广东省深圳市深圳盟校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

试卷更新日期：2025-11-14 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点 $A (1, 3, - 2)$ 在平面Oxy上的射影点的坐标为（）

A、 $(1, 3, 0)$ B、 $(1, 0, - 2)$ C、 $(0, 3, - 2)$ D、不确定

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2. 直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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3. 方程 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 5 m = 0$ 表示圆，则 $m$ 的范围是（）

A、 $m > 1$ B、 $m < 1$ C、 $m \geq 1$ D、 $m \leq 1$

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4. 已知直线： $l_{1}$ ： $a x - 2 y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + (a - 3) y + a = 0$ ，则“ $a = 2$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 圆 $x^{2} + y^{2} - 10 x - 10 y = 0$ 和圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 40 = 0$ 的位置关系是（）

A、相离 B、外切 C、相交 D、内切

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6. 设点 $A (2, - 3)$ 、 $B (- 3, - 2)$ ，若直线l过点 $P (1, 1)$ 且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）

A、 $k \geq \frac{3}{4}$ 或 $k \leq - 4$ B、 $k \geq \frac{3}{4}$ 或 $k \leq - \frac{1}{4}$ C、 $- 4 \leq k \leq \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4} \leq k \leq 4$

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7. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线l： $y = x + b$ ，若圆上恰有两个点到直线l的距离等于1，则实数b的取值范围是（）

A、 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(- 3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$ D、 $(- 3 \sqrt{2}, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过原点的直线l交曲线 $y = \frac{1}{x}$ 于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为 $60 °$ 的二面角，则线段 $A B$ 长度的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、2

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 对于直线l： $(m - 2) x + y - 2 m + 1 = 0$ 与圆C： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 4 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、l过定点 $(2, 3)$ B、C的半径为3 C、l与C可能相切 D、l被C截得的弦长最小值为 $2 \sqrt{7}$

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10. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = μ = 1$ 时， $A_{1} P //$ 平面 $A B C D$ B、当 $λ = 1$ 时，点P在棱 $B B_{1}$ 上 C、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 D、 $λ = \frac{1}{2}$ 时，存在两个点P，使得 $A_{1} P ⊥ B P$

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11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 $λ$ （ $λ \neq 1$ ）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知 $A (- 4, 2)$ ， $B (2, 2)$ ，点P满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = 2$ ，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（）

A、圆C的方程是 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ B、过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、若x，y满足圆C的方程，则 $x - y$ 的最大值是 $2 + 4 \sqrt{2}$ D、过直线 $3 x + 4 y = 60$ 上的一点P向圆C引切线 $P M, P N$ ，则四边形 $P M C N$ 的面积的最小值为 $16 \sqrt{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $\vec{u} = (3, a, b) (a, b \in R)$ 是直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n} = (1, 2, 3)$ 是平面 $α$ 的法向量，如果 $l ⊥ α$ ，则 $a + b =$ ．

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13. 设直线 $l ： y = k x + b (k > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 均相切，则 $k =$ ；b= ．

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14. 已知 $A (0, 2)$ ，点 $P$ 在直线 $x + y + 2 = 0$ 上，点 $Q$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = 0$ 上，则 $|P A| + |P Q|$ 的最小值是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 直线 $l$ 经过两直线 $l_{1} : 3 x + 4 y - 2 = 0$ 和 $l_{2} : 2 x + y + 2 = 0$ 的交点．

(1)、若直线 $l$ 与直线 $3 x + y - 1 = 0$ 垂直，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$ 相切，求直线 $l$ 的方程．

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16. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为线段 $D D_{1}$ 的中点，F为线段 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $F C_{1} //$ 平面 $A B_{1} E$ ；

(2)、求直线 $B B_{1}$ 与平面 $A B_{1} E$ 所成角的正弦值；

(3)、求点F到平面 $A B_{1} E$ 的距离．

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17. 已知圆C的圆心C在x轴上，并且过 $A (1, 2)$ 和 $B (3, 0)$ 两点．

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线 $x - m y + 1 = 0$ 与圆相交于M，N两点， $△ C M N$ 的面积为2，求实数m的值．

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18. 设圆C过点 $M (0, - 2)$ 且与圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 \sqrt{2} x - 4 \sqrt{2} y + 12 = 0$ 相切于点 $N (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、已知 $A (- 2, - 2)$ ， $B (- 2, 6)$ ， $F (4, - 2)$ 三个点，点P在圆C上运动，求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} + {|P F|}^{2}$ 的最大值和最小值；

(3)、已知直线l： $x = 4$ 与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证： $\vec{G D} \cdot \vec{G E}$ 为定值，并求出这个定值.

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