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相关试卷

1、若等边三角形 $A B C$ 的边长为 $4$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ ；

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2、已知函数 $f (x) = - m sin x + cos 2 x$ ，则（）

A、当 $m = - 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 2027 π)$ 上恰有3040个零点 B、当 $m < - 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 2027 π)$ 上恰有2026个零点 C、当 $m > 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, n π)$ 上恰有2168个零点，则正整数 $n$ 的值是2168 D、当 $- 1 < m < 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 2027 π)$ 上恰有4054个零点

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3、已知如图是函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ)$ ， $(ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的部分图象，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的在 $(- 1, 2)$ 上单调递增 C、若 $\exists x \in [- π, 0]$ 使得 $m > f (x)$ 恒成立，则 $m > - \sqrt{3}$ D、 $y = f (x)$ 在 $[0, m)$ 上存在最大值，不存在最小值，则 $m$ 取值范围是 $[\frac{2 π}{3}, \frac{8 π}{3})$

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4、下列说法正确的是（）

A、若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B、 $|\vec{a}| - |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ 是 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线的充分不必要条件 C、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$

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5、 $f (x)$ 满足： $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, 1)$ 都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ， $a = 2 sin 7^{\circ} sin 83^{\circ}$ ， $b = \frac{2 tan 8^{\circ}}{1 + {tan}^{2} 8^{\circ}}$ ， $c = 2 {cos}^{2} \frac{5 π}{24} - 1$ ，则 $\frac{f (a)}{a}$ ， $\frac{f (b)}{b}$ ， $\frac{f (c)}{c}$ 的大小顺序为（）

A、 $\frac{f (a)}{a} < \frac{f (b)}{b} < \frac{f (c)}{c}$ B、 $\frac{f (a)}{a} < \frac{f (c)}{c} < \frac{f (b)}{b}$ C、 $\frac{f (b)}{b} < \frac{f (c)}{c} < \frac{f (a)}{a}$ D、 $\frac{f (c)}{c} < \frac{f (a)}{a} < \frac{f (b)}{b}$

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6、已知 $cos α - cos β = \frac{2 \sqrt{3}}{5}$ ， $sin α - sin β = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ ，则 $cos (α - β) =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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7、已知平行四边形 $A B C D$ 的两条对角线交于点 $O$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，则（）

A、 $\vec{D E} = \frac{3}{4} \vec{D A} - \frac{1}{4} \vec{D C}$ B、 $\vec{D E} = \frac{1}{4} \vec{D A} + \frac{3}{4} \vec{D C}$ C、 $\vec{B E} = \frac{3}{2} \vec{B O} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ D、 $\vec{B E} = \frac{3}{2} \vec{B O} - \frac{1}{2} \vec{B C}$

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8、要得到函数 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数 $y = cos x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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9、函数 $f (x) = \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \sin^{2} x}}$ 在区间 $[- π, π]$ 内的大致图象是下列图中的（）

A、 B、 C、 D、

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10、若 $α, β \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ， “ $sin α = sin β$ ”是“ $cos α = cos β$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、即不充分又不必要

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于非零向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，定义这两个向量的“相离度”为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{|x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ ，容易知道 $\vec{a}, \vec{b}$ 平行的充要条件为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = 0$ .

(1)、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{5}, 2), \vec{b} = (1, - 4 \sqrt{5})$ ，求 $d (\vec{a}, \vec{b})$ ；

(2)、（i）设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，证明： $d (\vec{a}, \vec{b}) = sin θ$ ；
（ii）在 $△ A B C$ 中， $A B = 4, A C = 8, D$ 为 $B C$ 的中点，且 $A D = 2 \sqrt{7}$ ，若 $\vec{A D} = 2 \vec{P D}$ ，求 $d (\vec{A P}, \vec{B P})$ .

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12、2024年是宿州市泗县北部新城建立7周年，泗县县政府始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我县民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老厂房、旧仓库变身步行道、绿化带等.现有一足够大的老厂房，计划对其改造，规划图如图中五边形 $A B C D E$ 所示，其中 $△ B D E$ 为等腰三角形，且 $∠ C D E = \frac{11 π}{12}, ∠ B C D = \frac{π}{3}, ∠ C B D = \frac{π}{4}, C D = 4 km$ ，计划沿线段BE修建步行道.

(1)、求步行道BE的长度；

(2)、现准备将 $△ A B E$ 区域建为绿化带且 $∠ B A E = \frac{2 π}{3}$ ，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积.

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13、已知函数 $f (x) = a \sin x \cos x + \cos (2 x + \frac{π}{6})$ ，且 $f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的对称中心和单调递减区间；

(3)、若 $f (\frac{θ}{2} - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $θ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，求 $cos (2 θ + \frac{π}{6})$ 的值．

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14、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $cos 2 A = cos B cos C - sin B sin C$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、已知 $a = 6, c = 2 \sqrt{3}$ .求 $△ A B C$ 的面积.

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，其面积为 $S$ ，已知 $a = 4 c \cos B$ ，则（1） $\frac{\tan C}{\tan B} =$ ；（2） $\frac{S}{b^{2}}$ 的最大值为．

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x + \cos ω x (ω > 0)$ 的定义域为 $(0, 2 π)$ ，若 $|f (x)| = 2$ 有且仅有两个解，则 $ω$ 的取值范围为．

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17、如图，直线 $y = 1$ 与函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (|φ| \leq \frac{π}{2})$ 的部分图象交于 $A, B, C$ 三点（点 $A$ 在 $y$ 轴上），若 $|B C| = \frac{π}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = 2$ C、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象 D、当 $x \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x) \in [- 2, 1]$

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18、已知复数 $z = 3 - 4 i$ （ $i$ 为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A、 $|z| = 5$ B、复数 $\frac{1}{z}$ 的虚部为 $- \frac{4}{25}$ C、若 $z$ 对应的向量为 $\vec{O A}, 1 + i$ 对应的向量为 $\vec{O B}$ ，则向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $- 2 + 5 i$ D、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $p + q = 19$

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19、如图，在 $△ A B C$ 中，点O是BC的中点， $\vec{A C} = 3 \vec{M C} = 4 \vec{N C}$ ，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若 $\vec{A B} = - 2 a \vec{P Q}$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、－2 D、－1

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20、已知角 $θ$ 的终边上有一点 $(1, 2)$ ，则 $\frac{sin (π - θ) + cos (\frac{π}{2} - θ)}{cos (- θ) - cos (π + θ)} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 3$ D、3

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