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相关试卷

1、若函数 $f (x)$ 满足以下三个条件，则称 $f (x)$ 为 $S G - L$ 函数.①定义域为 $N^{*}$ ；②对任意 $x \in N^{*}$ ， $f (x) \in N^{*}$ ；③对任意正整数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} + x_{2} \geq 3$ 时，有 $(f (x_{1} + x_{2}) - f (x_{1}) - f (x_{2})) (f (x_{1} + x_{2}) - f (x_{1}) - f (x_{2}) - 1) \leq 0$ .若给定 $S G - L$ 函数 $f (x)$ 某几个函数值，在满足条件①②③的情况下，可能的 $f (x)$ 如果有 $k$ 种，分别为 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $f_{k} (x)$ .
那么我们记 $F (n)$ 等于 $f_{1} (n)$ ， $f_{2} (n)$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $f_{k} (n)$ 的最大值.这样得到的 $F (x)$ 称为 $f (x)$ 的最大生成函数.

(1)、若 $f (x)$ 为 $S G - L$ 函数，且 $F (x)$ 是在给定条件 $f (1) = 1$ ， $f (3) = 5$ 下的 $f (x)$ 的最大生成函数，求 $f (2)$ 和 $F (4)$ 的值；

(2)、若 $g (x)$ 为 $S G - L$ 函数，且满足 $g (1) = g (2) = 1$ ，求数列 $\{2^{g (n)}\}$ 的前10项和；

(3)、若 $h (x)$ 为 $S G - L$ 函数，且 $H (x)$ 是在给定条件 $h (1) = 1$ ， $h (2) = 2$ 下的 $h (x)$ 的最大生成函数，求数列 $\{H (n)\}$ 的前 $n$ 项和.

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2、如图，双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{4 a^{2}} - \frac{y^{2}}{4 b^{2}} = 1$ 的左､右顶点，过点 $F_{1}$ 的直线分别交双曲线 $C_{1}$ 的左､右两支于 $A, B$ 两点，交双曲线 $C_{2}$ 的右支于点 $M$ （与点 $F_{2}$ 不重合），且 $△ B F_{1} F_{2}$ 与 $△ A B F_{2}$ 的周长之差为2.

(1)、求双曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $M F_{2}$ 交双曲线 $C_{1}$ 的右支于 $D, E$ 两点.
①记直线 $A B$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $D E$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；
②试探究： $|D E| - |A B|$ 是否为定值？并说明理由.

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3、已知函数 $f (x) = x e^{a - \frac{1}{2} x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = |f (x) + e^{- 2} a|, x \in (0, + \infty)$ 存在最大值，求 $a$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = \log_{a} (\frac{m}{x} - 1)$ 的图象恒过定点 $(1, 0)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．

(1)、求实数 $m$ 的值，并研究函数 $y = f (x + 1)$ 的奇偶性；

(2)、函数 $g (x) = \log_{a} (x + \frac{k^{2} + k + 2}{x} - 2 (k + 1))$ ，关于x的方程 $f (x) = g (x)$ 恰有唯一解，求实数 $k$ 的范围．

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5、一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入 $x$ （单位：千万元）对每件产品成本 $y$ （单位：元）的影响，对近 $10$ 年的年技术创新投入 $x_{i}$ 和每件产品成本 $y_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ 的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得： $\bar{x} = 6.8$ ， $\bar{y} = 70$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{x_{i}} = 3$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{x_{i}^{2}} = 1.6$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{y_{i}}{x_{i}} = 350$ .

(1)、根据散点图可知，可用函数模型 $y = \frac{b}{x} + a$ 拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，试建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(2)、已知该产品的年销售额 $m$ （单位：千万元）与每件产品成本 $y$ 的关系为 $m = - \frac{y^{2}}{500} + \frac{2 y}{25} + \frac{200}{y - 10} + 100$ .该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本 $10$ 千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入 $x$ 为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润=年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1})$ 、 $(u_{2}, v_{2})$ 、 $\dots$ 、 $(u_{n}, v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

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6、设函数 $f (x) = |2 x^{2} - a x + 1| + a x^{2}$ ，若函数 $y = f (x)$ 与直线 $y = a x$ 有两个不同的公共点，则 $a$ 的取值范围是.

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7、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的单调增函数，且满足 $f (- 1 - x) + f (x) = - 7$ ，若对于任意非零实数 $x$ 都有 $f [f (x) + \frac{1}{f (x) + 3} - x - \frac{1}{x} + 2] = - 4$ ，则 $f (2024) =$ .

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8、若 ${(x - 2)}^{4} = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $a_{0} =$ ； $\frac{a_{1} + a_{3}}{a_{0} + a_{2} + a_{4}} =$ .

