广东省深圳市福田区红岭中学2025-2026学年高二上学期第一学段考试数学试卷

试卷更新日期：2025-11-16 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (3, - 1)$ ， $B (- 5, 2)$ ， $C (7, 4)$ ，则 $B C$ 边上的中线所在直线的方程为（）

A、 $x + 2 y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 5 = 0$ C、 $2 x - y - 7 = 0$ D、 $x - 2 y - 5 = 0$

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2. 设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1, 1), \vec{b} = (1, - 2, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、3

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3. 过圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 上的点 $P (1, \sqrt{3})$ 作圆的切线，则切线方程为（）

A、 $x - \sqrt{3} y + 2 = 0$ B、 $x + \sqrt{3} y - 2 = 0$ C、 $x + \sqrt{3} y - 4 = 0$ D、 $x - \sqrt{3} y - 4 = 0$

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4. 已知直线 $l_{1} : 2 x + m y - 1 = 0$ 和 $l_{2} : (m - 1) x + 3 y + 2 = 0$ ，则“ $m + 2 = 0$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 如图，在正三棱锥 $P - A B C$ 中，点G为 $△ A B C$ 的重心，点M是线段 $P G$ 上的一点，且 $P M = 3 M G$ ，记 $\vec{P A} = \vec{a}, \vec{P B} = \vec{b}, \vec{P C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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6. 已知点 $A (- 4, 4), B (- 2, - 3)$ ，直线 $l : k x - y + k + 1 = 0$ 与线段 $A B$ 相交（不含 $A$ ， $B$ 两点），则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- 4, 1)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (4, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)$

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7. 已知圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的底面半径和母线长均为 $1, A, B$ 分别为圆 $O_{2}$ ､圆 $O_{1}$ 上的点，若 $A B = 2$ ，则异面直线 $O_{1} B, O_{2} A$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 已知 $F$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $P, Q$ 两点，若 $|P F| = 3 |Q F|$ ，且 $∠ P F Q = 120 °$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{5}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9. 已知圆 $M$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆 $M$ 的半径为5 B、点 $P (3, 2)$ 在圆 $M$ 外 C、圆 $M$ 关于直线 $x + y + 1 = 0$ 对称 D、圆 $M$ 被直线 $y = 1$ 截得的弦长为2

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10. 已知点 $P$ 是左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ 的椭圆 $C : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的动点，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $|P F_{1}|$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$ C、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为4 D、若 $M (1, \frac{1}{2})$ ，则 $|P F_{1}| + |P M|$ 的最大值为 $4 \sqrt{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$

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11. 棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 内的动点，且 $P C ⊥ B_{1} D$ ，下列结论正确的是（）

A、 $P C ⊥ A D$ B、 $P$ 在线段 $A D_{1}$ 上运动 C、 $A_{1} P + P C$ 的最小值为 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ D、三棱锥 $C_{1} - A_{1} B P$ 的体积为定值

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知空间中三点 $A (2, 1, - 1), B (1, 0, 2), C (0, x, y)$ 共线，则 $x + y$ 的值为.

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13. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = A A_{1} = 2, ∠ A B C = 90 °$ ，则此直三棱柱的外接球的体积是.

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14. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + 2 x + y^{2} = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 16 = 0$ ，动点 $P$ 向两个圆所引的切线长相等，则 $|P C_{2}| - |P C_{1}|$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求证：CF//平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的正弦值.

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16. 已知圆 $C$ 经过 $(2, 0)$ ， $(0, 2)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $x - 2 y + 2 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、点 $(x, y)$ 在圆 $C$ 上，求 $x^{2} + y^{2}$ 的取值范围；

(3)、若经过点 $P (2, 4)$ 直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $△ A B C$ 为直角三角形，求 $l$ 的方程．

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17. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点M为短轴的上端点， $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，过 $F_{2}$ 垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且 $| A B | = \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设经过点 $(2, - 1)$ 且不经过点M的直线l与C相交于G，H两点 $.$ 若 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 分别为直线MH，MG的斜率，求 $k_{1} + k_{2}$ 的值．

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18. 如图甲，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2 \sqrt{2}, E$ 为线段 $D C$ 的中点， $△ A D E$ 沿直线 $A E$ 折起，使得 $D C = \sqrt{6}$ ，如图乙.

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、线段 $A B$ 上是否存在一点 $H$ ，使得平面 $A D E$ 与平面 $D H C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ？若不存在，说明理由；若存在，求出 $H$ 点的位置.

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19. 如图，已知圆 $M : x^{2} - 4 x + y^{2} + 3 = 0$ ，点 $P (- 1, t)$ 为直线 $l : x = - 1$ 上一动点，过点 $P$ 引圆 $M$ 的两条切线，切点分别为 $A ､ B$ .

(1)、求直线 $A B$ 的方程，并写出直线 $A B$ 所经过的定点坐标；

(2)、求线段 $A B$ 中点的轨迹方程（不必写出 $x ､ y$ 的取值范围）；

(3)、若两条切线 $P A ､ P B$ 与 $y$ 轴分别交于 $S ､ T$ 两点，求 $|S T|$ 的最小值.

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