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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (2 x - 1) e^{x}$ ．

(1)、证明：在曲线 $y = f (x)$ 的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线 $y = 3 x$ 的斜率相等；

(2)、当 $x ⩾ 1$ 时，不等式 $f (x) ⩾ k x - 2$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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2、如图， $A C$ ， $B D$ 是圆柱 $O O_{1}$ 下底面圆的两条直径，点 $E$ 是该圆柱上底面圆周上一点， $A E$ 的中点为 $M$ ．

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $B D M$ ；

(2)、 $C F$ 是该圆柱的母线，若四边形 $C D E F$ 是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，求直线 $B M$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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3、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 c \cos A = a \cos B + b \cos A$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $3 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 外接圆的半径为1，求 $△ A B C$ 的面积.

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4、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆与双曲线的公共左，右焦点， $P$ 为它们的一个公共点，且 $|P O| = |F_{2} O|$ ， O为坐标原点， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别为椭圆和双曲线的离心率，则 $\frac{2}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}}$ 的最大值为．

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5、 $(x - 2 y) {(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2} y^{4}$ 的系数为.

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6、某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线 $C$ ，其方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 |x| - 2 |y| = 0$ ．对于曲线 $C$ ，则下列结论正确的是（）

A、若直线 $y = k x$ 与曲线 $C$ 有唯一公共点，则 $k$ 取值范围为 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ B、曲线 $C$ 上存在唯一的点 $P$ ，使得点 $P$ 到点 $(0, 5)$ 与到点 $(0, - 5)$ 的距离之差为4 C、曲线 $C$ 所围成的封闭区域面积等于 $2 π - 4$ D、若曲线 $C$ 上恰好存在4个不同点到直线 $y = x + m$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ ，则实数 $m$ 的取值范围为 $(- 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 2 - \frac{\sqrt{2}}{2})$

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7、已知第一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的方差为1，第二组样本数据 $3 x_{1} + 2$ ， $3 x_{2} + 2$ ， …， $3 x_{n} + 2$ 的平均数为14，则（）

A、第一组数据的平均数为4 B、第二组数据的方差为3 C、将两组数据合并后数据的平均数是9 D、将两组数据合并后数据的方差是30

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8、将函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{2}, 0)$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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9、已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，且此圆锥的内切球体积为 $\frac{4 π}{3}$ ，则圆锥的侧面积为（）

A、 $\sqrt{3} π$ B、 $3 π$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $6 π$

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10、过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若 $| P F | = 3$ ， $△ O F P$ 的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（）

A、 $\pm \frac{3}{5}$ B、 $\pm \frac{4}{5}$ C、 $\pm \frac{3}{4}$ D、 $\pm \frac{4}{3}$

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11、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 ， |\vec{b}| = 3 ， |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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12、已知复数 $z = \frac{1 + i}{2 - i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $\frac{1}{3} + i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$

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13、已知函数 $f (x) = x + 2 e^{x} - a (e^{2 x} + e^{x})$ ．

(1)、若 $a \geq 1$ ，证明： $f (x) \leq 0$ ．

(2)、设 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
①求 $a$ 的取值范围；
②证明： $x_{2} < \frac{2 - a}{a}$ ．

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14、已知 $B (- 4, 0), C (4, 0)$ 是 $△ A B C$ 的两个顶点， $G$ 是 $△ A B C$ 的重心， $D, E$ 分别是边 $A B, A C$ 的中点，且 $||B E| - |C D|| = 6$ ．记点 $G$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ．

(1)、求 $Γ$ 的方程．

(2)、若 $△ G B C$ 的面积为24，求点 $A$ 的坐标．

(3)、已知点 $F (- 1, 0), M (- 2, 0), N (2, 0)$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与曲线 $Γ$ 交于 $P, Q$ 两点，直线 $M P$ 与 $N Q$ 交于点 $H$ ，试判断 $H$ 是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．

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15、如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中， $A D ⊥$ 平面 $D E F$ ， $D E ⊥ D F$ ， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ， $D E = D F = 8$ ， $G$ 是棱 $C F$ 上一点（不含端点）．

(1)、若 $G$ 为 $C F$ 的中点，求直线 $E G$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值．

(2)、是否存在点 $G$ ，使得 $B D ⊥ E G$ ？若存在，求出 $\frac{C G}{G F}$ 的值；若不存在，说明理由．

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16、某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，能通过复审专家评审的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各专家评审能否通过相互独立．

(1)、求该项目予以立项的概率；

(2)、记评审通过该项目的专家人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望．

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17、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a, b, c$ 成等差数列，且 $\frac{sin A}{sin B} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、求 $cos B$ ；

(2)、记 $△ A B C$ 外接圆的面积为 $S$ ，若 $S \geq 64 π$ ，求 $b$ 的取值范围．

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18、某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有种．

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19、已知 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A$ 是 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点， $B$ 是 $C$ 上的点，且 $|A B| = |A F|$ ，则 $|B F| =$ ．

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20、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}$ 均为单位向量，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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