广东省广州市第八十九中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-28 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目求的.

1. 若 $A = {4, 5, 6, 7}, B = {x ∣ x = 2 k - 1, k \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${4, 5}$ B、 ${4, 6}$ C、 ${4, 7}$ D、 ${5, 7}$

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2. 命题“ $\forall x \in R, x^{2} + 1 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 < 0$

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3. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $f (x) = - x^{3}$ B、 $f (x) = 2 x$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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4. 函数 $y = f (x) = a^{x - 1} + 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 经过定点 $P$ 的坐标（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 2)$

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5. 若 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 1, & x < 0 \\ 2 x + 3, & x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、0

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6. 若正数a，b满足 $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$ ，则 $2 a + 3 b$ 的最小值是（）

A、23 B、24 C、25 D、26

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7. 已知函数 $f (x) = (x - a) (x - b)$ （其中 $a > b$ ）的图象如图所示，则函数 $g (x) = a^{x} + b$ 的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 对于 $\forall x \in R$ ，函数 $f (x)$ 都满足 $f (2 + x) = f (2 - x)$ ，且 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递增，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) < f (5) < f (- 2)$ B、 $f (5) < f (0) < f (- 2)$ C、 $f (- 2) < f (0) < f (5)$ D、 $f (5) < f (- 2) < f (0)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 若实数 $a, b, c, d$ ，则下列命题中正确的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $a < b$ ，则 $2^{a} < 2^{b}$ C、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、若 $a > b$ ，则 $a (c^{2} + 1) > b (c^{2} + 1)$

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10. 若不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是 $(- 3, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $b < 0$ 且 $c > 0$ C、关于 $x$ 的不等式 $a x - b < 0$ 的解集是 $(- \infty, 2)$ D、关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - b x + c < 0$ 的解集是 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$

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11. 对于任意的 $x \in R$ ，若用函数 $M (x)$ 表示 $f (x) = x^{2} - 3 x + m, g (x) = x$ 中的较大者，则下列结论正确的是（）

A、 $M (x)$ 的图象不可能是一条直线 B、 $M (x)$ 的图象可能是一条抛物线 C、当 $m = 2$ 时， $M (x)$ 的值域为 $[1, + \infty)$ D、若关于 $x$ 的不等式 $M (x) < 0$ 的解集中有且仅有1个整数，则实数 $m$ 的取值范围是 $[- 10, 4)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 1}$ 的定义域是.

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13. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 4 m + 4) x^{m + 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减． $m$ 的值为．

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a, & x < 1 \\ x^{2} - a x + 6, & x \geq 1 \end{array}$ 满足：对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 计算：

(1)、 $\sqrt[4]{81} + {(\sqrt{5} + 2)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- \frac{1}{2}} + \sqrt{{(\sqrt{3} - 2)}^{2}}$ ；

(2)、 $\log_{4} 8 + \lg 125 + \lg 8 - e^{\ln 3} - \log_{9} 2 \times \log_{4} 81$ ；

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ ，定义域为 $[2, + \infty)$ .

(1)、试判断函数 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、若 $f (3 - a) > f (2 a + 6)$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、求函数 $f (x)$ 的值域.

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17. 已知集合 $A = \{x |\frac{2}{x + 1} \geq 1\}, B = \{x ∣ a x^{2} - (3 a + 1) x + 3 \geq 0\}$ .

(1)、若 $a = - 2$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、设命题 $p : x \in A$ ；命题 $q : x \in B$ ，若命题 $p$ 是命题 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品，已知该产品的成本为每件40元，销售单价 $y$ （元）与日销售量 $x$ （件）的对应关系如下表所示（销售单价不低于成本且不高于100元且变量 $y$ 与变量 $x$ 成一次函数关系）：
销售单价 $y$ （元）
50
60
日销售量 $x$ （件）
100
80
该平台为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的物流补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴．设该产品的商家日利润为 $w$ （元）.

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

(2)、求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(3)、当销售单价 $y$ 为多少元时，日利润 $w$ 最大？最大日利润是多少元？

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + a \cdot 2^{- x}}{x^{2}}$ ，且 $f (1) = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求 $a$ 及 $f (- 2)$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(3)、若当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $x^{2} f (x) + \frac{m + 2}{2^{x}} \geq m + 1$ ，求 $m$ 的取值范围．

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销售单价 $y$ （元）	50	60
日销售量 $x$ （件）	100	80