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9、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 同时满足① $f (x + 1) - f (x) = 2 x + 2, x \in R$ ；②当 $x \in [0, 1]$ 时， $|f (x)| \leq 1$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $\exists n \in N^{*}$ ，使得 $f (n) > 2024 n$ D、 $\forall$ $x \in R, |f (x)| < x^{2} + |x| + 3$

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10、已知 $2^{a} = {log}_{\frac{1}{2}} a, {log}_{2} b = {(\frac{1}{2})}^{b}$ ，则（）

A、 $a + 2^{a} = b + 2^{- b}$ B、 $a + b = 2^{b} + 2^{- a}$ C、 $2^{b} + 1 > e^{\frac{1}{a}}$ D、 $2^{a} > e^{1 - \frac{1}{b}}$

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11、为研究光照时长 $x$ （小时）和种子发芽数量 $y$ （颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点 $P$ 后，下列说法正确的是（）

A、相关系数 $r$ 变小 B、经验回归方程斜率变大 C、残差平方和变小 D、决定系数 $R^{2}$ 变小

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12、在农业生产中，自动化控制技术的应用有效提高了农业生产效率.如图所示，在某矩形试验田 $M N P Q$ 中， $M Q = 2 M N = 4, R$ 为 $M N$ 中点， $F$ 为 $Q R$ 中点，三角形 $M Q R$ 区域种植小麦，梯形 $R N P Q$ 区域种植玉米.为提高劳动效率，节约用水，现采用自动浇水机器人（忽略机器人的面积）对试验田进行灌溉.已知该机器人沿着以 $F$ 为焦点， $M Q$ 为准线的抛物线运动，且向以自身为圆心，半径为 $\frac{1}{8}$ 的圆形区域内浇水.记小麦田能够被机器人灌溉的面积为 $S$ ，则（）（若直线 $l$ 与抛物线 $E$ 相切于点 $A$ ，平行于 $l$ 的直线 $l^{'}$ 与 $E$ 交于 $B ､ C$ 两点，记 $B C$ 与 $E$ 围成的图形面积为 $S_{1}, △ A B C$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $3 S_{1} = 4 S_{2}$ ）

A、 $S = \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4} < S < \frac{49}{192}$ C、 $S = \frac{49}{192}$ D、 $S > \frac{49}{192}$

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13、设函数 $f (x) = x^{3} - x$ ，正实数 $a, b$ 满足 $f (a) + f (b) = - 2 b$ ，若 $a^{2} + λ b^{2} \leq 1$ ，则实数 $λ$ 的最大值为（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 + \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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14、已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“ $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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15、若函数 $f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- 3, 1]$ ，则 $y = \frac{f (3 - 4 x)}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为（）

A、 $\{1\}$ B、 $(1, \frac{3}{2}]$ C、 $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}]$ D、 $(1, \frac{5}{2}]$

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16、已知M，N均为 $R$ 的子集，若存在 $x$ 使得 $x \in M$ ，且 $x \notin ∁_{R} N$ ，则（）

A、 $M \cap N \neq \emptyset$ B、 $M \subseteq N$ C、 $N \subseteq M$ D、 $M = N$

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C} = \frac{1}{\tan A}$ .

(1)、求 $\cos A$ 的最小值；

(2)、记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = θ$ ，证明：
① $\tan A = \frac{4 S}{b^{2} + c^{2} - a^{2}}$ ；
② $\tan A = 2 \tan θ$ .

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18、 $△ A B C$ 是正三角形， $C D$ 是 $A B$ 边上的高，E是AC中点，将 $△ A B C$ 沿 $C D$ 翻折成二面角 $A - D C - B$ ，

(1)、若二面角 $A - D C - B$ 的平面角为 $60^{\circ}$ ，求 $B E$ 与平面 $B C D$ 所成的角 $θ$ 的正切值 $tan θ$ ；

(2)、若二面角 $A - D C - B$ 的平面角为 $α$ （ $α$ 为锐角）， $B E$ 与平面 $B C D$ 所成的角为 $θ$ ，用 $cos α$ 表示 ${tan}^{2} θ$ ．

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19、如图所示，圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}, A D = 2 \sqrt{3}$ ， $C$ 为圆周上一动点， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ .

(1)、求四边形ABCD周长的最大值；

(2)、若 $\frac{B C}{C D} = \frac{1}{2}$ ，求AC的长.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面PAD是正三角形，底面 $A B C D$ 为正方形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， M，N， Q分别是PD，AB，BC中点，AD=2 .

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求三棱锥 $P - M N Q$ 的体积；

(3)、求二面角的 $M - B C - A$ 正切值.

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