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相关试卷

1、我校对 $2021$ 年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取 $100$ 名学生，将分数按照 $[30, 50)$ ， $[50, 70)$ ， $[70, 90)$ ， $[90, 110)$ ， $[110, 130)$ ， $[130, 150]$ 分成 $6$ 组，制成了如图所示的频率分布直方图：

(1)、估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分；

(2)、为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在 $[50, 70)$ 和 $[70, 90)$ 的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 $5$ 名学生，再从这 $5$ 名学生中随机抽取 $2$ 名学生进行问卷调查，求抽取的这 $2$ 名学生至少有 $1$ 人成绩在 $[50, 70)$ 内的概率．

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2、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3 x - 1, x < 1 \\ 2^{x}, x \geq 1 \end{cases}$ ，则满足 $f (f (a)) = 2^{f (a)}$ 的实数 $a$ 取值范围是.

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3、下列命题中错误的是（）．

A、 $y = | \cos (2 x + \frac{π}{6}) |$ 最小正周期为 $π$ ； B、函数 $y = \tan \frac{x}{2}$ 的图象的对称中心是 $(k π, 0), k \in Z$ ； C、 $f (x) = \tan x - \sin x$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上有3个零点； D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$

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4、以下四个命题中正确的是（）

A、空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间向量的一组基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 构成空间向量的另一组基底 C、对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - 2 \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点共面 D、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，即它们所在的直线共面

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5、已知 $A (1, - 2)$ ， $B (2, 1)$ ，若直线 $l$ 恒过点 $(0, - 1)$ 且与线段 $A B$ 相交，则直线 $l$ 的斜率取值可能是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 2$ C、 $0$ D、 $2$

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6、有一天，数学家笛卡尔在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，这样就可以用一组数 $(x, y)$ 表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组有顺序的两个数来表示，这就是我们常用的平面直角坐标系雏形.如图，在△ABC中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，请利用平面直角坐标系与向量坐标，计算 $\cos ∠ M P N$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{15}$ D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{15}$

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7、已知 $\vec{a} = (1, 2, 0), \vec{b} = (- 2, 0, 1)$ ，若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} + 3 \vec{b}$ 平行，则 $k =$ （）．

A、2 B、1 C、6 D、3

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8、设i为虚数单位，则复数 $\frac{1 - i}{2 + i} =$ （）．

A、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$

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9、若集合 $M = {x | x^{2} > 4}$ ， $N = {x | 1 < x \leq 3}$ ，则 $N \cap (∁_{R} M) =$ （）．

A、 ${x | 1 < x \leq 2}$ B、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ C、 ${x | - 2 \leq x < 1}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 3}$

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10、已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1} :$ $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $Α$ ， $Β$ ．
（1）求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 $Α Β$ 的中点 $Μ$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $L:$ $y = k (x - 4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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11、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为1的正方形， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ， $A_{1} A = 2$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， M为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、用空间的一个基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 表示 $\vec{D M}$ ， $\vec{A_{1} C}$ ；

(2)、求 $|\vec{D M}|$ ， $|\vec{A_{1} C}|$ ，异面直线DM与 $A_{1} C$ 所成角的余弦值.

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12、已知直线 $l : y = k x$ 被圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为2，则 $|k|$ 的值为.

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13、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $M : x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 4 = 0$ 相交于 $A, B$ 两点，下列说法正确的为（）

A、两圆外切 B、两圆有两条公切线 C、直线 $A B$ 的方程为 $y = 2 x + 2$ D、线段 $A B$ 的长为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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14、已知点 $A (2, - 3)$ ， $B (- 3, - 2)$ ，若过点 $(1, 1)$ 的直线与线段 $A B$ 相交，则该直线斜率的取值范围是（　　）

A、 $(- \infty, - \frac{3}{4}) \cup [4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 4] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ C、 $[- \frac{3}{4}, 4]$ D、 $[- 4, \frac{3}{4}]$

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15、在四面体 $A B C D$ 中，点M在线段 $D A$ 上，且 $D M = 2 M A$ ， N为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{D A} - \frac{2}{3} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D B} - \frac{1}{2} \vec{D C}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{D A} + \frac{2}{3} \vec{D B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$

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16、已知直线 $l$ 的倾斜角为 $60 °$ ，方向向量 $\vec{a} = (3, y)$ ．则 $y =$ （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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17、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $A D / / B C$ 且 $A B ⊥ A D$ ， $A D = 6 \sqrt{2}$ ， $A B = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $△ P A D$ 的面积等于 $12 \sqrt{2}$ ， E是PD是中点.
（Ⅰ）求四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值；
（Ⅱ）若 $P B = 4 \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ P A D = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（i）求证： $A D ⊥ P C$ ；
（ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

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18、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 底面 $A B C$ ，若二面角 $P - A B - C$ 的大小为30°， $A B ⊥ B C$ ， $A C = 2$ ， $P C = 1$ ， $M$ 是 $P A$ 上靠近点 $A$ 的三等分点， $N$ 是 $P B$ 上的一点，且 $P B = 4 P N$ .

(1)、求直线 $B C$ 与直线 $P A$ 所成角的余弦值；

(2)、求三棱锥P－MNC的体积.

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19、神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船，已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里捏碑，实现了“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹，为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1000名大学生参加，经统计发现他们的成绩（满分120）全部位于区间 $[50, 110]$ 内．现将成绩分成6组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80,90)$ ， $[90, 100)$ ， $[100, 110]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分，现规定前250名在10天后进行复赛.

(1)、求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表），并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线（结果保留整数）；

(2)、复赛共分为两个环节：A和B，经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有 $\frac{2}{3}$ 的学生准备项目A，其余学生准备项目B；在前一天准备项目A的学生中，次日会有 $\frac{4}{5}$ 的学生继续选择准备项目A，其余选择准备项目B；在前一天选择准备项目B的学生中，次日会有 $\frac{2}{3}$ 的学生继续选择准备项目B，其余学生选择准备项目A，用频率近似估计概率，记某学生在第n天准备项目A的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{10}$ ．

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正项，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ ，若对 $\forall n \in N *$ 总 $\exists x \in [0, \frac{π}{2}]$ 使不等式 $\frac{1}{a_{1} \cdot a_{2}} + \frac{1}{a_{2} \cdot a_{3}} + + \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} - \sin x - \sqrt{3} \cos x - λ \leq 0$ 成立，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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