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相关试卷

1、陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为 $16 {πcm}^{2}$ 的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点 $S$ 在该球的球面上.

(1)、若圆柱的高为 $2 cm$ ，求该陀螺的体积及表面积；

(2)、规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面 $D C$ 距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 \sin B - \sin C = 2 \sin A \cos C$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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3、已知复数 $z = (m^{2} - 1) + (m - 1) i (m \in R)$

(1)、若复数 $z$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、已知 $- 3 + 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，其中 $p$ ， $q \in R$ ，求 $p + q$ 的值．

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4、如图1，这是清风楼，位于河北省邢台市，始建于唐、宋年间，是邢台市地标性建筑之一，也是邢台历史人文的一个缩影．某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度，在与楼底 $O$ 位于同一水平面上共线的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三处进行测量，如图2．已知在 $A$ 处测得塔顶 $P$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $B$ 处测得塔顶 $P$ 的仰角为 $45 °$ ，在 $C$ 处测得塔顶 $P$ 的仰角为 $60 °$ ， $B C = A B = 22$ 米，则清风楼的高度 $O P =$ ．

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5、已知向量 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{b} | = \sqrt{3}$ ，且 $(\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为.

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6、若复数 $z$ 满足 $z = \frac{1 - 2 i}{2 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部为．

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7、如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（）

A、该几何体的高为 $10 \sqrt{2} cm$ B、该几何体的表面积为 $100 \sqrt{3} + 200 \sqrt{2} {cm}^{2}$ C、该几何体的体积为 $\frac{2000 \sqrt{2}}{3} {cm}^{3}$ D、一只小蚂蚁从点 $E$ 爬行到点 $S$ ，所经过的最短路程为 $\sqrt{150 + 50 \sqrt{6}} cm$

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8、下列说法中正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、两个非零向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ，若 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 共线且反向 C、若 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ ，则存在唯一实数 $λ$ 使得 $\overset{⃑}{a} = λ \overset{⃑}{b}$ D、若 $P$ 是三角形 $A B C$ 的重心，则 $\overset{⃑}{P A} + \overset{⃑}{P B} + \overset{⃑}{P C} = \overset{⃑}{0}$

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9、正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星 $A B C D E$ 中， $A B = 8$ ， $O$ 是该正五角星的中心，则 $\vec{O A} \cdot \vec{A E} =$ （）

A、 $- 32$ B、32 C、 $- 64$ D、64

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10、已知复数 $z$ 满足 $| z - 2 - 2 i | = 2$ ，则 $| z |$ 最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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11、已知 $A (2, 3)$ ， $B (4, - 3)$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 的延长线上，且 $| \vec{A P} | = \frac{3}{2} | \vec{B P} |$ ，则点 $P$ 的坐标是（）

A、 $(8, - 15)$ B、 $(- 8, 15)$ C、 $(15, - 8)$ D、 $(- 15, 8)$

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12、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是水平放置的 $△ O A B$ 的直观图，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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13、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 3)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $k =$ （）

A、 $- \frac{11}{2}$ B、 $\frac{11}{6}$ C、 $- 1$ D、 $\frac{13}{2}$

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14、在 $△ A B C$ 中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $B = 30 °$ ， $c = 15$ ， $b = 5 \sqrt{3}$ ，那么这个三角形是（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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15、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、7 B、 $\sqrt{19}$ C、 $\sqrt{7}$ D、4

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16、在复平面中，复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ 的共轭复数所对应的点的坐标为（）

A、 $(i, 1)$ B、 $(1, i)$ C、 $(1, 1)$ D、 $(1, - 1)$

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17、已知函数 $f (x) = (x^{2} - m) e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线与直线 $y = x - 1$ 垂直.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq a x - 1$ 对任意 $x \in (- 1, + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的值；

(3)、对于函数 $f (x)$ ，规定： $f^{'} (x) = {[f (x)]}^{'}, f^{(2)} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}, \dots, f^{(n)} (x) = {[f^{(n - 1)} (x)]}^{'}$ ， $f^{(n)} (x)$ 叫做函数 $f (x)$ 的 $n$ 阶导数 $(n \in N^{*})$ .若对任意 $x \in (- 1, + \infty), f^{(n)} (x) > 0$ 恒成立，求满足条件的正整数 $n$ 的最小值.

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $P$ ，长轴长为 $4 \sqrt{2}$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、若椭圆 $C$ 上的两动点 $A$ ， $B$ 均在 $x$ 轴上方，且 $A F_{1} // B F_{2}$ ，求证： $\frac{1}{|A F_{1}|} + \frac{1}{|B F_{2}|}$ 的值为定值.

(3)、在（2）的条件下求四边形 $A B F_{2} F_{1}$ 的面积 $S$ 的取值范围.

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19、已知复数 $z, \bar{z}, z^{2}$ ，在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是 $△ A B C$ 的外心.

(1)、求 $| z |$ .

(2)、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ${(b + c)}^{2} = a^{2} + 4 b c \sin^{2} \frac{A}{2}$ .
（i）证明： $△ A B C$ 是直角三角形；
（ii）求 $△ A B C$ 的面积.

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20、平面内，动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l : x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是常数 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ ．

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、 $O$ 为坐标原点， $A, B$ 为曲线 $E$ 上不同两点，经过 $A, B$ 两点的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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