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相关试卷

1、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{6}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{6}, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．分别过 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 作两条平行直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ．设 $l_{1}$ 与C交于P，Q两点， $l_{2}$ 与y轴交于点M．

(1)、求C的方程；

(2)、若点M在y轴的负半轴上，求 $l_{1}$ 斜率的取值范围；

(3)、若 $| P M | = | Q M |$ ，求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的一般式方程．

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + x, g (x) = 3 ln x + 3$ .

(1)、若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且0为 $f^{'} (x)$ 的极值点，求 $a$ ；

(2)、当 $a = 0$ 时，过原点的直线 $l$ 与 $f (x)$ 的图象相切，证明：当 $x > 0$ 时， $l$ 在 $g (x)$ 图象的上方.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边长分别是 $a, b, c$ ，且 $a cos B + b cos A = c cos (A - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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4、如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有种．

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5、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 2} (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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6、函数 $f (x) = x ln x - 2 x + 3$ 的单调递减区间为.

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7、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为 $E$ 上的动点， $P Q ⊥ y$ 轴，垂足为 $Q$ ， $M$ 为 $P Q$ 的中点， $A$ 为上顶点，则（）

A、椭圆 $E$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{4}{|P F_{2}|}$ 的最小值为 $\frac{9}{8}$ C、 $|O M|$ （ $O$ 为原点）是定值 D、 $|A P|$ 的最大值为 $2 \sqrt{6}$

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8、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（）

A、 $f (x)$ 最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{2 π}{3}, 0)$ 对称 D、将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得到 $f (x)$ 的图象

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9、以下说法正确的有（）

A、数据 $- 2$ ， $- 1$ ， 3，3，4，7，9的第八十百分位数是7 B、若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数 $R^{2}$ 越大的模型，拟合效果越差 C、已知随机变量 $X \sim N (1, 2^{2})$ ，若 $P (X < a) \geq P (X > 1 - 2 a)$ ，则实数 $a \leq - 1$ D、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, 10$ 的平均数为10，方差为4，现去掉数据10，则剩余数据的方差仍为4

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} e^{- x}, x < 0 \\ - x^{2} + 2 x + 2, x \geq 0 \end{cases}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - k$ 有三个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围为（）

A、 $[1 - \ln 2, 1)$ B、 $(1 - \ln 3, 1 - \ln 2]$ C、 $(2 - \ln 3, 2 - \ln 2]$ D、 $[2 - \ln 3, + \infty)$

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11、在 $△ A B C$ 中， $A C = \sqrt{3}, B C = 2, B = \frac{π}{3}, ∠ B$ 的平分线交 $A C$ 于 $D$ ，则 $B D =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (2 cos α, - 1), \vec{b} = (3 cos α, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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13、已知圆锥的表面积为 $3 π$ $m^{2}$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（）

A、1m B、2m C、 $\sqrt{3}$ m D、 $2 \sqrt{3}$ m

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14、在梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $C D, C D = 3 A B$ ，点 $E$ 在对角线 $A C$ 上，且 $A E = \frac{1}{2} E C$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $2 \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A D}$

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l，若点 $(- 6, 0)$ 与点F关于直线l对称，则 $p =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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16、已知复数 $z = 1 - i$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{z} + z^{2} =$ （）

A、 $1 - 3 i$ B、 $1 + 3 i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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17、设集合 $A = \{x |\sqrt{x} = x\}$ ， $B = \{x |\frac{1}{x} > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 $\{1\}$ B、 $\{0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $(0, 1)$

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18、已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a \sin x + \cos x$ （ $x \in [0, + \infty)$ ），记 $x_{n}$ 为 $f (x)$ 的从小到大的第 $n$ （ $n \in N^{*}$ ）个零点．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $x_{n}$ ；

(2)、若 $g (x) = \frac{1}{a} e^{a x} [f (x) - \cos x]$
证明：（i）数列 $\{g (x_{n})\}$ 是等比数列；
（ii）若 $a \geq \frac{1}{\sqrt{e^{2} - 1}}$ ，则对一切 $n \in N^{*} ， x_{n} < |g (x_{n})|$ 恒成立．

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19、在平面直角坐标系中，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, （ a ＞ b ＞ 0 ）$ 的左、右顶点分别为 $A (- 3, 0), B (3, 0)$ ， F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - \frac{5}{9}$ ，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、求 $△ P A Q$ 面积的最大值；

(3)、若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为 $k_{1} 、 k_{2}$ ，是否存在常数 $λ$ ，使得 $k_{1} + λ k_{2} = 0$ 成立？若存在，请求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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20、东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是 $\frac{3}{5}$ ，游客之间选择意愿相互独立．

(1)、从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差；

(2)、东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为 $P_{n}$ （不考虑人流量有限的限制）．
①求 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ；
②求 $P_{n}$ ．

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