广东省深圳市宝安中学集团龙津中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2025-11-22 类型：期中考试

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一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线 $x + y - 6 = 0$ 的倾斜角是（）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，化简 $\vec{A B} + \vec{B D} - \vec{A C_{1}} =$ （）

A、 $\vec{C_{1} B}$ B、 $\vec{B C_{1}}$ C、 $\vec{C_{1} D}$ D、 $\vec{D C_{1}}$

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $2 x \pm y = 0$ B、 $x \pm 2 y = 0$ C、 $4 x \pm y = 0$ D、 $x \pm 4 y = 0$

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4. 已知直线 $l_{1}$ ： $a x + y - 1 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $x + a y - 2 = 0$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）条件.

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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5. 设 $A (3, 3, 1)$ ， $B (1, 0, 5)$ ， $C (0, 1, 0)$ ，则 $A B$ 的中点M到点C的距离 $|C M| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{53}}{4}$ B、 $\frac{53}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{53}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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6. 已知直线 $l : x + 2 y + 5 = 0$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = a^{2} + 6$ ，则直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、与 $a$ 的取值有关

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7. 已知直线 $l : m x + y - m + 1 = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A, B$ 两点，则当 $|A B|$ 取最小值时， $m =$ （）

A、1 B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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8. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的两个焦点， P 为 C 上一点，且△ $P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{2}{3} ，$ 若 P 在第一象限，则 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ = （）

A、 $\frac{25}{9}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{12}{5}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或者错选不得分.

9. 已知圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $(4 ， 0)$ 在圆M内 B、圆M关于 $x + 3 y - 2 = 0$ 对称 C、半径为 $\sqrt{3}$ D、直线 $x - \sqrt{3} y = 0$ 与圆M相切

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10. 某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象是双曲线，设其焦点为 $M, N$ ，若 $P$ 为其图象上任意一点，则（）

A、 $y = - x$ 是它的一条对称轴 B、它的离心率为 $\sqrt{2}$ C、点 $(2, 2)$ 是它的一个焦点 D、 $||P M| - |P N|| = 2 \sqrt{2}$

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11. 如图，在棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B B_{1}} + μ \vec{B C}, λ \in [0, 1], μ \in [0, 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $λ = μ$ ，则 $D P / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、若 $λ = 2 μ$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{5}}{2} a$ C、若 $μ = 1$ ，则存在 $λ$ ，使 $D P ⊥ A_{1} P$ D、若 $μ = \frac{1}{2}$ ，则存在 $λ$ ，使 $A_{1} C ⊥$ 平面 $D P B$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知向量 $\vec{a} = (2, λ, - 1), \vec{b} = (2, 1, - 4)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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13. 圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 关于直线 $y = 2 x - 1$ 的对称圆的方程为.

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ 且 $b > c$ ，若在椭圆上存在点P，使得过点P可作以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算过程.

15. 在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} a = 2 c s i n A$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ，且 $a b = 6$ ，求△ABC的周长．

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16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，且过点 $(1, \frac{\sqrt{6}}{3})$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若经过椭圆C的右焦点 $F_{2}$ 作倾斜角为 $45 °$ 的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求 $△ A O B$ 的面积.

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17. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = B C = 1 ， P C = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面PAB；

(2)、求二面角 $A - P C - B$ 的大小．

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18. 已知圆O经过 $A (2 \sqrt{2}, 0)$ ， $B (2, 2)$ ， $C (- \sqrt{2}, \sqrt{6})$ 三点．

(1)、求圆O的标准方程；

(2)、若P是圆O上的动点，点P在x轴上的射影为H，点Q满足 $\vec{P Q} = \frac{1}{2} \vec{P H}$ ，求点Q的轨迹 $C_{1}$ 的方程；

(3)、设 $F_{1} (- \sqrt{6}, 0)$ ，记M为在（2）的条件下得到的曲线 $C_{1}$ 上的动点，以线段 $M F_{1}$ 为直径作圆 $C_{2}$ ，请判断圆 $C_{2}$ 与圆O的位置关系，并说明理由．

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19. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点 $F (2, 0)$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设点 $P$ 在 $C$ 的右支上，过点 $P$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = \frac{3}{2}$ 的两条切线，一条与 $C$ 的左支交于点 $M$ ，另一条与 $C$ 的右支交于点 $N$ （异于点 $P$ ）.
（ⅰ）证明： $O M ⊥ O P$ ；
（ⅱ）当 $△ P M N$ 的面积最小时，求直线 $P M$ 和直线 $P N$ 的方程.

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