt{3}, - 1)$ 的互生函数为 $f (x)$ ，求函数 $y = f (2 x)$ 在 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 上的增区间；

(3)、若向量 $\vec{O A} = (0, 1)$ 的互生函数为 $f (x)$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $\cos C = f (\frac{π}{6})$ ，若点G为该 $△ A B C$ 的外心，求 $\vec{G A} \cdot \vec{G B}$ 的值．

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3、若 $\cos (x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 x + \frac{π}{6}) =$ ．

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4、已知复数z在复平面上对应的向量 $\vec{O Z} = (- 1, 2)$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ ．

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5、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z_{1} = a + 2 i$ ， $z_{2} = 2 - i$ ，且 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则实数 $a$ 的值可为（　　）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $2$

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6、如图所示，在正方形ABCD中，已知| $\vec{A B}$ |=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则 $\vec{A B} \cdot$ $\vec{A N}$ 的最大值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7、在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $D C$ 的中点，若 $\overset{⇀}{A E} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ + μ$ 的值为

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、1

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8、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线 $x - \sqrt{6} y = 4$ 相切.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $(0, 1)$ 作斜率为 $k$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $C$ 、 $D$ 两点，线段 $C D$ 的垂直平分线交 $y$ 轴于点为 $Q$ ，点 $Q$ 关于直线 $C D$ 的对称点为点 $P$ ，若四边形 $P C Q D$ 为正方形，求 $k$ 的值.

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9、若直线 $y = k (x + 2)$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相切于第一象限点 $P$ ，则 $k =$ ．

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10、在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $90^{\circ} ､ 180^{\circ} ､ 270^{\circ}$ 后所得三条曲线与 $C$ 围成的（如图阴影区域）， $A ､ B$ 为 $C$ 与其中两条曲线的交点，若 $p = 2$ ，则（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = 4 x^{2}$ B、阴影区域的面积大于64 C、 $|A B| = 8$ D、直线 $x + y = t$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\sqrt{2}$

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11、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E是 $C C_{1}$ 的中点，点F是面 $B C C_{1} B_{1}$ 上的动点（包括边界），且满足 $A_{1} F / /$ 平面 $A D_{1} E$ ，则下列结论正确的是（）

A、动点F的轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、三棱锥 $A_{1} - C C_{1} F$ 体积的取值范围为 $[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}]$ C、当三棱锥 $A_{1} - C C_{1} F$ 体积取最大值时，其外接球的表面积为 $\frac{25π}{2}$ D、当三棱锥 $A_{1} - C C_{1} F$ 体积取最小值时，其外接球的表面积为 $14 π$

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12、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 与函数 $g (x) = cos (4 x + θ) (|θ| < \frac{π}{2})$ 的图象的对称中心完全相同，则（）

A、函数 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数 B、 $θ = \frac{π}{3}$ C、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是 $g (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $(\frac{7 π}{24}, 0)$ 是 $g (x)$ 图象的一个对称中心

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13、已知正实数 $a, b$ 满足 $a - 2 \ln a = 2 \ln b - 4 b + 4$ ，则 $\log_{a} b =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、-1 D、 $- \frac{1}{2}$

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14、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x + 2)$ 为偶函数， $f (x + 1)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (4) = 0$

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15、已知 $\frac{\tan θ \tan 2 θ}{\tan θ - \tan 2 θ} = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin^{4} θ + \cos^{4} θ =$ （）

A、 $\frac{9}{25}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{17}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 1 + a_{n} a_{n + 1}$ ， $a_{1} = 2$ ，则此数列前 $100$ 项的和为（）

A、 $\frac{97}{2}$ B、 $\frac{99}{2}$ C、 $50$ D、 $\frac{103}{2}$

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17、函数 $f (x) = x - (\frac{1}{2} x + a) \ln x - 1$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 单调区间；

(2)、当 $x > 1$ 时 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $a_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ ， $T_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}^{2}$ ，请比较 $4 T_{n}$ 与 $ln (n + 1)$ 大小，并说明理由．

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18、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ，右焦点 $F (\sqrt{2}, 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，过右焦点 $F$ 斜率为 $k$ （ $k > 0$ ）的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $B$ ， $D$ 两点（点 $B$ 在 $x$ 轴上方），点 $S$ ， $T$ 是椭圆 $C$ 上异于 $B$ 、 $D$ 的两点， $S F$ 平分 $∠ B S D$ ， $T F$ 平分 $∠ B T D$ .
（ⅰ）求 $\frac{|B S|}{|D S|}$ 的取值范围；
（ⅱ）动点 $M$ 与两定点 $H$ 、 $E$ 的距离之比 $\frac{|M H|}{|M E|} = λ$ （ $λ > 0$ ， $λ \neq 1$ ）， $λ$ 是一个常数，那么动点 $M$ 的轨迹称为阿波罗尼斯圆，且圆心在直线 $H E$ 上，将点 $S$ ， $F$ ， $T$ 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 $△ S F T$ 外接圆的面积为 $\frac{81 π}{8}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19、某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于 $[15, 25]$ 之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在 $[19, 21)$ 内的株数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c = \sqrt{7}$ ， $c \sin B = b \sin (\frac{π}{3} + C)$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形， $A C$ 边上的高为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $b$ ．

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