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相关试卷

1、若函数 $y = f (x), x \in D$ ，其值域为 $A$ ．若 $A \subseteq D$ ，则称函数 $y = f (x)$ 在区间 $D$ 上为封闭函数．

(1)、已知 $f (x) = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ ，判断函数 $y = f (x)$ 是否在区间 $[2, 8]$ 上为封闭函数，并说明理由；

(2)、已知 $g (x) = x^{2} + 2 x$ ，若函数 $y = g (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上不为单调函数，但在区间 $[a, b]$ 上为封闭函数，求 $b - a$ 的最大值；

(3)、已知函数 $y = h (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且为封闭函数，且对于任意的 $x$ 、 $y \in [a, b]$ ，都有 $|h (x) - h (y)|$ $= L |x - y| (0 \leq L < 1)$ 成立．若数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n + 1} = h (x_{n})$ ， $n \geq 1$ 且 $n \in N$ ，证明：存在唯一常数 $c \in [a, b]$ ，使得 $h (c) = c$ ，且对于任意的 $x_{1} \in [a, b]$ ，都有 $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = c$ ．

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2、已知抛物线 $Γ : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线上一动点，点 $O$ 为坐标原点．

(1)、若 $|O P| = |P F|$ ，求点 $P$ 的坐标；

(2)、若直线 $l_{0} : y = k x + 4$ 与抛物线 $Γ$ 只有一个交点，求直线 $l_{0}$ 的方程；

(3)、若 $x_{0} > 3$ ，过点 $P$ 作圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，交准线 $l$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $|A B|$ 的取值范围．

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3、已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = \ln x$ ．

(1)、若 $f (1 - m) - f (3 - m^{2}) < 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $g (x) = a x - \frac{1}{x} - a + 1 - (a + 1) f (x)$ ，其中 $a > 0$ ，若存在 $b < 0$ ，使得直线 $y = b$ 与函数 $y = g (x)$ 的图像有3个不同的交点，求实数 $a$ 的取值范围．

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4、已知长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2, B C = 4$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为边 $B C$ 、 $A D$ 的中点（如图1）．若将长方形 $A B E F$ 沿着边 $E F$ 翻折，得到二面角 $A_{1} - E F - D$ （如图2）．已知二面角 $A_{1} - E F - D$ 的大小为 $60 °$ ．

(1)、求证：平面 $A_{1} F D / /$ 平面 $B E C$ ；

(2)、求直线 $C A_{1}$ 与平面 $A_{1} B E F$ 所成角的大小．（结果用反三角表示）

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5、绝对零度（ $℃$ ）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（ $k P a$ ）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据：
数据
1
2
3
4
5
6
温度（ $℃$ ）
4.07
16.69
29.42
45.67
57.06
73.05
压强（ $k P a$ ）
103.095
107.734
112.461
118.469
122.706
128.758

(1)、求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01）

(2)、若该次实验下气体压强 $y$ 关于气体温度 $x$ 的回归方程为 $y = 0.372 x + \hat{b}$ ，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01 $℃$ ）

(3)、为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（ $- 273.15 ℃$ ）的误差均小于1 $℃$ 的概率．
绝对零度（ $℃$ ）
$-$ 275.13
$-$ 274.56
$-$ 274.28
$-$ 273.57
$-$ 272.45
$-$ 271.67

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6、已知全集 $U$ 是一个六元集合，任取 $U$ 的两个子集 $A$ 、 $B$ （ $A$ 、 $B$ 可以相等），记事件 $M : B \subseteq A$ ；记事件 $N : B \subseteq \bar{A}$ ．则 $P (M \cup N) =$ （）

A、 $\frac{95}{2^{11}}$ B、 $\frac{665}{2^{11}}$ C、 $\frac{697}{2^{11}}$ D、 $\frac{729}{2^{11}}$

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7、已知椭圆 $Γ_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，双曲线 $Γ_{2} : \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ ，其中（ $a > b > 0$ ），点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆 $Γ_{1}$ 的两个焦点，点 $P$ 是双曲线 $Γ_{2}$ 上一动点．若双曲线 $Γ_{2}$ 的两条渐近线夹角的余弦值等于 $\frac{1}{3}$ ，则使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为直角三角形的点 $P$ 有（）个

A、3 B、4 C、6 D、8

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8、函数 $y = \cos (\frac{π}{2} - 2 x)$ 是（）

A、最小正周期为 $π$ 的奇函数 B、最小正周期为 $π$ 的偶函数 C、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的奇函数 D、最小正周期为 $\frac{π}{2}$ 的偶函数

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9、为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为 $1.5$ h．这里的总体是（）

A、该校所有学生 B、该校所有学生的每天平均体育运动时间 C、所调查的100名学生 D、所调查的100名学生的每天平均体育运动时间

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10、申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口. 查询资料后发现：液面和水平面的夹角 $θ (0 \leq θ < \frac{π}{2})$ 与人走路的加速度 $a$ 以及重力加速度 $g$ 有关，满足关系： $\tan θ = \frac{a}{g}$ ，其中 $g = 10 (m / s^{2})$ . 若甲同学走路启动瞬间的加速度为 $3 (m / s^{2})$ ，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装 ${cm}^{3}$ 的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能.

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11、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = 2^{n - 1} - 1$ ， $n \geq 1$ 且 $n \in N$ ．若 $f (x) = (\sin x + a_{1}) (\sin x + a_{2}) \dots$ $(\sin x + a_{5})$ ，则 $f^{'} (π) =$ ．

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12、已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 3, ∠ B A C = 60 °$ ．若点 $O$ 为 $△ A B C$ 外接圆的圆心，则 $\vec{B C} \cdot \vec{B O} =$ ．

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13、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - x + a = 0$ 有两个不相等的正根 $m$ 、 $n$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{9}{n}$ 的最小值为．

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14、若甲乙丙丁四人组成接力队参加 $4 \times 100$ 米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有种．

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15、已知等差数列 $- 3$ ， $- 1$ ， 1，…，则该数列的第20项为．

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16、已知角 $α$ 为第四象限角，且 $\sin α = - \frac{4}{5}$ ，则 $\cos α =$ ．

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17、设 $α : 1 \leq x \leq 4 ， β : x \leq m ，$ 若 $α$ 是 $β$ 的充分条件，则实数 $m$ 的取值范围是.

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18、将 $\sqrt{a \sqrt{a}} (a > 0)$ 化成有理数指数幂的形式为．

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19、已知复数 $z = (m + 2) + (m - 1) i$ （ $i$ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 $m =$ ．

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20、不等式 $|x - 1| < 1$ 的解集为．

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数据	1	2	3	4	5	6
温度（ $℃$ ）	4.07	16.69	29.42	45.67	57.06	73.05
压强（ $k P a$ ）	103.095	107.734	112.461	118.469	122.706	128.758