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相关试卷

1、如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为 $x m$ ，宽为 $y m$ ．

(1)、若有苗区面积为 $8 m^{2}$ ，则 $x, y$ 为何值时，所用篱笆总长最小；

(2)、若使用的篱笆总长为 $10 m$ ，则 $x, y$ 为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大；

(3)、若使用的篱笆总长为 $10 m$ ，求 $\frac{2 x + y}{x y}$ 的最小值．

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2、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 6}{x + 2} \leq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 4 x < 0\}$ .

(1)、求 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、已知集合 $C = \{x |m + 1 < x < 2 m - 1\}$ ，若“ $x \in C$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

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3、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数， $f (x) + g (x) = a x^{2} + x + 2$ ，则 $f (x) =$ ；若对于任意 $1 < x_{1} < x_{2} < 2$ ，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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4、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - k x + 4$ 在 $[5, 20]$ 上具有单调性，则实数 $k$ 的取值范围为．

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5、已知 $a$ 、 $b$ 均为正实数，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{b}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $5$ C、 $(a^{2} + \frac{1}{8}) (b^{2} + \frac{1}{8})$ 的最小值为 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{a^{2}}{a + 2} + \frac{b^{2}}{b + 1}$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$

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6、下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $y = - x + 1$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = - x^{3}$ D、 $y = - x |x|$

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7、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0 (a, b, c \in R)$ 的解集为 ${x ∣ - 4 < x < 1}$ ，则 $t = \frac{c^{2} + 9}{a + b}$ 的取值范围为（）

A、 $\{t | t \geq - 6\}$ B、 $\{t | t > - 6\}$ C、 $\{t | t \leq - 6\}$ D、 $\{t | t < - 6\}$

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8、下列说法正确的是（）．

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$

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9、函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + \sqrt{4 - x}$ 的定义域为（）

A、 $[2, 4]$ B、 $(2, 4]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[4, + \infty)$

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10、对于给定的非空数集 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots a_{n}\} (n \in N^{*})$ ，定义集合 $A^{+} = \{x |x = a_{i} + a_{j}, a_{i}, a_{j} \in A, 1 \leq i \leq j \leq n\}$ ， $A^{-} = \{x |x = |a_{i} - a_{j}|, a_{i}, a_{j} \in A, 1 \leq i \leq j \leq n\}$ ，当 $A^{+} \cap A^{-} = \emptyset$ 时，称 $A$ 具有孪生性质.

(1)、若集合 $A = \{2, 5\}$ ，求集合 $A^{+}$ ， $A^{-}$ ；

(2)、若集合 $B = \{b_{1}, b_{2}, b_{3}\}$ ， $b_{1} < b_{2} < b_{3}$ ，且 $B^{-} = B$ ，求 $b_{1}$ 的值并证明： $b_{3} = 2 b_{2}$ ；

(3)、若集合 $C \subseteq \{x |1 \leq x \leq 2024, x \in N^{*}\}$ ，且集合 $C$ 具有孪生性质，记 $|C|$ 为集合 $C$ 中元素的个数，求 $|C|$ 的最大值.

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11、已知函数 $f (x) = a x^{2} - b x + 3$ .

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(1, 3)$ ，求 $a + b$ 的值；

(2)、若 $a > 0$ ， $b = a + 3$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集（结果用 $a$ 表示）；

(3)、若 $f (- 1) = 4$ ， $a > 0$ ， $b > - 1$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b + 1}$ 的最小值.

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12、工厂生产某种产品，次品率 $p$ 与日产量 $x$ （万件）间的关系 $p = \{\begin{cases} \frac{1}{6 - x} (0 < x \leq c) \\ \frac{2}{3} (x > c) \end{cases}$ （ $c$ 为常数，且 $0 < c < 6$ ），已知每生产一件合格产品盈利 $3$ 元，每出现一件次品亏损 $1.5$ 元.
（1）将日盈利额 $y$ （万元）表示为日产量 $x$ （万件）的函数；
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： $次品率 = \frac{次品数}{产品总数} \times 100 %$ ）

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13、已知 $f (x) = \frac{2 a x + b}{x^{2} + 4}$ 在定义域 $[- 2, 2]$ 上为奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{17}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 在定义域内的单调性；

(3)、若 $f (2 - t) + f (4 - t^{2}) < 0$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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14、已知集合 $A = \{x |\frac{x + 1}{x - 2} \leq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 4 x + 4 - a^{2} \leq 0, a \in R\}$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若存在正实数 $a$ ，使得“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的充分条件，求正实数 $a$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x + b) (\sqrt{x + 1} - 2)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为.

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16、函数 $y = \frac{x + 1}{x - a}$ 的图像关于点 $(2, b)$ 中心对称，则 $\frac{b}{a} =$ .

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17、设 $m, n \in R$ ，集合 $M = \{1, m\}$ ， $N = \{- 1, - n\}$ ，若 $M = N$ ，则 $m - n =$ .

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18、设函数 $f (x) = (x - 1) |x|$ ，则下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 在 $(0, a)$ 上单调递减，则 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ B、当 $- 1 < x < 1$ 时， $f (1 - x) \geq f (x)$ C、对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 总成立 D、若 $f (x)$ 在区间 $(m, n)$ 上既有最大值也有最小值，则 $n - m \geq \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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19、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为8 C、 $a (b - 1)$ 的最小值为 $\frac{1}{8}$ D、 $a^{2} + 4 b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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20、下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ 的定义域为 $[- 2, 2]$ B、若 $f (x - 1) = x^{2} - x$ ，则 $f (2) = 2$ C、函数 $f (x) = 3 - \frac{2}{x}$ 在 $[1, 3]$ 上的值域为 $[1, \frac{7}{3}]$ D、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x - 3}$ 的单调递增区间为 $[1, + \infty)$

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