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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点到两焦点的距离之和为 $2 \sqrt{2}$ ，且其离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）如图，已知 $A$ 、 $B$ 是椭圆 $C$ 上的两点，且满足 ${|O A|}^{2} + {|O B|}^{2} = 3$ ，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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2、在平面直角坐标系中， $N (1, 0)$ ， $M (4, 0)$ ，动点 $Q$ 满足 $\frac{|Q M|}{|Q N|} = 2$ ，设动点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $x - y + 1 = 0$ 与曲线 $C$ 交于A，B两点，求 $|A B|$ ；

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $P D$ 的中点，若 $P A = A D = 2$ ， $C D = 4$ .

(1)、求证： $A F //$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求直线 $F C$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值.

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4、已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (- 5, 0)$ ， $B (3, - 3)$ ， $C (0, 2)$ ，求：

(1)、边 $A C$ 所在直线的方程；

(2)、过点 $B$ 且与直线 $A C$ 平行的直线方程；

(3)、过点 $B$ 且与直线 $A C$ 垂直的直线方程.

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5、两条平行线 $l_{1} : 3 x + 4 y - 7 = 0$ 和 $l_{2} : 3 x + 4 y - 12 = 0$ 的距离为.

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6、给出以下命题，其中正确的是（）

A、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ，直线m的方向向量为 $\vec{b} = (2, 1, - \frac{1}{2})$ ，则l与m垂直 B、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (0, 1, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (1, - 1, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、平面 $α 、 β$ 的法向量分别为 $\vec{n_{1}} = (0, 1, 3), \vec{n_{2}} = (1, 0, 2)$ ，则 $α // β$ D、平面 $α$ 经过三个点 $A (1, 0, - 1), B (0, - 1, 0), C (- 1, 2, 0)$ ，向量 $\vec{n} = (1, u, t)$ 是平面 $α$ 的法向量，则 $u + t = \frac{5}{3}$

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长为10 B、椭圆 $C$ 的一个顶点为 $(0, 5)$ C、椭圆 $C$ 的焦距为8 D、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{4}{5}$

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8、下列说法中，错误的是（）

A、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B、点 $(0, 2)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点为 $(1, 1)$ C、直线 $x - a y - 2 = 0$ 经过定点 $(2, 0)$ D、经过点 $(1, 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程只有 $x + y - 2 = 0$

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9、平面四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{S A} = x \vec{S B} + y \vec{S C} + z \vec{S D}$ ，则实数组 $(x, y, z)$ 可能是（）

A、 $(1, - 1, 1)$ B、 $(1, 0, - 1)$ C、 $(1, 0, 1)$ D、 $(1, - 1, - 1)$

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10、已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} + 8 x + 8 = 0$ ，则圆C的半径为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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11、已知直线 $l$ 过 $A (- 1, 1)$ ， $B (- 1, 3)$ 两点，则直线 $l$ 的倾斜角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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12、已知函数 $f (x) = x - 2$ ， $g (x) = x^{2} - 2 m x + 4 (m \in R)$ ．

(1)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $g (x) > f (x)$ 恒成立，求m的取值范围；

(2)、设 $h (x) = g (x) + x^{2} - x + m - 4$ ，求关于x的不等式 $h (x) > 0$ 的解集；

(3)、若 $m = - 1$ ，对任意 $n \in R$ ，总存在 $x_{0} \in [- 2, 2]$ ，使得不等式 $|g (x_{0}) - x_{0}^{2} + n| \geq k$ 成立，求实数k的取值范围．

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13、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，已知函数 $f (x) = c x^{3} + d x^{2} + e x + f$ ，其中 $c, d, e, f \in R$ ．

(1)、证明：若函数 $y = f (x)$ 为奇函数，则实数 $d$ 和 $f$ 均为定值；

(2)、当 $c = 1$ ， $d = - 3$ ， $e = 3$ ， $f = 4$ 时，
（ⅰ）求函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心；
（ⅱ）求 $f (100) + f (- 98)$ 的值．

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14、深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本 $C (x)$ 万元， $C (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 10 x, 0 < x < 20 \\ 25 x + \frac{900}{x} - 150, x \geq 20 \end{array}$ ，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完．

(1)、写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式；

(2)、年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大．

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15、已知函数 $f (x) = x + \frac{m}{x}$ ，且此函数图象过点 $(1, 5)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上的单调性？并证明你的结论.

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最小值和最大值.

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16、若函数 $f (x) = |x - a + 1|$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上是增函数，则实数a的取值范围是．

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17、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{|x| - 5}$ 的定义域为．

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域是R ，若对任意的 $x, y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ 成立，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则下列说法中正确的是（）．

A、 $f (0) = 0$ B、函数 $f (x)$ 是非奇非偶函数 C、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 D、 $f (x - 2) + f (x^{2} - 2 x) > 0$ 的解集为 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$

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19、（多选题）下列各式中，最小值为2的是（）

A、 $x + \frac{1}{x}$ B、 $\sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ C、 $\sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}} - 2$ D、 $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$

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20、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 $\{x |x \leq - 2$ 或 $x \geq 1\}$ ，则 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为（）．

A、 $\{x |x < - \frac{1}{2} 或 x > 1\}$ B、 $\{x |- \frac{1}{2} < x < 1\}$ C、 $\{x |x < - 2$ 或 $x > 1\}$ D、 $\{x |- 2 < x < 1\}$

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