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相关试卷

1、自 $2019$ 年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性､阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为 $p (0 < p < 1)$ .

(1)、若 $p = \frac{1}{3}$ ，现对 $4$ 份样本进行核酸检测，求这 $4$ 份中检验结果为阳性的份数 $ξ$ 的分布列及期望；

(2)、若 $p = 1 - 2^{- \frac{1}{4}}$ ，现有 $2 k (k \in N^{*}, k \geq 2)$ 份样本等待检验，并提供“ $k$ 合 $1$ ”检验方案：将 $k (k \in N^{*}, k \geq 2)$ 份样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“ $k$ 合 $1$ ”检验方案所需的检验次数 $X$ 的期望 $E (X)$ 与 $2 k$ 的大小.

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2、已知 $x = 3$ 是函数 $f (x) = a \ln (1 + x) + x^{2} - 10 x$ 的一个极值点.
（Ⅰ）求 $a$ ；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅲ）若直线 $y = b$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象有3个交点，求 $b$ 的取值范围.

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3、已知 $tan α = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2}$ ）.

(1)、求 $\frac{sin α + 3 cos α}{2 cos α - sin α}$ 的值；

(2)、若 $cos (α - β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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4、对于实数 $x, [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.6]= 0,[- 1.2] = - 2$ .已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} (n \in N^{*})$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $[S_{1}] + [S_{2}] + \dots + [S_{25}] =$ .

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5、函数 $f (x) = 2 \cos x + \sin x$ 的最大值为.

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6、直线 $l$ ： $y = a x$ 与 $y = e^{x}$ 的图象交于 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 两点 $(x_{1} < x_{2})$ ， $y = e^{x}$ 在A､B两点的切线交于 $C$ ， $A B$ 的中点为 $D$ ，则（）

A、 $a \leq e$ B、点 $C$ 的横坐标大于1 C、 $|x_{1} - x_{2}| < \sqrt{{(a + 2 - e)}^{2} - 4}$ D、 $C D$ 的斜率大于0

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7、函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + φ)$ 的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{2 π}{3})$ 是 $f (x)$ 的最小值 C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$ D、把函数 $y = f (x)$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得到函数 $y = 3 \sin 2 x$ 的图象

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8、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{a - e^{x}}{e^{x} + 1}$ 是奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 的单调性，并利用定义法证明；

(3)、若不等式 $f (cos x) + f (cos x + m \cdot tan x) < 0$ 在 $x \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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9、已知不等式 $m x^{2} - n x + 3 > 0$ 的解集为 $\{x |x < 1$ 或 $x > 3\}$ .

(1)、求实数 $m$ 、 $n$ 的值；

(2)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $m a + n b = 3$ ，并且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq k^{2} - 2 k$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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10、对于任意实数 $a, b$ ，定义 $min \{a, b\} = \{\begin{matrix} a, a \leq b \\ b, a > b \end{matrix}$ ，设函数 $f (x) = - x + 5, g (x) = {log}_{3} x + 1$ ，则函数 $h (x) = min \{f (x), g (x)\}$ 的最大值是.

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11、 ${log}_{3} \sqrt{27} + \lg 25 + \lg 4 - 7^{\log_{7} 2} - {(- 9.8)}^{0} =$ ．

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12、已知 $a > b$ ，且 $a b \neq 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a^{3} > b^{3}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

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13、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x) = f (4 - x)$ ，当 $x \leq 2$ 时， $f (x) = ln (3 - x)$ ，则 $f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14、已知 $x > 1$ ，则 $\frac{1}{1 - x} - x$ 的最大值为（）

A、3 B、 $- 3$ C、1 D、 $- 1$

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15、设 $A = \{3, 5, 6\}$ ， $B = \{3, 4, 6, 8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3, 5\}$ B、 $\{3, 6\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{6, 8\}$

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} - cos x - a x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty ）$ 上的最小值；

(2)、若对任意的 $x \geq 0$ ，都有 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、设 $\{a_{n}\}$ 是正项数列，且其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = \frac{1}{8} {(a_{n} + 2)}^{2}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{2} (\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} + \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}) (n \in N^{*})$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $\sqrt{3} a sin C = c (2 + cos A)$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长的最大值．

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19、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x cos x + {cos}^{2} x - \frac{1}{2}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - l n x ， 0 < x \leq 1 \\ 1 - {(x - 2)}^{2} ， x > 1 \end{matrix}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有三个零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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