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相关试卷

1、抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $A$ 为抛物线上一点，满足 $∠ A F O = \frac{2 π}{3}$ （ $O$ 为坐标原点）， $A K ⊥ l$ ，垂足为 $K$ ，若 $A K = 2$ ，则 $S_{△ A F K} =$ ．

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2、已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 4, 0), \vec{b} = (- 1, x, y)$ ，且 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ ．

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3、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = C D = 2, A C = B D = \sqrt{3}, A D = B C = \sqrt{5}, E, F, G, H$ 分别是线段 $A B, A C, C D, B D$ 上的点，且满足 $B C$ $∥$ 平面 $E F G H, A D$ $∥$ 平面 $E F G H$ ，则下列说法正确的是（）

A、四边形 $E F G H$ 为矩形 B、三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的半径为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $|F G| + |G H| = \sqrt{5}$ D、四边形 $E F G H$ 的面积最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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4、已知点 $M (4, 1)$ ，若过点 $N (2, - 1)$ 的直线 $l$ 交圆 $C : x^{2} + y^{2} = 9$ 于 $A, B$ 两点， $R$ 是圆 $C$ 上的动点，则（）

A、 $|A B|$ 的最大值为6 B、 $|A B|$ 的最小值为4 C、 $\vec{R M} \cdot \vec{R N}$ 的最小值为-1 D、 $\vec{R M} \cdot \vec{R N}$ 的最大值为34

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3} = a_{1} - 4, S_{7} = 147$ ，则（）

A、 $a_{1} = 28$ B、 $a_{4} = 21$ C、数列 $\{a_{n}\}$ 为单调递减数列 D、 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 14$

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6、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $2 < t < 4$ 时，曲线 $C$ 是椭圆 B、当 $t > 4$ 或 $t < 2$ 时，曲线 $C$ 是双曲线 C、若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $2 < t < 3$ D、若曲线 $C$ 是焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则 $2 < t < 4$

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7、已知直线 $l$ 过点 $P (- 2, 0)$ 交抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 于 $A, B$ 两相异点，点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $B^{'}$ ，过原点 $O$ 作直线 $A B^{'}$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，则 $Q$ 点的轨迹方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1 (y \neq 0)$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4 (y \neq 0)$ C、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1 (y \neq 0)$ D、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4 (y \neq 0)$

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8、斐波那契数列 $\{a_{n}\}$ 因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1, a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2023} =$ （）

A、 $a_{2025}$ B、 $a_{2024}$ C、 $a_{2025} - 1$ D、 $a_{2024} - 1$

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9、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, G$ 分别是 $A_{1} D_{1}, A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 是线段 $F G$ （含端点）上的动点，当 $P$ 由点 $F$ 运动到点 $G$ 时，三棱锥 $A - C E P$ 的体积（）

A、先变大后变小 B、先变小后变大 C、不变 D、无法判断

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，过原点 $O$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$

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11、已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，则直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、以上都有可能

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12、已知平面 $α ⊥$ 平面 $β, α, β$ 的法向量分别为 ${\vec{n}}_{1} = (1, 2, 3), \vec{n_{2}} = (0, x, 2)$ ，则实数 $x =$ （）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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13、下列方程所表示的直线中，倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的是（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $x + 2 y - 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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14、某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量 $X$ （单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值 $\bar{X} = 300$ ，样本的标准差 $s = 50$ .

(1)、经分析，可以认为该款手机的日销售量 $X$ 近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，用样本的平均值 $\bar{X}$ 作为 $μ$ 的近似值，用样本的标准差 $s$ 作为 $σ$ 的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在 $[350, 400)$ 之间的概率；

(2)、为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ < μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq ξ < μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq ξ < μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

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15、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 相切于点 $P (2, 1)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ ， $N$ 为椭圆上异于点 $P$ 的点，直线 $P M$ ， $P N$ 与 $x$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，若 $tan ∠ P A B \cdot tan ∠ P B A = 1$ ，证明：直线 $M N$ 恒过定点.

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16、已知函数 $f (x) = a (e^{x} + sin x) - x - 1$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，判断 $f (x)$ 的零点个数.

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17、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = C C_{1} = 2$ ， $A C ⊥ B C$ ， $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ 和 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ E F$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 夹角的余弦值.

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18、如图，在平面内的四个动点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 构成的四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $C D = 3$ ， $A D = 4$ .

(1)、求 $△ A C D$ 面积的取值范围；

(2)、若四边形 $A B C D$ 存在外接圆，求外接圆面积.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $(2^{b_{n}} - 1) S_{n} = a_{n + 1}$ ，则满足 $T_{n} \geq 2$ 的正整数 $n$ 的最小值为.

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20、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $M$ 为双曲线渐近线上的点，且 $\vec{F_{1} M} \cdot \vec{F_{2} M} = 0$ ，若 $|M F_{1}| = 2 |M F_{2}|$ ，则该双曲线的离心率 $e =$ .

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