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相关试卷

1、如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q} = |\vec{P Q}|$ ；

(1)、求∠PAQ的大小；

(2)、求 $△ A P Q$ 面积的最小值；

(3)、某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“ $△ A P Q$ 中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．

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2、已知 $A (1, 1)$ ， $B (m, 2)$ ， $C (- 2, 3)$ ， $D (- 1, n)$ 是复平面上的四个点，其中 $m$ ， $n \in R$ ，且向量 $\overset{⃑}{B C}$ ， $\overset{⃑}{A D}$ 对应的复数分别为 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ．
（1）若 $z_{1} - z_{2} = 1 - i$ ，求 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ；
（2）若 $|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{2} |z_{1}| = 2$ ， $z_{2}$ 对应的点在复平面内的第二象限，求 $\frac{z_{2} - \sqrt{3} i}{z_{1} - 1}$ ．

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3、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} b$ ．

(1)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求 $a$ 的值：

(2)、若 $a^{2} = b c$ ，判断 $△ A B C$ 的形状．

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4、已知 $|\overset{⃑}{a}| = 4$ ，向量 $\overset{⃑}{b} = (- 1, \sqrt{3})$ ．

(1)、若向量 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{b}$ ，求向量 $\overset{⃑}{a}$ 的坐标；

(2)、若向量 $\overset{⃑}{a}$ 与向量 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为120°，求 $|\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ．

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5、“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为 $O T$ ，测量小组选取与塔底 $O$ 在同一水平面内的两个测量点 $A$ 和 $B$ ，现测得 $∠ O B A = 105 °, ∠ O A B = 45 °, A B = 45$ m，在点 $B$ 处测得塔顶 $T$ 的仰角为 $30 °$ ，则塔高 $O T$ 为m．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上的一点，若 $\vec{A P} = \frac{3}{11} \vec{A B} + m \vec{A C}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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7、复数 $z = i^{2025} (1 + i) - a$ 为纯虚数，则实数 $a$ 的值为．

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8、在 $△ A B C$ 中， $\sin \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}, B C = 10, A C = 2$ ，则（）

A、 $A B = 4 \sqrt{5}$ B、 $△ A B C$ 的面积为8 C、 $\vec{C A} \cdot \vec{B C} = 12$ D、 $△ A B C$ 的内切圆半径是 $3 - \sqrt{5}$

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9、已知 $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\overset{⃑}{A B} = 2 \vec{a}$ ， $\overset{⃑}{B C} = \vec{b}$ ，则（）

A、 $\overset{⃑}{A C} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ C、 $(4 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \overset{⃑}{B C}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$

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10、下列结论中错误的为（）

A、两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等 C、对任意向量 $\vec{a}$ ， $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ 是一个单位向量 D、零向量没有方向

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11、已知 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{4}{3} \vec{b}$ B、 $- \frac{4}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{b}$

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12、在 $△ A B C$ 中，若 $a = 18, b = 24, A = 45 °$ ，则此三角形（）

A、无解 B、有两解 C、有一解 D、解的个数不确定

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13、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{0}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ D、 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$

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14、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B$ 的对边分别为 $a, b$ ，若 $\frac{a}{\sin A} = \sqrt{2}, \sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $b$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

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15、若复数 $z$ 满足 $(z - 1) i = 1$ ，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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16、设平面向量 $\vec{a} = (5, k), \vec{b} = (2, 8)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $- \frac{5}{4}$

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17、已知点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ，动点 $T$ 满足 $|T F_{1}| + |T F_{2}| = 4$ ，动点 $T$ 的轨迹记为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : x = 4$ 与 $x$ 轴交于点 $M, B$ 为 $l$ 上的动点，过 $B$ 作 $C$ 的两条切线，分别交 $y$ 轴于点 $P, Q$ .
①证明：直线 $B P, B F_{2}, B Q$ 的斜率成等差数列；
② $⊙ N$ 经过 $B, P, Q$ 三点，是否存在点 $B$ ，使得 $∠ P N Q = 90^{\circ}$ ？若存在，求 $|B M|$ ；若不存在，请说明理由.

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18、已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - \frac{a x}{x + 1}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、若 $f (x) ⩾ 0$ 恒成立，求 $a$ 的值；

(3)、求证： $sin \frac{1}{n + 1} + sin \frac{1}{n + 2} + \dots + sin \frac{1}{2 n} < ln 2 (n \in N^{*})$ .

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19、在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C,$ $P A ⊥$ 平面 $P B C$ .

(1)、求证： $P B ⊥ B C$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - B$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $A B = 2,$ $B C = \sqrt{2}$ ，求 $P A$ .

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{1 + sin A}{cos A} = \frac{1 + sin B}{cos B}$ .

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、设 $A B = 1$ ，且 $D$ 是边 $B C$ 的中点，求当 $∠ C A D$ 最大时， $△ A B C$ 的面积.

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