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相关试卷

1、已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1} :$ $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $Α$ ， $Β$ ．
（1）求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 $Α Β$ 的中点 $Μ$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L:$ $y = k (x - 4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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2、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为1的正方形， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ， $A_{1} A = 2$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， M为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、用空间的一个基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 表示 $\vec{D M}$ ， $\vec{A_{1} C}$ ；

(2)、求 $|\vec{D M}|$ ， $|\vec{A_{1} C}|$ ，异面直线DM与 $A_{1} C$ 所成角的余弦值.

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3、已知直线 $l : y = k x$ 被圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为2，则 $|k|$ 的值为.

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4、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $M : x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 4 = 0$ 相交于 $A, B$ 两点，下列说法正确的为（）

A、两圆外切 B、两圆有两条公切线 C、直线 $A B$ 的方程为 $y = 2 x + 2$ D、线段 $A B$ 的长为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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5、已知点 $A (2, - 3)$ ， $B (- 3, - 2)$ ，若过点 $(1, 1)$ 的直线与线段 $A B$ 相交，则该直线斜率的取值范围是（　　）

A、 $(- \infty, - \frac{3}{4}) \cup [4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 4] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ C、 $[- \frac{3}{4}, 4]$ D、 $[- 4, \frac{3}{4}]$

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6、在四面体 $A B C D$ 中，点M在线段 $D A$ 上，且 $D M = 2 M A$ ， N为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{D A} - \frac{2}{3} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D B} - \frac{1}{2} \vec{D C}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{D A} + \frac{2}{3} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$

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7、已知直线 $l$ 的倾斜角为 $60 °$ ，方向向量 $\vec{a} = (3, y)$ ．则 $y =$ （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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8、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $A D / / B C$ 且 $A B ⊥ A D$ ， $A D = 6 \sqrt{2}$ ， $A B = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $△ P A D$ 的面积等于 $12 \sqrt{2}$ ， E是PD是中点.
（Ⅰ）求四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值；
（Ⅱ）若 $P B = 4 \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ P A D = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（i）求证： $A D ⊥ P C$ ；
（ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

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9、神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船，已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里捏碑，实现了“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹，为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1000名大学生参加，经统计发现他们的成绩（满分120）全部位于区间 $[50, 110]$ 内．现将成绩分成6组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80,90)$ ， $[90, 100)$ ， $[100, 110]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分，现规定前250名在10天后进行复赛.

(1)、求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表），并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线（结果保留整数）；

(2)、复赛共分为两个环节：A和B，经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有 $\frac{2}{3}$ 的学生准备项目A，其余学生准备项目B；在前一天准备项目A的学生中，次日会有 $\frac{4}{5}$ 的学生继续选择准备项目A，其余选择准备项目B；在前一天选择准备项目B的学生中，次日会有 $\frac{2}{3}$ 的学生继续选择准备项目B，其余学生选择准备项目A，用频率近似估计概率，记某学生在第n天准备项目A的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{10}$ ．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正项，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ ，若对 $\forall n \in N *$ 总 $\exists x \in [0, \frac{π}{2}]$ 使不等式 $\frac{1}{a_{1} \cdot a_{2}} + \frac{1}{a_{2} \cdot a_{3}} + + \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} - \sin x - \sqrt{3} \cos x - λ \leq 0$ 成立，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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11、已知6名同学中恰有两名女同学，从这6名同学中任选两人参加某项活动，则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是.

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12、北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩 $x \in [0, 15]$ ，且 $x \in N^{*}$ ，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（）

A、13 B、12 C、11 D、10

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13、下列四个命题中正确命题的个数是（）
①如果 $a$ ， $b$ 是两条直线， $a // b$ ，那么 $a$ 平行于经过 $b$ 的任何一个平面；
②如果直线 $a$ 和平面 $α$ 满足 $a // α$ ，那么 $a$ 与平面 $α$ 内的任何一条直线平行；
③如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $α$ 满足 $a // b$ ， $a // α$ ， $b ⊄ α$ ，那么 $b // α$ ；
④如果 $a$ 与平面 $α$ 上的无数条直线平行，那么直线 $a$ 必平行于平面 $α$ ．

A、0 B、1 C、2 D、3

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14、设 $x, y \in R$ ，向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 2), \overset{⇀}{b} = (3, y),$ $\overset{⇀}{c} = (1, - 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{c}, \overset{⇀}{b} / / \overset{⇀}{c},$ 则 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ 等于

A、 $5$ B、 $4$ C、 $\sqrt{26}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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15、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - 2 i) = 3 + 4 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z |$ 为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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16、已知函数 $f (x) = - \frac{t}{x} + \ln (e x)$ ， $g (x) = \frac{t x}{e} + \ln x$ .（注：e=2.71828…是自然对数的底数）

(1)、若 $t = 0$ ，求不等式 $f (x) + g (x) \geq 3$ 的解集；

(2)、若 $t > 0$ ，且实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) = 0$ ， $g (x_{2}) = 0$ ，
①证明： $\frac{1}{e} < x_{1} x_{2} < e$ ；
②若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $\ln (\frac{x_{1}}{x_{2}}) \geq 5 - 3 \ln 2$ ，求 $x_{1} x_{2}$ 的最小值.

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17、已知函数 $f (x) = \lg (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ， $x \in R$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、已知正实数a，b满足 $f (2 a - 3) + f (\frac{1}{b}) = 0$ .
①求 $2 a + \frac{1}{b}$ 的值；
②若存在满足条件的a，b，使得 $\frac{1}{a} + 2 b \leq t$ 成立，求实数t的取值范围.

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18、已知集合 $A = \{x |\frac{2 x - 5}{x - 2} > 1\}$ ， $B = \{x |t x^{2} - (t + 2) x + 2 \leq 0\}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $∁_{R} A \subseteq B$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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19、求值

(1)、 ${(3^{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2^{\sqrt{2}}})}^{\sqrt{2}}$ ；

(2)、 ${0.1}^{0} + 8^{\frac{2}{3}} - {(\frac{81}{25})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{1}{4})}^{- 1.5}$ .

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20、黎曼函数是由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出的，其在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在 $[0, 1]$ 上，其解析式为 $R (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{p} ， x = \frac{q}{p} (p ， q 互质， p > q > 0) \\ 0 ， x = 0, 1 或 x 为 [0, 1] 上的无理数 \end{cases}$ .
若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (3 x) + f (2 - 3 x) = 0$ ，且 $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [0, 1)$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2025} f (\frac{k}{4}) =$ .

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