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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a ln x - 3 x + 4 (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，
①求实数 $a$ 的取值范围；
②当 $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 取得最小值时，求实数 $a$ 的值．

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，点 $B (1, \frac{3}{2})$ 是C上的一点．

(1)、求C的方程；

(2)、已知圆 $E : {(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ ，点G是C上的动点，以EG为直径的圆交圆E于F，H两点，求四边形EFGH的面积的最小值；

(3)、过点 $P (4, 0)$ 的直线l交C于M，N两点，点Q是线段MN上异于M，N的一点，且 $|P M| \cdot |Q N| = |P N| \cdot |Q M|$ ，求证： $|A Q| = |P Q|$ ．

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 0$ ，公差为 $d$ ，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 在区间 $(0, 1)$ 内至少有两项，则公差 $d$ 的取值范围是．

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4、已知 $a^{2} + 4 b^{2} = 1$ ，则 $a b$ 的最大值为．

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5、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 1$ ，且 $\forall x, y \in R$ 均有 $f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x) f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $n \in N^{*}$ 时，数列 $\{f (n) + 1\}$ 是公比为2的等比数列 C、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 D、 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (10) = 2046$

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6、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，则（）

A、BD⊥平面 $A C C_{1} A_{1}$ B、该四棱台的体积为 $14 \sqrt{3}$ C、二面角 $A_{1} - D C - B$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ D、四棱锥 $A_{1} - A B C D$ 的外接球的球心在 $A_{1} C$ 上

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7、下列选项正确的是（）

A、若随机变量 $X ~ B (6, p)$ ， $D (X) = 1.5$ ，则 $p = 0.5$ B、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ，若 $P (ξ > 1) = p$ ，则 $P (ξ \geq - 1) = 1 - p$ C、连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 $A =$ “第一次出现 $2$ 点”，事件 $B =$ “两次点数之和为奇数”，则事件 $A$ 与 $B$ 互斥. D、对于随机事件 $A$ 与 $B$ ，若 $P (\bar{B}) = 0.3$ ， $P (B |A) = 0.7$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 独立.

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8、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上且周期为4的偶函数，当 $0 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、1

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9、直线 $l$ ： $x + \sqrt{3} y = 0$ 与圆 $M$ ： ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 4$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、无法确定的

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10、 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是（）

A、8 B、 $- 8$ C、32 D、 $- 32$

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11、抛物线 $C_{1} : y^{2} = 4 x$ 的焦点和抛物线 $C_{2} : x^{2} = 8 y$ 的焦点之间的距离为（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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12、已知集合 $A = \{x |- 2 < x < 2\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x < 3\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 2 < x < 3\}$ B、 $\{x |x > - 2\}$ C、 $\{x |- 1 \leq x < 3\}$ D、 $\{x |x < 3\}$

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13、已知 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，对任意 $x, y \in R$ 都有 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 2$ ．当 $x < 0$ 时， $f (x) > 2$ ，且 $f (- 2) = 3$ ．

(1)、求 $f (2)$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明；

(3)、若对 $\forall x \in [- 3, 3], \forall m \in[5, 7]$ ，都有 $2 f (x) - f [t^{2} + t^{- 2} - m (t + t^{- 1})] \leq 1$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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14、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2}{e^{x} + 1}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性，并说明理由；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并用定义证明；

(3)、若不等式 $f (2^{x} - m) + f (3 - 4^{x}) < 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 1) x + a$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $a \in R$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(3)、若 $f (x) + 2 x \geq 0$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、计算下列各式的值：

(1)、 $27^{\frac{1}{3}} - \sqrt{0.25} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - {(\frac{1}{6})}^{0}$ ；

(2)、 $\log_{3} \sqrt[4]{27} + \lg 25 + \lg 4 - 7^{\log_{7} 2}$ .

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17、函数 $f (x) = 2 \log_{a} (4 x + 1) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）图象恒过的定点坐标为

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (\frac{1}{2}) \neq 0 ，$ 若 $f (x + y) + f (x) f (y) = 4 x y$ ，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (\frac{1}{2}) = 1$ C、函数 $f (x - \frac{1}{2})$ 是偶函数 D、函数 $f (x + \frac{1}{2})$ 是减函数

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19、下列说法正确的是（）

A、“ $\forall x \in R ， |x| + 1 \geq 1$ ” 是真命题. B、“有些平行四边形是菱形” 是真命题. C、命题 $p : \exists x > 2, x^{2} - 3 x - 4 < 0$ 的否定为 “ $\forall x \leq 2 ， x^{2} - 3 x - 4 \geq 0$ ” D、若函数 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 0]$

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20、17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知 $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $1 g 3 \approx 0.4771$ ，设 $N = 4^{5} \times 27^{10}$ ，则 $N$ 所在的区间为（）

A、 $(10^{15}, 10^{16})$ B、 $(10^{16}, 10^{17})$ C、 $(10^{17}, 10^{18})$ D、 $(10^{18}, 10^{19})$

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