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相关试卷

1、亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示，

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、估计这600名学生成绩的中位数；

(3)、根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在 $[40, 60), [90, 100]$ 的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．

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2、已知四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A D C = 90^{\circ}, A D // B C, △ A B D$ 为等腰直角三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P A$ 的中点， $A D = 2 B C = 2 \sqrt{2}, P A = 3 P D = 3$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求三棱锥 $B - D E P$ 的体积．

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3、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c， $B \in (\frac{π}{2},π), a = 3, b = 2 c$ ，且 $9 \sin B - 2 \sin C = 2 \sqrt{15}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为.

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4、已知向量 $\vec{a} = (- 22, 90, 28), \vec{b} = (11, - 45, k)$ ，若 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线，则 $k =$ ．

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5、已知函数 $f (x) = \cos 2 x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ； B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{3}$ 对称； C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减； D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度后所得到的图象与函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象重合．

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6、盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件 $A =$ “两个球颜色相同”， $B =$ “第1次取出的是红球”， $C =$ “第2次取出的是红球”， $D =$ “两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（）

A、A与 $B$ 相互独立 B、A与 $D$ 互为对立 C、 $B$ 与 $C$ 互斥 D、 $B$ 与 $D$ 相互独立

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7、已知四面体ABCD的各顶点均在球 $O$ 的球面上，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D, A B = B C =$ $A C = C D = 2,$ $B C ⊥ C D$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $8 π$ C、 $\frac{28 π}{3}$ D、 $12 π$

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8、已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $2 \sqrt{3} x + 2 y - x y = 0$ ，则当 $x y$ 取得最小值时， $x + 2 y =$ （）

A、 $4 + 8 \sqrt{3}$ B、 $2 + 4 \sqrt{3}$ C、 $3 + 6 \sqrt{3}$ D、 $8 + 6 \sqrt{3}$

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9、设点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，若直线 $2 x + y - b = 0$ 与线段 $A B$ 相交，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[0, 2]$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $(- 2, 2]$

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10、函数 $f (x) = x^{2} + (a - 1) x + 1$ 有两个零点的充分不必要条件是（）

A、 $a > 3$ B、 $- 1 < a < 3$ C、 $a < - 1$ 或 $a > 3$ D、 $a < 0$

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11、已知 $tan α = \sqrt{2}$ ， $α$ 为第三象限角，则 $\sqrt{2} sin α + cos α =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- 2 \sqrt{3}$

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12、某同学掷骰子5次，记录了每次骰子出现的点数，则从以下情况中可以判断出这组数据一定没有出现点数6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、中位数为3，方差为2.8 D、平均数为2，方差为2.4

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13、已知复数 $z = \frac{10 i}{1 - 3 i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $3$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $4$ D、 $5$

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14、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象的对称中心；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 时，求 $f (x)$ 的最值.

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15、设函数 $f (x) = \sin 2 x$ ， $x \in R$ .
（Ⅰ）已知 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，函数 $g (x) = f (x + θ)$ 关于直线 $y = \frac{π}{6}$ 对称，求 $θ$ 的值；
（Ⅱ）求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{12})]}^{2} + {[f (x + \frac{π}{4})]}^{2}$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上的值域.

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16、把函数 $f (x) = 2 \sin x$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，记函数 $h (x) = f (x) \cdot g (x)$ .
（1）求函数 $y = h (x)$ 的最小正周期和单调增区间；
（2）画出函数 $y = h (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的大致图象.

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17、某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数 $h (t) = A \sin (ω t + φ) + B (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}, 0 \leq t < 24)$ ，其中 $h$ 为水深（单位：米）， $t$ 为时间（单位：小时），该函数图象如图所示.

(1)、求函数 $h (t)$ 的解析式；

(2)、若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？

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18、函数 $f (x) = |2 x - 1| + |x - 2| + 1$
（1）若方程 $f (x) = m$ 无实根，求实数 $m$ 的取值范围；
（2）记 $f (x)$ 的最小值为 $n$ .若 $a$ ， $b > 0$ ，且 $5 a + 5 b = 2 n$ ，证明： $a + 4 b - 9 a b \geq 0$ .

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19、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos^{2} ω x - \sin ω x \cos ω x - \frac{\sqrt{3}}{2} (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．
（1）求 $f (\frac{π}{12})$ 的值；
（2）当 $x \in [0, \frac{7 π}{12}]$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间及取值范围．

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20、下列说法中错误的是（填序号）
①命题“ $\exists x_{1}, x_{2} \in M, x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{2} - x_{1}) > 0$ ”的否定是“ $\forall x_{1}, x 2 \notin M, x_{1} \neq x_{2}$ ”，有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{2} - x_{1}) \leq 0$ ”；
②已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为 $5 + 2 \sqrt{6}$ ；
③设 $x, y \in R$ ，命题“若 $x y = 0$ ，则 $x^{2} + y^{2} = 0$ ”的否命题是真命题；
④已知 $p : x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ， $q : \frac{1}{3 - x} > 1$ ，若命题 $(\neg q) \land p$ 为真命题，则 $x$ 的取值范围是 $(- \infty, - 3) \cup (1, 2) \cup [3, + \infty)$ .

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