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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 4) e^{x} - 2 x$ （e为自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ）

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 1$ 时， $f (x) > 7 \ln a - a - 4$ ．

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2、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} + b$ 在 $x = 1$ 处取得极值1.
（1）求 $a$ ， $b$ 的值；
（2）求 $f (x)$ 在 $[e^{- 1}, e]$ 上的最大值和最小值.

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3、混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.

(1)、一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法？

(2)、若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法？
（要求：解答过程要有必要的文字说明和步骤，结果以数字呈现）

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，且满足 $x f^{'} (x) > f (x)$ ，则不等式 $(x - 1) f (x + 1) > f (x^{2} - 1)$ 的解集是.

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5、已知曲线 $y = x e^{x}$ ，过点 $(3, 0)$ 作该曲线的两条切线，切点分别为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ .

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为4，且满足 $2 (n + 1) a_{n} - n a_{n + 1} = 0 (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 为等差数列 B、 $\{a_{n}\}$ 为递增数列 C、 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 4$ D、 $\{\frac{a_{n}}{2^{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = \frac{n^{2} + n}{2}$

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7、用半径为1的圆形铁皮剪出一个扇形制成一个圆锥形容器，容器高为 $h$ ，当容器的容积最大时， $h =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8、已知函数 $f (x)$ 与 $f' (x)$ 的图象如图所示，则函数 $y = \frac{f (x)}{e^{x}}$

A、在区间 $(- 1, 2)$ 上是减函数 B、在区间 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 上是减函数 C、在区间 $(\frac{1}{2}, 3)$ 上减函数 D、在区间 $(- 1, 1)$ 上是减函数

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9、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} = 12$ ， $S_{24} = 36$ ，则 $S_{16} =$ （）

A、24 B、12 C、24或－12 D、－24或12

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10、若 $f (x) = \ln (2 - x) - x$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、0 B、2 C、－2 D、－4

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11、若 $C_{n}^{2} = 15$ ，则 $A_{n}^{2} =$ （）

A、30 B、20 C、12 D、6

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots n a_{n} = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}} (n \in N^{*})$ ，

(1)、求 $a_{3}$ 的值；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、令 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{n} = \frac{T_{n - 1}}{n} + (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n}) a_{n} (n \geq 2)$ ，证明：数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} < 2 + 2 \ln n$ ．

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13、已知函数 $f (x) = a x^{2} - b x + \ln x (a, b \in R)$ .
（1）若 $a = 1, b = 3$ ，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.
（2）若 $b = 0$ ，不等式 $f (x) \leq 0$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、高考改革新方案.新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.某校为了解高一年级学生选科方案的意向，对高一（1）班36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别
人数
物理
化学
生物
政治
历史
地理
男生
20
20
20
8
3
0
9
女生
16
6
6
16
4
10
6
利用排列组合和古典概型的知识解决以下问题：

(1)、求从20名男生中随机选出2名有种情况，2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合有种情况，2人中恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率等于

(2)、已知16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案.若从16名女生中随机选出2名，求2人选科方案不同的概率.

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9} = 1$ ，则 $a_{3} + a_{7} =$

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16、大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙.譬如松果、凤梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关.在数学上，斐波那契数列 $\{a_{n}\}$ 可以用递推的方法来定义： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{2021} = a_{2022}$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2020} = a_{2022}$ C、 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2021}^{2} = a_{2021} a_{2022}$ D、 $\frac{1}{a_{1} a_{3}} + \frac{1}{a_{2} a_{4}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2019} a_{2021}} + \frac{1}{a_{2020} a_{2022}} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} - \frac{1}{a_{2021} a_{2022}}$

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17、已知m， $n \in N^{*}$ 且 $n \geq m$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} = C_{n}^{m} A_{m}^{m}$ B、若 $C_{n + 1}^{n - 1} = 21$ ，则 $n = 6$ C、 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m - 1} + C_{n}^{m}$ D、 $C_{n + 1}^{m + 1} = (n + 1) C_{n}^{m}$

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18、若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对于 $\forall x \in R$ ， $f^{'} (x) < f (x)$ ，且 $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (2) = 1$ ，则不等式 $f (x) < e^{x}$ 的解集为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 2)$

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，且 $a_{n} = \{\begin{cases} (3 - t) n - 8, n \leq 5 \\ t^{n - 5}, n > 5 \end{cases}$ $(n \in N^{*})$ ，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{7}{6}, 3)$ B、 $[\frac{6}{5}, 3)$ C、 $(\frac{10}{7}, 3)$ D、 $(1, 3)$

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20、将5名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A、240种 B、180种 C、120种 D、60种

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性别	人数	物理	化学	生物	政治	历史	地理
男生	20	20	20	8	3	0	9
女生	16	6	6	16	4	10	6