浙江省台州市山海协作体2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2025-11-30 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {x ∣ x < 2}, B = \{- 1, 0, 1, 2, 4, 7\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 4, 7\}$

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2. 命题“ $\exists x \leq 0 ， x^{2} - 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \leq 0 ， x^{2} - 2 \leq 0$ B、 $\exists x > 0 ， x^{2} - 2 > 0$ C、 $\forall x \leq 0 ， x^{2} - 2 \leq 0$ D、 $\forall x > 0 ， x^{2} - 2 > 0$

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3. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x}$ 的定义域为（）

A、 $(- 1, + \infty)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, + \infty)$ D、 $[- 1, 0) \cup (0, + \infty)$

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4. 下列不等关系中成立的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、若 $0 < a < 1$ ， $2 < b < 5$ ，则 $2 < b - a < 4$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$

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5. “ $\frac{1}{x} < 1$ ”是“ $x > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知 $a = {0.2}^{0.3}, b = {0.3}^{0.2}, c = 2^{0.06}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + (3 - a) x + 2 ， & x < - 1 \\ (a - 2) x + 1 ， & x \geq - 1 \end{matrix}$ ，若函数 $f (x)$ 满足：对于任意的实数 $x_{1} \neq x_{2}$ 恒有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{2}, 2)$ B、 $[1, 2)$ C、 $[\frac{3}{2}, 2]$ D、 $[1, 2]$

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8. 已知函数 $f (x)$ 对于任意的实数 $x ， y$ 都有 $f (x + y) - f (y) = x (x + 2 y + 1)$ ，且 $f (1) = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (0) = 2$ B、 $y = f (x) - x$ 为偶函数 C、 $y = f (x) - x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减 D、 $y = f (x + 1)$ 为奇函数

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9. 下列四组函数表示同一个函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x^{2}}$ 与 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $y = \sqrt{- x^{3}}$ 与 $y = x \sqrt{- x}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ 与 $y = \frac{x}{x^{2}}$ D、 $y = \frac{1}{x^{0}}$ 与 $y = x^{0}$

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10. 已知正数 $a ， b$ 满足 $a + b = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为3 D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{|x| + 1}{2 - |x|}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(- 2, 0)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， - 1) \cup [\frac{1}{2} ， + \infty)$

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三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．

12. 若函数 $f (x) = (2 a^{2} - 3 a + 2) a^{x}$ 是指数函数，则实数 $a =$ ．

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13. 已知 $f (x + 2) = x^{2} + x + 1$ ，则 $f (x) =$ ．

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14. $\forall a, b \in R$ ，记 $\max \{a, b\} = \{\begin{cases} a ， & a > b \\ b ， & a \leq b \end{cases}$ ，若方程 $\max \{|x - 1| - 1, - x^{2} + 2 x\} = m$ 有四个不相同的实数根，则实数 $m$ 的取值范围为．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0\} ， B = \{x ∣ 2 - m \leq x \leq 2 + m\}$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，求 $A \cup B ， (∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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16. 经过调研发现，某机器工厂每月生产的机器数量 $W$ （单位：台）和成本 $x$ （单位：万元）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{array}{l} 19 - \frac{4}{x + 1}, 0 < x \leq 3 \\ - x^{2} + 9 x - 5, 3 < x \leq 6 \end{array}$ ．已知该机器的市场售价为1万元/台，且供不应求，记工厂每月的利润为 $f (x)$ （单位：万元）．

(1)、求 $f (x)$ 的函数解析式；

(2)、当成本 $x$ 为多少万元时，该工厂每月的利润最大？最大利润是多少万元？

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17. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ．

(1)、若 $a = c = 1$ ，对于 $\forall x \in R ， f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ ，求解 $c x^{2} + (1 - 3 b) x - 2 > 0$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}} (x \in R)$ ．

(1)、试判断函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、若对于 $\forall x \in [1, 2]$ 都有 $f (\frac{1}{2 x} - m) < {[f (x)]}^{2} - 2$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b ， f (- 1) = 0$ ．

(1)、若 $f (0) = 0$ ，且 $x \in [- 1 ， 2]$ ，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若集合 ${x ∣ f (f (x)) < 0} = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、非空集合 $A = \{x ∣ f (x) = x\} ， B = \{x ∣ f (f (x)) = x\}$ ，若 $A = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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