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相关试卷

1、如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将 $△ A D E$ 沿DE翻折到 $△ S D E$ ， $△ B E F$ 沿EF翻折到 $△ S E F$ ，

(1)、求证：平面 $S E F ⊥$ 平面SFD；

(2)、当F是边BC的中点时，二面角 $D - S E - F$ 的大小；

(3)、若 $B F > 1$ ，将 $△ A D E$ 沿DE翻折到 $△ S D E$ ， $△ B E F$ 沿EF翻折到 $△ S E F$ ，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的最大值.

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2、若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{2024}$ 均为正实数，则 $x_{1} + \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{3}}{x_{1} x_{2}} + \frac{x_{4}}{x_{1} x_{2} x_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{x_{2024}}{x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{2023}} + \frac{4}{x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{2024}}$ 的最小值为.

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3、已知 $sin θ, cos θ$ 是方程 $x^{2} - 2 sin α \cdot x + {sin}^{2} β = 0$ 的两个实根， $\cos 2 α \neq 0$ ，则 $\frac{\cos 2 β}{\cos 2 α} =$ ．

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4、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为3，其外接球的球心为 $O$ ．点 $E$ 满足 $\overset{⃑}{A E} = λ \overset{⃑}{A B}$ $(0 < λ < 1)$ ，过点 $E$ 作平面 $α$ 平行于 $A C$ 和 $B D$ ，设 $α$ 分别与该正四面体的棱 $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 相交于点 $F$ ， $G$ ， $H$ ，则（）

A、四边形 $E F G H$ 的周长为定值 B、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，四边形 $E F G H$ 为正方形 C、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时， $α$ 截球 $O$ 所得截面的周长为 $\frac{13}{4} π$ D、四棱锥 $A - E F G H$ 的体积的最大值为 $\frac{2}{3} \sqrt{2}$

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5、已知在一次随机试验 $E$ 中，定义两个随机事件 $A$ 和 $B$ ，若 $P (A) = \frac{1}{4}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $P (\bar{A}) = \frac{3}{4}$ B、若 $A$ 、 $B$ 相互独立，则 $A$ 和 $B$ 至少有一个发生的概率为 $\frac{1}{2}$ C、 $0 \leq P (A B) \leq \frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{3} \leq P (A + B) \leq \frac{7}{12}$

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6、已知函数 $f (x) = e x + π, g (x) = {(\frac{π}{e})}^{x}$ （e为自然对数的底数），则（）

A、 $\forall x \in (0, + \infty), f (x) > g (x)$ B、 $\exists x_{0} \in (\frac{e}{π}, eπ)$ ，当 $x = x_{0}$ 时， $f (x) = g (x)$ C、 $\forall x \in (\frac{e}{π}, eπ), f (x) < g (x)$ D、 $\exists x_{0} \in (e^{2 π}, + \infty)$ ，当 $x > x_{0}$ 时， $f (x) < g (x)$

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7、下列命题中，错误的是（）

A、函数 $y = x + \frac{1}{x - 1} (x < 1)$ 的最大值为 $- 1$ B、“ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的充分不必要条件 C、“ $x = 1$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个实数根”的充要条件是“ $a + b + c = 0$ ” D、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $c_{1}$ ， $c_{2}$ 都不为0，不等式 $a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} > 0$ 的解集为 $M$ ，不等式 $a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} > 0$ 的解集为 $N$ ，则“ $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ”是“ $M = N$ ”的充要条件

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8、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点D是BC的中点， $A B = A A_{1} = 4$ ．

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(3)、求点 $B$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离．

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9、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a - b}{c - b} = \frac{\sin C}{sin A + sin B}$

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{2}$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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10、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 3)$ ， $\vec{c} = (4, n)$ ．

(1)、若 $\vec{a} // \vec{c}$ ，求实数 $n$ 的值；

(2)、求 $(3 \vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - 5 \vec{b})$ ；

(3)、若 $t \in R$ ，求 $|\vec{a} + t \vec{b}|$ 的最小值．

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11、如图，二面角 $α - l - β$ 的大小是30°，线段 $A B \subset α$ ， $B \in l$ ， $A B$ 与 $l$ 所成的角为60°，则 $A B$ 与平面 $β$ 所成的角的正弦值是．

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12、已知向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (1 - n, 1)$ ， $m > 0, n > 0$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\frac{1}{2 m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为.

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13、在三棱锥 $D - A B C$ 中，已知 $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $D B = 4$ ，平面 $B C D ⊥$ 平面ABC，且 $D B ⊥ A B$ ，则（）．

A、 $D B ⊥ A C$ B、平面 $D A B ⊥$ 平面ABC C、三棱锥 $D - A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、三棱锥 $D - A B C$ 的外接球的表面积为 $16 π$

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14、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，给出下列结论，其中正确结论有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的最大值 C、把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象. D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上是增函数

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15、已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, 3]$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $(- 2, 2)$

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = \sqrt{6}$ ， $b = 2$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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17、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A C$ 与 $A_{1} B$ 所成的角是（）

A、 $45 °$ B、 $90 °$ C、 $60 °$ D、 $30 °$

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18、已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x < 1}, B = {x ∣ 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 \leq x < 1}$ B、 ${x ∣ - 2 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 1 < x \leq 2}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 1}$

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19、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且 $a cos C + \sqrt{3} a sin C = b + c$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、当 $a = 2 \sqrt{3}$ 时，
（ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求 $\vec{G B} \cdot \vec{G C}$ 的最大值；
（ⅱ）求 $|\frac{cos B}{sin C} \vec{A B} + \frac{cos C}{sin B} \vec{A C}|$ 值．

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20、学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：
$sin α sin β = \frac{1}{2} [cos (α - β) - cos (α + β)],$
$cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) + cos (α + β)],$
$sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)],$
$cos α sin β = \frac{1}{2} [sin (α + β) - sin (α - β)] .$

(1)、证明： $cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α + β) + cos (α - β)]$

(2)、应用上面的公式解决下列问题：
（i）已知 $cos (α + β) cos (α - β) = \frac{1}{2}$ ，求 ${cos}^{2} α - {sin}^{2} β$ 的值；
（ii）若 $α + β + γ = π$ ，求 $cos α + 2 cos β cos γ + 2 cos α cos β cos γ$ 的最大值.

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